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2019年湖南省张家界市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．（3分）2019的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣2019 C． D．﹣
2．（3分）为了有力回击美方单边主义贸易政策的霸凌行为，维护我国正当权益和世界多边贸
易正常秩序，经国务院批准，决定于2019年6月1日起，对原产于美国的600亿美元进口
商品加征关税，其中600亿美元用科学记数法表示为（ ）美元．
A．6×1010 B．0.6×1010 C．6×109 D．0.6×109
3．（3分）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2+a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨
C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7
6．（3分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．C． D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝ AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的
距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后
得到正方形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA B C ，那
1 1 1 2019 2019 2019
么点A 的坐标是（ ）
2019
A．（ ，﹣ ） B．（1，0） C．（﹣ ，﹣ ）D．（0，﹣1）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．（3分）因式分解：x2y﹣y＝ ．
10．（3分）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC
＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝18°，则∠2的度数是 ．
11．（3分）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名
学生的捐书情况：
捐书（本） 3 4 5 7 10
人数 5 7 10 11 7
该班学生平均每人捐书 本．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A在x轴的正
半轴上，顶点C在反比例函数y＝ 的图象上，已知菱形的周长是8，∠COA＝60°，则k的
值是 ．
13．（3分）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直
田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积
为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽
多 步．
14．（3分）如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交
于点P，连接PD，则tan∠APD＝ ．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．（5分）计算：（3.14﹣ ）0+| ﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．
π
16．（5分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当
的数代入求值．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接
DE，分别交BC，AC交于点F，G．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．18．（6分）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20
元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求
可能的购买方案？
19．（6分）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一
位的数称为第一项，记为a ，排在第二位的数称为第二项，记为a ，依此类推，排在第n位
1 2
的数称为第n项，记为a ．所以，数列的一般形式可以写成：a ，a ，a ，…，a ，…．
n 1 2 3 n
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，
7，…为等差数列，其中a ＝1，a ＝3，公差为d＝2．
1 2
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为 ，第5项是 ．
（2）如果一个数列a ，a ，a ，…，a …，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a
1 2 3 n 2
﹣a
1
＝d，a
3
﹣a
2
＝d，a
4
﹣a
3
＝d，…，a
n
﹣a
n﹣1
＝d，…．
所以
a ＝a +d
2 1
a ＝a +d＝（a +d）+d＝a +2d，
3 2 1 1
a ＝a +d＝（a +2d）+d＝a +3d，
4 3 1 1
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a ＝a +（ ）d．
n 1
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
20．（6分）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维
护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝
500米，BC＝800米，AB与水平线AA 的夹角是30°，BC与水平线BB 的夹角是60°．求：
1 1本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA 是多少米？（结果精确到1米，参考数据：
1
≈1.732）
21．（7分）如图，AB为 O的直径，且AB＝4 ，点C是 上的一动点（不与A，B重合），过
点B作 O的切线交⊙AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
（1）求⊙证：EC是 O的切线；
（2）当∠D＝30°时⊙，求阴影部分面积．
22．（8分）为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了
“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主
题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制
了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 度；（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰
好选中同一个主题活动的概率．
23．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC
＝3．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最
小值；若不存在，请说明理由．2019 年湖南省张家界市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：2019的相反数是﹣2019．
故选：B．
2．【解答】解：600亿＝6×1010．
故选：A．
3．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：C．
4．【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5；A错误；
a2+a3＝a2+a3；B错误；
（a+b）2＝a2+b2+2ab；C错误；
（a3）2＝a3×2＝a6；D正确；
故选：D．
5．【解答】解：A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A错误；
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B错误；
C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C错误；
D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确．
故选：D．
6．【解答】解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：B．
7．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝8，DC＝ AD，∴CD＝8× ＝2，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2．
故选：C．
8．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴A（0，1），
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA B C ，
1 1 1
∴A （ ， ），A （1，0），A （ ，﹣ ），…，
1 2 3
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252…余3，
∴点A 的坐标为（ ，﹣ ）
2019
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
9．【解答】解：原式＝y（x2﹣1）＝y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
10．【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠CAB＝18°+30°＝48°，
故答案为：48°
11．【解答】解：该班学生平均每人捐书 ＝6（本），故答案为：6．
12．【解答】解：过点C作CD⊥OA，垂足为D，
∵∠COA＝60°
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°
又∵菱形OABC的周长是8，
∴OC＝OA＝AB＝BC＝2，
在Rt△COD中，OD＝ OC＝1，
∴CD＝ ，
∴C（1， ），
把C（1， ）代入反比例函数y＝ 得：k＝1× ＝ ，
故答案为： ．
13．【解答】解：设长为x步，宽为（60﹣x）步，
x（60﹣x）＝864，
解得，x ＝36，x ＝24（舍去），
1 2
∴当x＝36时，60﹣x＝24，
∴长比宽多：36﹣24＝12（步），
故答案为：12．
14．【解答】解：连接AF，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE， ，
在△ABE和△BCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝∠APF＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠ADF+∠APF＝180°，
∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠AFD＝∠APD，
∴tan∠APD＝tan∠AFD＝ ＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的
答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）
15．【解答】解：（3.14﹣ ）0+| ﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019
π
＝1+ ﹣1﹣2× ﹣1
＝﹣1；
16．【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，
当x＝0时，原式＝﹣1．17．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD＝BC，
∴△EBF∽△EAD，
∴ ＝ ＝ ，
∴BF＝ AD＝ BC，
∴BF＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，
∴△FGC∽△DGA，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，FG＝2．
18．【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，
由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，
50x＝9800，
x＝196，
∴购买甲种树苗196棵，乙种树苗352棵；
（2）设购买甲树苗y棵，乙树苗（10﹣y）棵，
根据题意可得，30y+20（10﹣y）≤230，
10y≤30，
∴y≤3；
购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；
购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵；
19．【解答】解：（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；
∵a ＝15，
3
a ＝a +d＝15+5＝20，
4 3
a ＝a +d＝20+5＝25，
5 4
故答案为：5；25．（2）∵a ＝a +d
2 1
a ＝a +d＝（a +d）+d＝a +2d，
3 2 1 1
a ＝a +d＝（a +2d）+d＝a +3d，
4 3 1 1
……
∴a ＝a +（n﹣1）d
n 1
故答案为：n﹣1．
（3）根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：a ＝﹣5﹣2（n﹣1），
n
则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，
解之得：n＝2019
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．
20．【解答】解：如图，过点B作BH⊥AA 于点H．
1
在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，
∴BH＝ AB＝ （米），
∴A B ＝BH＝250（米），
1 1
在Rt△BB C中，BC＝800，∠CBB ＝60°，
1 1
∴ ，
∴B C＝ ＝400 ，
1
∴检修人员上升的垂直高度CA ＝CB +A B ＝400 +250≈943（米）
1 1 1 1
答：检修人员上升的垂直高度CA 为943米．
1
21．【解答】解：（1）如图，连接BC，OC，OE，
∵AB为 O的直径，
⊙∴∠ACB＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝ED，
∴DE＝EC＝BE，
∵OC＝OB，OE＝OE，
∴△OCE≌△OBE（SSS），
∴∠OCE＝∠OBE，
∵BD是 O的切线，
∴∠ABD⊙＝90°，
∴∠OCE＝∠ABD＝90°，
∵OC为半径，
∴EC是 O的切线；
（2）∵⊙OA＝OB，BE＝DE，
∴AD∥OE，
∴∠D＝∠OEB，
∵∠D＝30°，
∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵AB＝4 ，
∴OB＝2 ，
∴ ．
∴四边形OBEC的面积为2S△OBE ＝2× ＝12 ，
∴阴影部分面积为S四边形OBEC ﹣S扇形BOC ＝12 ﹣ ＝12 ﹣4 ．
π
22．【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人；
故答案为：60；（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°× ＝108°，
故答案为：108；
（4）画树状图如图2所示：
共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝ ＝ ．
23．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即：3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，
则顶点D（2，﹣1）；
（2）∵OB＝OC＝4，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
AM＝MB＝ABsin45°＝ ＝AD＝BD，
则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，
∴四边形ADBM为正方形；
（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），
则S△PBC ＝ PH×OB＝ （﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝ （﹣x2+3x），
∵﹣ ＜0，故S△PBC 有最大值，此时x＝ ，
故点P（ ，﹣ ）；
（4）存在，理由：
如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，过点A作AH⊥CH，垂足为H，
则HQ＝ CQ，
AQ+ QC最小值＝AQ+HQ＝AH，
直线HC所在表达式中的k值为 ，直线HC的表达式为：y＝ x+3…
①
则直线AH所在表达式中的k值为﹣ ，
则直线AH的表达式为：y＝﹣ x+s，将点A的坐标代入上式并解得：
则直线AH的表达式为：y＝﹣ x+ … ，
②
联立 并解得：x＝ ，
①②
故点H（ ， ），而点A（1，0），
则AH＝ ，
即：AQ+ QC的最小值为 ．
