哈尔滨市 2016 年初中升学考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.-6的绝对值是( )
1 1
A.-6 B.6 C. D.-
6 6
2.下列运算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.(a2)3=a5
C.(-2a2b)3=-8a6b3 D.(2a+1)2=4a2+2a+1
3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
k
4.点(2,-4)在反比例函数y= 的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( )
x
A.(2,4) B.(-1,-8) C.(-2,-4) D.(4,-2)
5.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其主视图是( )
{ x+3>2,
6.不等式组 的解集是( )
1-2x≤-3
A.x≥2 B.-1<x≤2 C.x≤2 D.-1<x≤1
7.某车间有26名工人,每人每天可以生产800个螺钉或1 000个螺母.1个螺钉需要配2个
螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,设安排x名工人生产螺钉,则下面所列方程正确
的是( )
A.2×1 000(26-x)=800x B.1 000(13-x)=800x
C.1 000(26-x)=2×800x D.1 000(26-x)=800x
8.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处.轮船沿
正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在位
置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海里 B.45海里 C.20√3 海里D.30√3 海里
9.如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论
一定正确的是( )
AD AE DF AE
A. = B. =
AB AC FC EC
AD DE DF EF
C. = D. =
DB BC BF FC
10.明君社区有一块空地需要绿化,某绿化组承担了此项任务,绿化组工作一段时间后,提高
了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单位:m2)与工作时间t(单位:h)之间的函数关系如
图所示.则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( )
A.300 m2 B.150 m2 C.330 m2 D.450 m2
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.将5 700 000用科学记数法表示为 .
x
12.函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
2x-1
√1
13.计算2 -√18的结果是 .
2
14.把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是 .
15.一个扇形的圆心角为120°,面积为12π cm2,则此扇形的半径为 cm.
16.二次函数y=2(x-3)2-4的最小值为 .
17.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,点P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的
长为 .18.如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,AD交☉O于点E,连接
OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 .
19.一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随
机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球都是白球的概率为
.
20.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直
线 EF 对称,点 B 的对称点是点 G,且点 G 在边 AD 上.若 EG⊥AC,AB=6√2,则 FG 的长为
.
三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)
21.(本题7分)
先化简,再求代数式( 2 2a-3)÷ 1 的值,其中a=2sin 60°+tan 45°.
-
a+1 a2-1 a+1
22.(本题7分)
图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段
AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、
QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方
形的顶点上.
23.(本题8分)
海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动,围绕“在演员、教师、医生、律师、
公务员共五类职业中,你最喜爱哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取
部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图.请你根据图
中提供的信息回答下列问题:(1)本次调查共抽取了多少名学生?
(2)求在被调查的学生中,最喜爱教师职业的人数,并补全条形统计图;
(3)若海静中学共有1 500名学生,请你估计该中学最喜爱律师职业的学生有多少名.
24.(本题8分)
已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQ⊥BE于点Q,DP⊥AQ于点P.
(1)求证:AP=BQ;
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段
长度的差等于PQ长.
25.(本题10分)
早晨,小明步行到离家900米的学校去上学,到学校时发现眼镜忘在家中,于是他立即按原路
步行回家,拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校.已知小明步行从学校到家所用的时间
比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟,小明骑自行车速度是步行速度的3倍.
(1)求小明步行速度(单位:米/分)是多少;
(2)下午放学后,小明骑自行车回到家,然后步行去图书馆,如果小明骑自行车和步行的速度
不变,小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍,那么小明家与
图书馆之间的路程最多是多少米?26.(本题10分)
已知:△ABC内接于☉O,D是 上一点,OD⊥BC,垂足为H.
BC
⏜
(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;
(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P.求证:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为☉O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连接
OE,BF为☉O的弦,BF⊥OE于点R,交DE于点G,若∠ACD-∠ABD=
1
2∠BDN,AC=5√5,BN=3√5,tan∠ABC= ,求BF的长.
2
27.(本题10分)
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+2ax+c经过A(-4,0),B(0,4)两点,
与x轴交于另一点C,直线y=x+5与x轴交于点D,与y轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点,连接EP,过点E作EP的垂线l,在l上截取线段
EF,使EF=EP,且点F在第一象限,过点F作FM⊥x轴于点M,设点P的横坐标为t,线段FM的
长为d,求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H,连接DH,点G为DH的中点,当直
线PG经过AC的中点Q时,求点F的坐标.答案全解全析：
一、选择题
1.B 负数的绝对值是它的相反数,所以-6的绝对值是6,故选B.
2.C a2·a3=a2+3=a5,故选项A错误;(a2)3=a2×3=a6,故选项B错误;(2a+1)2=4a2+4a+1,故选项D
错误.故选C.
3.D 选项A中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项B中的图形是中心对称图形,
但不是轴对称图形;选项C中的图形是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项D中的图形既
是轴对称图形又是中心对称图形,故选D.
4.D 把(2,-4)代入反比例函数解析式得k=-8,逐个验证各选项知选D.
5.C 由主视图的定义可知选C.
6.A 解不等式x+3>2,得x>-1,解不等式1-2x≤-3,得x≥2,所以不等式组的解集为x≥2,故
选A.
7.C 若安排x名工人生产螺钉,则生产螺母的工人为(26-x)名.根据题意,可列方程为
1 000(26-x)=2×800x,故选C.
8.D 如图,过点P作PC⊥AB于点C,在Rt△APC中,AP=30,∠A=60°,∴PC=PA·sin 60°=15
√3.在Rt△BPC中,∠B=30°,∴PB=2PC=30√3,即轮船在B处时与灯塔P之间的距离为30√3
海里.故选D.
9.A ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
AD AE DE
∴ = = ,故选项A正确,故选A.
AB AC BC
10.B 设提高效率后S与t的函数解析式为S=kt+b(k≠0),t≥2,把(4,1 200)、(5,1 650)
{4k+b=1 200, {k=450,
代入得 解得 所以提高效率后的函数解析式为S=450t-600.把
5k+b=1 650, b=-600,t=2代入解析式S=450t-600(t≥2),得S=300,则绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化
面积为300÷2=150 m2,故选B.
二、填空题
11.答案 5.7×106
解析 5 700 000用科学记数法表示为5.7×106.
1
12.答案 x≠
2
1 1
解析 由分式的分母不能为零,得2x-1≠0,则x≠ ,故自变量x的取值范围是x≠ .
2 2
13.答案 -2√2
解析 原式=√2-3√2=-2√2.
14.答案 a(x+a)2
解析 原式=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.
15.答案 6
120πr2
解析 设扇形的半径为r cm,根据扇形的面积公式得12π= ,解得r=6.
360
16.答案 -4
解析 二次函数y=2(x-3)2-4的最小值为-4.
17.答案 √10或√13
解析 当 CP=1 时,根据勾股定理得 AP= = ;当 CP=2 时,根据勾股定理得 AP=
√32+12 √10
= = ,故AP的长为 或 .
√AC2+CP2 √32+22 √13 √10 √13
18.答案 4
解析 设 OC 与 BE 相交于点 F,∵AB 是☉O 的直径,∴∠AEB=90°,∵AO=5,∴AB=10.在
Rt△ AEB 中 ,AE=6,∴ BE= =8.∵ 直 线 l 是 ☉ O 的 切 线 ,∴ OC⊥ CD, 又
√AB2-AE2
1
∵AD⊥CD,AE⊥EB,∴四边形CDEF为矩形,∴DC=EF= BE=4.
2
1
19.答案
4
解析 根据题意画树状图得:
由树状图可知,一共有16种等可能的情况,而两次摸出的小球都是白球的情况有4种,所以
1
所求概率为 .
4
20.答案 3√6解析 设AC与EG相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC.∴△ABC是等边三角形.
又∵AB=6√2,∴△ABC的面积为18√3.
∴菱形ABCD的面积为36√3,
∵EG⊥AC,∴∠AOE=∠AOG=90°.
∴∠AGE=90°-60°=30°.
∵△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,
∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°.
∴FG⊥AD,
S 36√3
∴FG= 菱形ABCD= =3√6.
AD 6√2
三、解答题
21.解析 原式=[ 2(a-1) 2a-3 ]·(a+1)
-
(a+1)(a-1) (a+1)(a-1)
2(a-1)-(2a-3)
= ·(a+1)(2分)
(a+1)(a-1)
1
= ·(a+1)(3分)
(a+1)(a-1)
1
= .(4分)
a-1
√3
∵a=2× +1(5分)
2
=√3+1,(6分)
1 √3
∴原式= = .(7分)
√3+1-1 3
22.解析 (1)如图,(2分)
四边形AQCP的周长为4√10.(4分)
(2)如图.(7分)
23.解析 (1)12÷20%=60(名),(1分)
∴本次调查共抽取了60名学生.(2分)
(2)60-12-9-6-24=9(名),(3分)
∴最喜爱教师职业的学生有9名.(4分)
补全条形统计图如图所示.
(5分)
6
(3)1 500× =150(名),(7分)
60
∴估计该中学最喜爱律师职业的学生有150名.(8分)
评析 本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体等知识,解题的关键是明确
总体、个体、样本及样本容量的概念.
24.解析 (1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠DAB=90°,
∴∠BAQ+∠DAP=90°.
∵DP⊥AQ,∴∠APD=90°,∴∠ADP+∠DAP=90°,
∴∠ADP=∠BAQ.(1分)
∵AQ⊥BE,∴∠AQB=90°,
∴∠APD=∠AQB,(2分)
∴△DAP≌△ABQ,(3分)
∴AP=BQ.(4分)
(2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ.(8分)
评析 解本题的关键是掌握正方形的性质,三角形全等的判定和性质.
25.解析 (1)设小明步行的速度为x米/分,
900 900
根据题意,得 - =10,(2分)
x 3x
解得x=60,(3分)
经检验,x=60是原方程的解.(4分)
∴小明步行速度为60米/分.(5分)
(2)设小明家与图书馆之间的路程为a米,
a 900
根据题意,得 ≤ ×2,(8分)
60 3×60
解得a≤600.(9分)
∴小明家与图书馆之间的路程最多是600米.(10分)
评析 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解题的关键是理解题意,找出
题目中的数量关系,列出方程和不等式.注意分式方程要检验.
26.解析 (1)证明:∵OD⊥BC,∴BH=HC,(1分)1
∵OA=OB,∴OH= AC,∴AC=2OH.(3分)
2
(2)证明:∵OD⊥BC,∴ = ,(4分)
BD DC
⏜ ⏜
∴∠BCD=∠CAD,(5分)
∵∠APB=∠ACB+∠CAD,∠ACD=∠ACB+∠BCD,
∴∠ACD=∠APB.(6分)
(3)如图,连接AF,在AB上截取AM=AC,连接DM,
由(2)知 = ,∴∠1=∠2,BD=DC,
BD DC
⏜ ⏜
又∵AD=AD,∴△ADM≌△ADC,∴∠AMD=∠ACD,DM=DC,
∴BD=DM,∵∠ACD=∠ABD+2∠3,∠AMD=∠ABD+∠BDM,
∴∠BDM=2∠3,∴∠3=∠MDN,∴DN⊥AB.(7分)
∵OE⊥BF,∴∠5+∠8=∠6+∠9=90°,
∴∠5=90°-∠8,∠6=90°-∠9,∵∠8=∠9,∴∠5=∠6.
同理,∠4=∠7,
∵OD=OE,∴∠4=∠5,∴∠6=∠7.
过点A作AL⊥BF于点L,AT⊥BC交BC延长线于点T,
∵∠ACB+∠F=180°,
∠ACB+∠ACT=180°,∴∠F=∠ACT,
∵∠6=∠7,
∴AL=AT,∵∠ALF=∠T=90°,∴△AFL≌△ACT,
∴AF=AC,(8分)
AL 1
∵tan∠6=tan∠7= = ,∴设AL=x,
BL 2
则BL=2x,AB= = x,
√x2+(2x)2 √5
∵AM=AC=5√5,BN=MN=3√5,
∴AB=11√5,(9分)
∴x=11,BL=2x=22,∵AF=AC=5√5,
∴FL= = =2,∴BF=24.(10分)
√AF2-AL2 √(5√5)2-112
评析 本题属于圆的综合问题,主要考查了垂径定理、圆周角定理、三角形全等的判定、三
角函数、勾股定理等知识,本题难度较大、综合性强,解答本题的关键是注意问题中转化思
想和方程思想的运用.
{0=16a-8a+c,
27.解析 (1)把A(-4,0),B(0,4)代入y=ax2+2ax+c,得
4=c,{ 1
∴ a=- ,(1分)
2
c=4,
1
∴y=- x2-x+4.(2分)
2
(2)易知E(0,5),即OE=5.如图1,过点P、F分别作y轴的垂线,垂足分别为点I、R,
图1
∴∠PIE=∠FRE=∠FRO=90°,
∵EP⊥EF,∴∠PEI+∠FER=90°,
∵∠EFR+∠FER=90°,∴∠PEI=∠EFR,FR⊥OR,
∵EP=EF,∴△PEI≌△EFR,(3分)
∴PI=ER.
∵FM⊥x轴,∴∠FMO=90°,∵∠ROM=90°,
∴四边形ORFM为矩形,∴FM=OR,(4分)
∵点P横坐标为t,点P在第二象限,∴PI=-t,
∵OR=OE-RE=5-(-t),∴d=t+5.(5分)
1 1
(3)如图2,y=- x2-x+4,y=0时,- x2-x+4=0,
2 2
图2
x=-4,x=2,∴C(2,0),∵Q为AC中点,∴Q(-1,0),
1 2
∴OQ=1,∵直线y=x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E,
∴D(-5,0),E(0,5),∴OD=OE=5,连接OG、GE、GM,
过G、P、F分别作y轴的垂线,垂足分别为K、I'、R',
∵EH⊥DE,MF⊥DM,
∴△DEH与△DMH为直角三角形.
∵点G为DH中点,∴GE=GM=GD.(6分)
过点G作GN⊥DM于点N,∵OD=OE,OG=OG,
∴△DOG≌△EOG,∴∠GON=∠GOK=45°,(7分)
∴GK=GN,∵∠GKO=∠KON=∠ONG=90°,
∴四边形OKGN为正方形,∴Rt△EGK≌Rt△MGN,∴EK=MN.
由(2)得△EPI'≌△FER',四边形OMFR'为矩形,设GN=n,
∴ON=OK=n,MN=EK=5-n,EI'=FR'=OM=MN-ON=5-2n,
∴I'O=OE-EI'=2n,过点P作PT⊥x轴于点T,∴四边形PTOI'为矩形,∴PT=2n,
∴PT=2GN,(8分)
GN PT
∵tan∠GQN= = ,∴TQ=2NQ,
NQ TQ
NQ=n-1,TQ=2n-2,∴OT=TQ+OQ=2n-2+1=2n-1,
∴P(1-2n,2n),(9分)
1
∴2n=- (1-2n)2-(1-2n)+4,
2
1+√6 1-√6
解得n= ,n= <0(舍去),
1 2
2 2
∴OM=5-2n=4-√6,
OT=2n-1=√6,∴t=1-2n=-√6,
∵FM=d=t+5=5-√6,∴F(4-√6,5-√6).(10分)
评析 本题主要考查了二次函数解析式的求法,一元二次方程的应用,图形面积的求法,三角
形全等的判定,函数图象的交点等知识,既考查了数学的综合应用能力,又考查了解决问题的
能力,注意求点的坐标一般要归结为求线段的长度.
(以上各解答题如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分)
