2022 年湖南省衡阳市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共12 小题,每小题3 分,满分36 分,在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2022 湖南衡阳,1,3 分)-2 的绝对值是( )
A.-2
B.2 C.1
2 D.-1
2
2.(2022 湖南衡阳,2,3 分)石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示,它的主视
图是
( )
A B
C D
3.(2022 湖南衡阳,3,3 分)下列选项中的垃圾分类图标,既是中心对称图形,又是
轴对称图形的是
( )
A.可回收物 B.其他垃圾
C.有害垃圾 D.厨余垃圾
4.(2022 湖南衡阳,4,3 分)为有效防控新冠疫情,国家大力倡导全国人民免费接
种疫苗.截止至2022 年5 月底,我国疫苗接种高达339 000 万剂次,数据339 000
万用科学记数法可表示为a×109的形式,则a 的值是( )
A.0.339 B.3.39
C.33.9
D.339
5.(2022 湖南衡阳,5,3 分)下列运算正确的是
( )
A.a2+a3=a5 B.a3·a4=a12
C.(a3)4=a7
D.a3÷a2=a
6.(2022 湖南衡阳,6,3 分)下列说法正确的是
( )
A.“任意画一个三角形,其内角和为180°”是必然事件
B.调查全国中学生的视力情况,适合采用普查的方式
C.抽样调查的样本容量越小,对总体的估计就越准确
D.十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色,所以开车经过十字路口时,恰
好遇到黄灯的概率是1
3
7.(2022 湖南衡阳,7,3 分)如果二次根式√a-1有意义,那么实数a 的取值范围是
( )
A.a>1
B.a≥1
C.a<1
D.a≤1
8.(2022 湖南衡阳,8,3 分)为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳
动教育的意见》精神,把劳动教育纳入人才培养全过程,某校组织学生周末赴劳
动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动,已知五个项
目参与人数(单位:人)分别是35,38,39,42,42,则这组数据的众数和中位数分别
是( )
A.38,39B.35,38
C.42,39D.42,35
9.(2022 湖南衡阳,9,3 分)不等式组{
x +2≥1,
2 x< x +3的解集在数轴上表示正确的是
(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2022 湖南衡阳,10,3 分)下列命题为假命题的是( )
A.对角线相等的平行四边形是矩形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D.有一组邻边相等的矩形是正方形
11.(2022 湖南衡阳,11,3 分)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部
(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此
比例设计一座高度为2 m 的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是
( )
(结果精确到0.01 m.参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236)
A.0.73 m
B.1.24 m
C.1.37 m
D.1.42 m
12.(2022 湖南衡阳,12,3 分)如图,在四边形ABCD 中,
∠B=90°,AC=6,AB∥CD,AC 平分∠DAB.设AB=x,AD=y,则y 关于x 的函数关系
用图象大致可以表示为( )
A B
C D
二、填空题(本大题共6 个小题,每小题3 分,满分18 分.)
13.(2022 湖南衡阳,13,3 分)因式分解:x2+2x+1= .
14.(2022 湖南衡阳,14,3 分)计算:√2×√8= .
15.(2022 湖南衡阳,15,3 分)计算: 2a
a+2+ 4
a+2= .
16.(2022 湖南衡阳,16,3 分)如图,在△ABC 中,分别以点A 和点B 为圆心,大于1
2
AB 的长为半径作圆弧,两弧相交于点M 和点N,作直线MN 交CB 于点D,连接
AD.若AC=8,BC=15,则△ACD 的周长为 .
17.(2022 湖南衡阳,17,3 分)如图,用一个半径为6 cm 的定滑轮拉动重物上升,
滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与滑轮之间没有滑动,则重物上升了
cm.(结果保留π)
18.(2022 湖南衡阳,18,3 分)回雁峰坐落于衡阳雁峰公园,为衡山七十二峰之首.
王安石曾赋诗联“万里衡阳雁,寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕
塑,为衡阳市城徽.某校课外实践小组为测量大雁雕塑的高度,利用测角仪及皮尺
测得以下数据:如图,AE=10 m,∠BDG=30°,∠BFG=60°.已知测角仪DA 的高度
为1.5 m,则大雁雕塑BC 的高度约为 m.(结果精确到0.1 m.参考数
据:√3≈1.732)
三、解答题(本大题共8 个小题,19~20 题每题6 分,21~24 题每题8 分,25 题10
分,26 题12 分,满分66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.(2022 湖南衡阳,19,6 分)先化简,再求值.(a+b)(a-b)+b(2a+b),其中
a=1,b=-2.
20.(2022 湖南衡阳,20,6 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,D、E 是BC 边上的点,且
BD=CE,求证:AD=AE.
21.(2022 湖南衡阳,21,8 分)为落实“双减提质”,进一步深化“数学提升工程”,提
升学生数学核心素养,某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示
现场会,为了解学生最喜爱的项目,现随机抽取若干名学生进行调查,并将调查结
果绘制成如下两幅不完整的统计图:
图①
图②
根据以上信息,解答下列问题:
(1)参与此次抽样调查的学生人数是 ,补全统计图①(要求在条形图上方注
明人数);
(2)图②中扇形C 的圆心角度数为 度;
(3)若参加成果展示活动的学生共有1 200 人,估计其中最喜爱“测量”项目的学生
人数是多少;
(4)计划在A,B,C,D,E 五项活动中随机选取两项作为直播项目,请用列表或画树
状图的方法,求恰好选中B,E 这两项活动的概率.
22.(2022 湖南衡阳,22,8 分)冰墩墩(Bing Dwen Dwen)、雪容融(Shuey Rhon
Rhon)分别是2022 年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际,冰墩墩、
雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶,决定从该网店进货并销售,第
一次小雅用1 400 元购进了冰墩墩玩偶15 个和雪容融玩偶5 个,已知购进1 个冰
墩墩玩偶和1 个雪容融玩偶共需136 元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28 元,每
个雪容融玩偶可获利20 元.
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少;
(2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货
数量的1.5 倍.小雅计划购进两种玩偶共40 个,应如何设计进货方案才能获得最
大利润,最大利润是多少元?
23.(2022 湖南衡阳,23,8 分)如图,反比例函数y=m
x 的图象与一次函数y=kx+b
的图象相交于A(3,1),B(-1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式;
(2)设直线AB 交y 轴于点C,点M,N 分别在反比例函数和一次函数图象上,若四
边形OCNM 是平行四边形,求点M 的坐标.
24.(2022 湖南衡阳,24,8 分)如图,AB 为☉O 的直径,过圆上一点D 作☉O 的切
线CD 交BA 的延长线于点C,过点O 作OE∥AD 交CD 于点E,连接BE.
(1)直线BE 与☉O 相切吗?并说明理由;
(2)若CA=2,CD=4,求DE 的长.
25.(2022 湖南衡阳,25,10 分)如图,已知抛物线y=x2-x-2 交x 轴于A、B 两点,将
该抛物线位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折,其余部分不变,得到的新图象记为“图
象W”,图象W 交y 轴于点C.
(1)写出图象W 位于线段AB 上方部分对应的函数关系式;
(2)若直线y=-x+b 与图象W 有三个交点,请结合图象,直接写出b 值;
(3)P 为x 轴正半轴上一动点,过点P 作PM∥y 轴交直线BC 于点M,交图象W 于
点N,是否存在这样的点P,使△CMN 与△OBC 相似?若存在,求出所有符合条件
的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(2022 湖南衡阳,26,12 分)如图,在菱形ABCD 中,AB=4,∠BAD=60°,点P 从
点A 出发,沿线段AD 以每秒1 个单位长度的速度向终点D 运动,过点P 作
PQ⊥AB 于点Q,作PM⊥AD 交直线AB 于点M,交直线BC 于点F,设△PQM 与菱
形ABCD 重叠部分图形的面积为S(平方单位),点P 运动时间为t(秒).
(1)当点M 与点B 重合时,求t 的值;
(2)当t 为何值时,△APQ 与△BMF 全等;
(3)求S 与t 的函数关系式;
(4)以线段PQ 为边,在PQ 右侧作等边三角形PQE,当2≤t≤4 时,求点E 运动路
径的长.
2022 年湖南省衡阳市初中学业水平考试
1.
B |-2|=2,故答案选B.
2.
A 从正面看物体,看到的图形为“
”,故答案选A.
3.
C A.既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
B.既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不符合题意;
C.既是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项符合题意;
D.不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选不符合题意.
故答案选C.
4.
B ∵339 000 万=3 390 000 000=3.39×109,
∴a=3.39,
故答案选B.
5.
D A.a2与a3不是同类项,不能合并,故该选项不符合题意.
B.a3·a4=a3+4=a7≠a12,故该选项不符合题意.
C.(a3)4=a3×4=a12≠a7,故该选项不符合题意.
D.a3÷a2=a3-2=a,故该选项符合题意.
故答案选D.
6.
A A.三角形内角和为180°,故该选项符合题意.
B.全国中学生人数很大,适合抽样调查的方式,故该选项不符合题意.
C.抽样调查的样本容量越大,对总体的估计就越准确,故该选项不符合题意.
D.三种信号灯持续的时间一般不相等,故该选项不符合题意.
故答案选A.
7.
B 由题意可得a-1≥0,∴a≥1,故答案选B.
8.
C 将这组数据从小到大排列为35,38,39,42,42.
众数为42,中位数为39.故答案选C.
9.
A {
x +2≥1①,
2 x< x +3②,
解①得x≥-1,解②得x<3.则不等式组的解集可表示为
故答案选A.
10.
C A.对角线相等的平行四边形是矩形,故A 是真命题,不符合题意.
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故B 是真命题,不符合题意.
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形,故C 是假命题 ,符合题意.
D.有一组邻边相等的矩形是正方形,故D 是真命题,不符合题意.
故答案选C.
11.
B 根据雕像上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比列方程求解即可.
设下部的高度为x m,则上部的高度为(2-x)m,由题得2- x
x
= x
2
,解得x=√5-1 或x=-√5-1(舍
去),
经检验,x=√5-1 是原分式方程的解,
∴x=√5-1≈1.24.故答案选B.
12.
D 如图,过点D 作DE⊥AC 于点E,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC,
∵AC 平分∠DAB,
∴∠BAC=∠CAD,
∴∠ACD=∠CAD,
∴CD=AD=y,
∵DE⊥AC,
∴DE 垂直平分AC(三线合一),
∴AE=CE=1
2
AC=3,∠AED=90°,
∴∠B=∠AED=90°,
∴△ABC∽△AED,
∴AC
AD
= AB
AE
,
∴6
y
= x
3
,
∴y=18
x
,
∵AB<AC,
∴x<6,
故答案选D.
13.
答案 (x+1)2
解析 x2+2x+1=(x+1)2,故答案选(x+1)2.
14.
答案 4
解析 √2×√8=√16=4,故答案选4.
15.
答案 2
解析 2a
a+2
+ 4
a+2
=2a+ 4
a+2
=2(a+2)
a+2
=2,故答案选2.
16.
答案 23
解析 由题可得,直线MN 是线段AB 的垂直平分线,
∴AD=BD,
∴C△ACD=AC+AD+CD
=AC+BD+CD
=AC+BC
=8+15=23,
故答案选23.
17.
答案 4π
解析 l=n π r
180
=120 π ×6
180
=4π.故答案选4π.
方法总结
l=n π r
180 .S 扇形=n π r
2
360
=1
2
·l·r.
18.
答案 10.2
解析 ∵∠BFG=60°,∠BDG=30°,
∴∠DBF=60°-30°=30°,
∴∠DBF=∠BDF,
∴DF=BF=AE=10 m.
在Rt△BFG 中,sin∠BFG=BG
BF
,
∴BG
10
=√3
2
,
∴BG=5√3≈5×1.732=8.66(m),
∴BC=BG+CG=BG+DA=8.66+1.5≈10.2(m).
故答案选10.2.
19.
解析 原式=a2-b2+2ab+b2
=a2+2ab,
将a=1,b=-2 代入得,
原式=12+2×1×(-2)
=1-4
=-3.
20.
证明 ∵AB=AC,
∴△ABC 为等腰三角形,
∴∠B=∠C,
∴在△ABD 和△ACE 中,{
AB = AC ,
∠B =∠C ,
BD =CE ,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
21.
解析 (1)因为参与B 活动的人数为36,占总人数的30%,所以总人数= 36
30 %
=120,
则参与E 活动的人数为120-30-36-30-6=18;
补全统计图如下:
(2)扇形C 的圆心角度数为30
120
×360°=90°.
(3)估计最喜爱“测量”项目的学生人数是30
120
×1 200=300.
(4)列表如下:
第二项
第一项
A
B
C
D
E
A
—— AB
AC
AD
AE
B
BA —— BC
BD
BE
C
CA
CB —— CD
CE
D
DA
DB
DC —— DE
E
EA
EB
EC
ED ——
或者画树状图如下:
所以选中B、E 这两项活动的概率P= 2
20
×100%=10%.
22.
解析 (1)设冰墩墩进价为x 元,雪容融进价为y 元.
得{
x + y =136,
15 x +5 y =1 400,解得{
x =72,
y =64.
答:冰墩墩的进价为72 元,雪容融的进价为64 元.
(2)设冰墩墩进货量为a 个,利润为w 元,则雪容融进货量为(40-a)个.
则w=28a+20(40-a)=8a+800,
∵8>0,∴利润随a 的增大而增大,
又∵冰墩墩的进货量不能超过雪容融的进货量的1.5 倍,
∴a≤3
2
(40-a),解得a≤24,
∴当a 取24 时,利润取得最大值,为992.
思路分析
(1)根据用1 400 元购进了冰墩墩玩偶15 个和雪容融玩偶5 个,购进1 个冰墩墩玩偶和1
个雪容融玩偶共需136 元,可以列出相应的二元一次方程组,然后求解即可;
(2)根据题意可以写出利润和冰墩墩数量的函数关系式,然后根据网店规定冰墩墩玩偶进货数量
不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5 倍,可以求得购买冰墩墩数量的取值范围,再根据一次函数
的性质,即可得到利润的最大值.
23.
解析 (1)将A(3,1)代入反比例函数解析式求得m=3,
∴反比例函数的解析式为y=3
x
,将B 代入反比例函数解析式中求得n=-3,即B(-1,-3),将A,B 代
入y=kx+b,求得k=1,b=-2,
∴一次函数的解析式为y=x-2.
(2)由题意知OC=2,四边形OCNM 为平行四边形,且OC 固定,
∴M,N 的横坐标相同,设M(t , 3
t )
,N(t,t-2),
∵OC=MN,即3
t
-(t-2)=2,解得t=±√3,
∴M(√3,√3)或(-√3,-√3).
24.
解析 (1)相切.理由:连接OD.
∵CD 为☉O 的切线,
∴∠ODC=∠ODE=90°,
又∵OE∥AD,
∴∠DAO=∠EOB,∠ADO=∠EOD,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠EOD=∠EOB,
在△ODE 与△OBE 中,
{
OD =OB ,
∠EOD =∠EOB ,
OE =OE ,
∴△ODE≌△OBE,
∴∠OBE=∠ODE=90°,
∴直线BE 与☉O 相切.
(2)设半径为r,
在Rt△OCD 中,OD2+CD2=OC2,
即r2+42=(2+r)2,得r=3,
∵△ODE≌△OBE,
∴DE=BE,
在Rt△CBE 中,BC2+BE2=CE2,
即(2+3+3)2+DE2=(4+DE)2,解得DE=6.
25.
解析 (1)由翻折可知C(0,2).
令x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,
所以A(-1,0),B(2,0),
设图象W 的解析式为y=a(x+1)(x-2),把C(0,2)代入,得a=-1,
所以图象W 的解析式为y=-x2+x+2(-1<x<2).
(2)b=2 或b=3.
(3)如图1,当CN∥OB 时,△OBC∽△NMC,此时,
P(1,0);
如图2,当CN∥OB 时,△OBC∽△NMC,
此时,N 点纵坐标为2,即x2-x-2=2,解得x1=1+√17
2
,x2=1-√17
2
(舍);
所以P(
1+√17
2
,0)
;
如图3,当∠NCM=90°时,△OBC∽△CMN,此时,直线CN 的解析式为y=x+2;联立方程组
{
y = x +2,
y = x
2- x -2,
解得x1=1+√5
,x2=1-√5
(舍),所以P(1+√5
,0).
综上,P 点的坐标为(1,0)或(
1+√17
2
,0)
或(1+√5,0).
图1
图2
图3
解题反思
本题是二次函数的综合题,考查了用待定系数法求二次函数解析式,翻折的性质,等腰直角
三角形的性质,相似三角形的性质和判定,两函数交点问题以及根的判别式.解题的关键:(1)根
据翻折的性质,利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)利用数形结合找出直线y=-x+b 与新
图象恰好有三个不同的交点的情况;(3)分三种情况利用二次函数图象上点的坐标特征,正确画
图.
26.
解析 (1)如图1,当M 与B 重合时,
∵∠A=60°,∴PA=1
2
AB=2,∴t=2.
图1
(2)①如图2,当0≤t≤2 时,
∵AM=2t,
∴BM=4-2t,
∵△APQ≌△BMF,
∴AP=BM,
∴t=4-2t,
∴t=4
3
.
图2
②如图3,当2<t≤4 时,
∵AM=2t,
∴BM=2t-4,
∵△APQ≌△BMF,
∴AP=BM,
∴t=2t-4,
∴t=4,
∴t=4 或t=4
3
.
图3
(3)①如图2,当0<t≤2 时,PQ=√3
2
t,
∴MQ=3
2
t,
∴S=S△PQM=3√3
8
t2.
②如图3,当2<t≤4 时,
∵BF=t-2,
MF=√3(t-2),
∴S△BFM=√3
2
(t-2)2,
∴S=S△PQM-S△BFM=-√3
8
t2+2√3t-2√3,
∴S={
3√3
8
t
2(0≤t ≤2),
- √3
8 t
2+2√3t -2√3(2<t ≤4).
(4)∵∠BAD=60°,∠APM=90°,∠QPE=60°,
∴∠APE=90°,∴E 在线段PM 上,
如图4,作等边三角形PQE,
连接AE,
图4
∵△PQE 为等边三角形,
∴PE=√3
2
t,
在Rt△APE 中,
tan∠PAE=PE
PA
=
√3
2 t
t
=√3
2
,
∴∠PAE 为定值,
∴E 的运动轨迹为直线.
AE=√A P
2+ P E
2=√7
2
t,
当t=2 时AE=√7,
当t=4 时AE=2√7,
∴E 的运动路径长为2√7-√7=√7.
