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哈尔滨市 2013 年初中升学考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1
1.- 的倒数是( )
3
1 1
A.3 B.-3 C.- D.
3 3
2.下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a3·a2=a6
C.(a2)3=a6 D.(a) 2=a2
2 2
3.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4.如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形,则这个几何体的俯视图是( )
5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到的抛物线是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2-2
C.y=x2+2 D.y=x2-2
1-2k
6.反比例函数y= 的图象经过点(-2,3),则k的值为( )
x
7 7
A.6 B.-6 C. D.-
2 2
7.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为( )
5
A.4 B.3 C. D.2
28.在一个不透明的袋子中,有2个白球和2个红球,它们只有颜色上的区别,从袋子中随机地摸
出一个球记下颜色放回,再随机地摸出一个球,则两次都摸到白球的概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 8 4 2
9.如图,在△ABC中,M、N分别是边AB、AC的中点,则△AMN的面积与四边形MBCN的面
积比为( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
2 3 4 3
10.梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含10
千克)的种子,超过10千克的那部分种子的价格将打折,并依此得到付款金额y(单位:元)与一
次购买种子数量x(单位:千克)之间的函数关系如图所示,下列四种说法:
①一次购买种子数量不超过10千克时,销售价格为5元/千克;
②一次购买30千克种子时,付款金额为100元;
③一次购买10千克以上种子时,超过10千克的那部分种子的价格打五折;
④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花25元钱.
其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.把98 000用科学记数法表示为 .
x
12.在函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
x+3
√3
13.计算:√27- = .
2
{3x-1<2,
14.不等式组 的解集是 .
x+3≥1
15.把多项式4ax2-ay2分解因式的结果是 .
16.一个圆锥的侧面积是36π cm2,母线长是12 cm,则这个圆锥的底面直径是 cm.
5
17.如图,直线AB与☉O相切于点A,AC、CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为
2
,CD=4,则弦AC的长为 .18.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率
为 .
19.在△ABC中,AB=2√2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使
∠ABD=90°,连结CD,则线段CD的长为 .
20.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于E,若
BC=4,△AOE的面积为5,则sin∠BOE的值为 .
三、解答题(其中21~24题各6分,25~26题各8分,27~28题各10分,共计60分)
21.(本题6分)
a 1 a+2
先化简,再求代数式 - ÷ 的值,其中a=6tan 30°-2.
a+2 a-1 a2-2a+1
22.(本题6分)
如图,在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN,点A、
B、M、N均在小正方形的顶点上.
(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上),使四边形ABCD是
以直线MN为对称轴的轴对称图形,点A的对称点为点D,点B的对称点为点C;
(2)请直接写出四边形ABCD的周长.23.(本题6分)
春雷中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况,围绕“在体育、新闻、动画、娱
乐四类电视节目中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分
学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢新
闻类电视节目的人数占被抽取人数的10%,请你根据以上信息回答下列问题:
(1)在这次调查中,最喜欢新闻类电视节目的学生有多少名?并补全条形统计图;
(2)如果全校共有1 200名学生,请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多少名?
24.(本题6分)
某水渠的横截面呈抛物线形,水面的宽为AB(单位:米),现以AB所在直线为x轴,以抛物线的
对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设坐标原点为O.已知AB=8米,设抛物线解析
式为y=ax2-4.
(1)求a的值;
(2)点C(-1,m)是抛物线上一点,点C关于原点O的对称点为点D,连结CD、BC、BD,求△BCD
的面积.
25.(本题8分)
如图,在△ABC中,以BC为直径作半圆O,交AB于点D,交AC于点E,AD=AE.
(1)求证:AB=AC;
(2)若BD=4,BO=2√5,求AD的长.26.(本题8分)
甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成
此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.
(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?
(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队单独继续施工,为了不
影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量
的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天?
27.(本题10分)
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以OA为边作等边三角形
OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从O点出发沿OC向C点运
动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P、Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒,设运动
时间为t秒.
(1)求线段BC的长;
(2)连结PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F,设线段EF的长为m,
求m与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE'F',使点E的对应点E'落在线段AB上,
√3
点F的对应点是F',E'F'交x轴于点G,连结PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF= QG?
3备用图
28.(本题10分)
已知:△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C),点E、F分别是线段BC和线
段BD上的点,且点F在线段EC的垂直平分线上,连结AF、AE,AE交BD于点G.
(1)如图1,求证:∠EAF=∠ABD;
(2)如图2,当AB=AD时,M是线段AG上一点,连结BM、ED、MF,MF的延长线交ED于点
1 2
N,∠MBF= ∠BAF,AF= AD,试探究线段FM和FN之间的数量关系,并证明你的结论.
2 3
图1
图2
答案全解全析：
1
1.B 由倒数的概念知,- 的倒数是-3.故选B.
32.C A 项,a3+a2=a2(a+1)≠a5;B 项,a3·a2=a3+2=a5≠a6;C 项,(a2)3=a2×3=a6;D 项,(a) 2=a2≠
2 4
a2
.故选C.
2
3.D A项是轴对称图形,不是中心对称图形;
B项不是轴对称图形,是中心对称图形;
C项是轴对称图形,不是中心对称图形;
D项既是轴对称图形,又是中心对称图形.故选D.
4.A 由三视图的定义知,该几何体的俯视图为A项对应图形.故选A.
5.D 把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,得到的抛物线是y=(x+1)2-2,再向右平移1个单
位,得到的抛物线是y=[(x-1)+1]2-2=x2-2.故选D.
1-2k 7
6.C 由题意,得3= ,即1-2k=-2×3,解得k= .
-2 2
7.B ∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECD.又∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠BCE,∴∠DEC=∠ECD,∴DE=DC,又∵AB=CD,AD=2AB,∴AD=2DE,∴AB=AE=3,故选B.
8.C 给2个白球编号白 ,白 ;2个红球编号红 ,红 .两次取球的情况如下表:
1 2 1 2
白 白 红 红
1 2 1 2
白 (白 ,白 ) (白 ,白 ) (白 ,红 ) (白 ,红 )
1 1 1 1 2 1 1 1 2
白 (白 ,白 ) (白 ,白 ) (白 ,红 ) (白 ,红 )
2 2 1 2 2 2 1 2 2
红 (红 ,白 ) (红 ,白 ) (红 ,红 ) (红 ,红 )
1 1 1 1 2 1 1 1 2
红 (红 ,白 ) (红 ,白 ) (红 ,红 ) (红 ,红 )
2 2 1 2 2 2 1 2 2
由上表可知,两次所有摸球结果有16种,其中两次都摸到白球的结果有4种.故所求概率为
4 1
= .
16 49.B ∵M、N分别为边AB、AC的中点,∴MN是三角形ABC的中位线,∴三角形AMN与三角形
ABC的相似比为1∶2,面积比为1∶4,∴三角形AMN与四边形MBCN的面积比为1∶3.
{5x (0≤x≤10),
10.D 由题意得y=
5
x+25(x>10),
2
由函数解析式易知①③正确;
5
②当x=30时,y= ×30+25=100(元),正确;
2
5 5
④当x=40时,y= ×40+25=125(元),当x=20时,y= ×20+25=75(元),75×2-125=25(元),正
2 2
确.故选D.
评析 此题考查函数的应用,侧重对分段函数图象的分析,渗透数形结合的数学思想,学生通
过函数表达式或者实际问题的数量关系都可以求出结果.
11.答案 9.8×104
解析 98 000=9.8×104.
12.答案 x≠-3
x
解析 要使函数y= 有意义,需有x+3≠0,即x≠-3.
x+3
5√3
13.答案
2
√3 5√3
解析 原式=3√3- = .
2 2
14.答案 -2≤x<1
解析 解不等式 3x-1<2,得 x<1,解不等式 x+3≥1,得 x≥-2,所以不等式组的解集
为-2≤x<1.
15.答案 a(2x+y)(2x-y)
解析 原式=a(4x2-y2)=a(2x+y)(2x-y).16.答案 6
解析 设圆锥的底面半径为r cm,由题意得36π=π·r·12,解得r=3,
所以底面直径为6 cm.
17.答案 2√5
解 析 连 结 AO 并 延 长 , 交 CD 于 点 E, 连 结 CO. 由 垂 径 定 理 得
CE=2,∵CO=2.5,∴OE=1.5,AE=4,∴AC=2√5.
18.答案 20%
解析 设平均每次降价的百分率为x,由题意得125(1-x)2=80,解得x=0.2或1.8(舍),∴平
均每次降价的百分率为20%.
19.答案 √5或√13
解析 分两种情况讨论:
(1)如图1所示,点C、D在线段AB两侧时,作DE⊥BC,交CB的延长线于 E.∵BD=AB=2√2
,∠ABD=90°,∴ED=EB=2,∵BC=1,∴EC=3.∴CD=√13.
(2)如图2所示,点C、D在线段AB同侧时,延长BC交AD于点E,易证BE⊥AD,∵BD=AB=2√2
,∠ABD=90°,∴ED=EB=2,∵BC=1,∴EC=1.∴CD=√5.
图1 图2
评析 此题易漏解.解此题的关键是审题,在“以 AB为一边作等腰直角三角形 ABD,使
∠ABD=90°”这一条件上下功夫,分析出等腰直角三角形ABD与钝角三角形ABC有两种不同
位置关系.3
20.答案
5
解析 连结CE,作BF⊥OE,交OE的延长线于点F.
∵AO=CO,又OE⊥AC,∴OE所在直线是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE.
1 1
∵S
△AEC
= AE·BC=2S
△AOE
=10,BC=4,∴AE=CE=5,BE=3,∴BO=CO= ×√82+42=2√5.
2 2
在Rt△AEO中,EO= = .
√AE2-AO2 √5
EF BE
由题意,易知△AEO∽△BEF,则 = .
OE AE
OE·BE √5×3 3√5
∴EF= = = .
AE 5 5
6√5
在Rt△BEF中,BF=√BE2-EF2= .
5
BF 3
在Rt△BOF中,sin∠BOE= = .
OB 5
a 1 (a-1)2 a a-1 1
21.解析 原式= - · = - = .
a+2 a-1 a+2 a+2 a+2 a+2
√3
∵a=6tan 30°-2=6× -2=2√3-2,
3
1 1 1 √3
∴原式= = = = .
a+2 2√3-2+2 2√3 6
22.解析 (1)如图.(2)2√5+5√2.
23.解析 (1)(11+18+16)÷(1-10%)=50(名),
50-11-18-16=5(名),
∴在这次调查中,最喜欢新闻类电视节目的学生有5名.
补全条形统计图如图所示.
11
(2)1 200× =264(名),
50
∴估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有264名.
24.解析 (1)∵AB=8,∴OB=4,∴B(4,0),
把(4,0)代入y=ax2-4,得0=16a-4,
1
∴a= .
4
(2)过点C作CE⊥AB于E,过点D作DF⊥AB于F.
1 1
∵a= ,∴y= x2-4.
4 4
令x=-1,则m=1×(-1)2-4=-15,∴C( 15).
-1,-
4 4 4∵点D与点C关于原点对称,
∴D( 15),∴CE=DF=15米,
1,
4 4
1 1 1 15 1 15
S =S +S = OB·DF+ OB·CE= ×4× + ×4× =15(平方米).
△BCD △BOD △BOC
2 2 2 4 2 4
∴△BCD的面积为15平方米.
25.解析 (1)证明:连结CD、BE.
∵BC为半圆O的直径,∴∠BDC=∠CEB=90°,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
又∵AD=AE,∠A=∠A,
∴△ADC≌△AEB,
∴AB=AC.
(2)连结OD.
∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB.
∵AB=AC,∴∠OBD=∠ACB,∴∠ODB=∠ACB.
BD OB
又∵∠OBD=∠ABC,∴△OBD∽△ABC,∴ = .
BC AB
∵OB=2√5,∴BC=4√5.
4 2√5
又∵BD=4,∴ = ,
4√5 AB∴AB=10,∴AD=AB-BD=6.
26.解析 (1)设乙队单独完成此项任务需x天,则甲队单独完成此项任务需(x+10)天.
45 30
根据题意,得 = ,
x+10 x
∴x=20.
经检验,x=20是原分式方程的解,
∴x+10=20+10=30.
∴甲队单独完成此项任务需30天,乙队单独完成此项任务需20天.
3 2a 3
(2)设甲队再单独施工a天,则 + ≥2× ,
30 30 20
解得a≥3,
∴甲队至少再单独施工3天.
27.解析 (1)∵△AOB为等边三角形,
∴∠BAC=∠AOB=60°.
∵BC⊥AB,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=30°,∠OBC=30°,
∴∠ACB=∠OBC,∴CO=OB=AB=OA=3,
√3
∴AC=6,∴BC= AC=3√3.
2
(2)如图1,过点Q作QN∥OB交x轴于点N,
图1
∴∠QNA=∠BOA=60°,又∠QAN=60°,
∴∠QNA=∠QAN=60°,∴QN=QA,
∴△AQN为等边三角形.
∴NQ=NA=AQ=3-t,∴ON=3-(3-t)=t,
∴PN=t+t=2t.
OE PO OE 1
∵OE∥QN,∴△POE∽△PNQ,∴ = ,∴ = ,
QN PN 3-t 2
3 1
∴OE= - t.
2 2
∵EF∥x轴,∴∠BFE=∠BCO=30°,又∠FBE=30°,
∴∠BFE=∠FBE,
1 3
∴EF=BE,∴m=BE=OB-OE= t+ (0
