年衡阳市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1.8的相反数是( )
1
A.-8B.8 C.- D.±8
8
2.2021年2月25日,习近平总书记庄严宣告,我国脱贫攻坚战取得全面胜利.现标准下,98 990
000农村贫困人口全部脱贫.数98 990 000用科学记数法表示为( )
A.98.99×106 B.9.899×107
C.9 899×104 D.0.989 9×108
3.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( )
A B
C D
4.下列运算结果为a6的是( )
A.a2·a3 B.a12÷a2
C.(a3)2 D.(1 a3) 2
2
5.下列计算正确的是( )
A.√16=±4 B.(-2)0=1
C.√2+√5=√7D.√3 9=3
6.为了向建党一百周年献礼,我市中小学开展了红色经典故事演讲比赛.某参赛小组6名同学
的成绩(单位:分)分别为85,82,86,82,83,92.关于这组数据,下列说法错误的是( )
A.众数是82 B.中位数是84
C.方差是84 D.平均数是85
7.如图是由6个相同的正方体堆成的物体,它的左视图是( )A B
C D
8.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角为37°,大厅两层之间的
距离BC为6米,则自动扶梯AB的长约为(sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)( )
A.7.5米 B.8米 C.9米 D.10米
9.下列命题是真命题的是( )
A.正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B.正六边形的每一个内角为120°
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.对角线相等的四边形是矩形
{x+1<0,
10.不等式组 的解集在数轴上可表示为( )
-2x≤6
A B
C D
11.下列说法正确的是( )
A.为了解我国中学生课外阅读的情况,应采取全面调查方式
B.某彩票的中奖机会是1%,买100张一定会中奖
3
C.从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是
4
D.某校有3 200名学生,为了解学生最喜欢的课外体育运动项目,随机抽取了200名学生,其中
有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳,估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1
360人
12.如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M、N分别在矩形的边AD、BC上,将矩形纸片沿直
线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连
接CM.下列结论:①四边形CMPN是菱形;②点P与点A重合时,MN=5;③△PQM的面积S的
取值范围是4≤S≤5.其中所有正确结论的序号是( )A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.若二次根式 有意义,则x的取值范围是 .
√x-3
a-1 1
14.计算: + = .
a a
15.因式分解:3a2-9ab= .
16.底面半径为3,母线长为4的圆锥的侧面积为 .(结果保留π)
17.“绿水青山就是金山银山”,某地为美化环境,计划种植树木6 000棵.由于志愿者的加入,
实际每天植树的棵数比原计划增加了25%,结果提前3天完成任务,则实际每天植树
棵.
18.如图1,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,P、Q两点同时从点O出发,以1厘
米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为O→A→D→O,点Q的运动路线
为O→C→B→O,设运动的时间为x秒,P、Q间的距离为y厘米,y与x的函数关系的图象大
致如图2所示,当P在AD段运动且P、Q两点间的距离最短时,P、Q两点的运动路程之和为
厘米.
三、解答题(本大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本小题满分6分)
计算:(x+2y)2+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y).
20.(本小题满分6分)如图,点A、B、D、E在同一条直线上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求证:△ABC≌△DEF.
21.(本小题满分8分)
“垃圾分类工作就是新时尚”,为了改善生态环境,有效利用垃圾剩余价值,2020年起,我市将
生活垃圾分为四类:厨余垃圾、有害垃圾、可回收物、其他垃圾.某学习研究小组在对我市垃
圾分类实施情况的调查中,绘制了生活垃圾分类扇形统计图,如图所示.
(1)图中其他垃圾所在扇形的圆心角度数是 度;
(2)据统计,生活垃圾中可回收物每吨可创造的经济总价值约为0.2万元.若我市某天生活垃圾
清运总量为500吨,请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元;
(3)为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况,某校开展了相关知识竞赛,要求每班派2名学
生参赛.甲班经选拔后,决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛,求所抽取的
学生中恰好一男一女的概率.22.(本小题满分8分)
如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到
△ADF,DF的延长线交BE于H点.
(1)试判断四边形AFHE的形状,并说明理由;
(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.
23.(本小题满分8分)
如图是一种单肩包,其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成.小文购买时,售货员演示通
过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和,其
中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短,设双层部分的长度为x cm,单层部分的长度为y
cm.经测量,得到下表中数据.
双层部分长度x(cm) 2 8 14 20
单层部分长度y(cm) 148 136 124 112
(1)根据表中数据规律,求出y与x的函数关系式;
(2)按小文的身高和习惯,背带的长度调为130 cm时为最佳背带长.请计算此时双层部分的长
度;
(3)设背带的长度为L cm,求L的取值范围.24.(本小题满分8分)
如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为 的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.
BD
⏜
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.
25.(本小题满分10分)
如图,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),B(6,0),动点P、Q同时从点O出发,分别沿x轴
正方向和y轴正方向运动,速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位,点P到达点B时点P、
Q同时停止运动.过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N,连接PM、PN,设运动时间
为t(秒).
(1)求点M的坐标(用含t的式子表示);
(2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值;
(3)是否存在这样的直线l,总能平分四边形MNBP的面积?如果存在,求出直线l的解析式;如
果不存在,请说明理由;
(4)连接AP,当∠OAP=∠BPN时,求点N到OA的距离.
26.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“雁点”.例如(1,1),(2
021,2 021),…都是“雁点”.4
(1)求函数y= 图象上的“雁点”坐标;
x
(2)若抛物线y=ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点(点M
在点N的左侧).当a>1时,
①求c的取值范围;
②求∠EMN的度数;
(3)如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),P是抛物线y=-
x2+2x+3上一点,连接BP,以点P为直角顶点,构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰好为
“雁点”?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
24 2021年衡阳市初中学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B A C B C A D B A D C
1.A 8的相反数为-8.故选A.
2.B 98 990 000=9.899×107,故选B.
3.A 根据轴对称图形的概念,可知A中图形为轴对称图形.故选A.
4.C A选项,a2·a3=a2+3=a5,不符合题意;
B选项,a12÷a2=a12-2=a10,不符合题意;
C选项,(a3)2=a3×2=a6,符合题意;
D选项,(1 a3) 2 =(1) 2 ·a3×2=1a6,不符合题意.故选C.
2 2 4
5.B √16=4,故A选项错误;(-2)0=1,故B选项正确;√2和√5不是同类二次根式,不能合并,故C
选项错误;√3 9不能化简,故D选项错误.故选B.
6.C 82出现的次数最多,故众数为82,选项A中说法正确;根据中位数的定义可知这组数的
83+85
中位数是将这6个数据从小到大排列后中间两个数的平均数,即 =84,选项B中说法正
2
85+82+86+82+83+92
确;根据平均数的计算公式可得x= =85,选项D中说法正确;根据方
6
1
差的计算公式可得s2= [(85-85)2+(82-85)2+(86-85)2+(82-85)2+(83-85)2+(92-85)2]=12,选项C中
6
说法错误.故选C.
7.A 通过观察这6个相同的正方体堆成的物体的位置关系,可得它的左视图如图.故选A.
BC BC 6
8.D 根据题意,得sin∠BAC=sin 37°= .∵BC=6米,∴AB= ≈ =10米.故选D.
AB sin37° 0.6
9.B 正六边形的外角和与正五边形的外角和相等,均为360°,选项A不符合题意;正六边形的
720°
内角和为(6-2)×180°=720°,∴每一个内角为 =120°,选项B符合题意;三个角均为60°的
6
三角形是等边三角形,选项C不符合题意;对角线相等的平行四边形是矩形,选项D不符合题
意.故选B.
10.A 解不等式x+1<0,得x<-1,
解不等式-2x≤6,得x≥-3,
所以这个不等式组的解集为-3≤x<-1,在数轴上表示如选项A所示,故选A.
11.D 全面调查适合人数较少,调查范围较小的情况,而了解我国中学生课外阅读情况,人数
较多,范围较广,应采取抽样调查,A选项说法错误;买100张彩票可能会中奖,可能不会中奖,B
3
选项说法错误;共有7个小球,其中3个红球,摸出红球的概率为 ,C选项说法错误;3 200×
7
85
=1 360(人),D选项说法正确.故选D.
200
12.C ①∵PM∥CN,∴∠PMN=∠MNC.
由折叠的性质可知∠MNC=∠PNM,NC=NP,
∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN,∴PM=CN.
∵MP∥CN,∴四边形CMPN为平行四边形.
∵CN=NP,∴平行四边形CMPN为菱形,故①正确.
②当点P与A重合时,如图1所示,
图1
设BN=x,则AN=NC=8-x.
在Rt△ABN中,AB2+BN2=AN2,
即42+x2=(8-x)2,解得x=3,∴CN=5,
又∵四边形CMPN为菱形,
∴AC⊥MN,且MN=2QN,AC=2CQ,
1
∵AC=√AB2+BC2=4√5,∴CQ= AC=2√5.
2
∴QN= = ,∴MN=2QN=2 ,故②错误.
√CN2-CQ2 √5 √5
③当MN过点D时,如图2所示,
图21 1
此时CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小,且S= S = ×4×4=4.
4
菱形CMPN
4
1
当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大,且S= ×5×4=5.
4
∴4≤S≤5,故③正确.故选C.
二、填空题
13.答案 x≥3
解析 由二次根式被开方数为非负数知,x-3≥0,
解得x≥3.
故答案为x≥3.
14.答案 1
a-1+1
解析 原式= =1.故答案为1.
a
15.答案 3a(a-3b)
解析 3a2-9ab=3a·a-3a·3b=3a(a-3b).
故答案为3a(a-3b).
16.答案 12π
1 1
解析 圆锥的侧面积为 lR= ×(2π×3)×4=12π.
2 2
故答案为12π.
17.答案 500
6 000
解析 设原计划每天植树x棵,则实际每天植树(1+25%)x棵,根据题意得 -
x
6 000
=3,
(1+25%)x
解得x=400.
经检验,x=400是原方程的解,且符合题意,
∴实际每天植树400×(1+25%)=500(棵).
故答案是500.
18.答案 (2√3+3)
解析 由题图可得,AC=2√3厘米,BD=2厘米.
∵四边形ABCD为菱形,
1 1
∴OC= AC=√3(厘米),OB= BD=1(厘米),
2 2
∴∠ACB=30°.
∵当P在AD上,Q在BC上,PQ最短时,PQ过O点且垂直于BC,此时,P、Q两点运动路程之和
为2(OC+CQ).
√3 3
∵CQ=OC·cos∠ACB=√3× = (厘米),
2 2
∴2(OC+CQ)=2( 3)=(2 +3)厘米.
√3+ √3
2
故答案为(2√3+3).
三、解答题
19.解析 (x+2y)2+(x-2y)(x+2y)+x(x-4y)=x2+4xy+4y2+x2-4y2+x2-4xy=3x2.
20.证明 ∵点A,B,D,E在一条直线上,AC∥DF,BC∥EF,
∴∠A=∠FDE,∠ABC=∠DEF,{∠A=∠FDE,
在△ABC与△DEF中, AB=DE,
∠ABC=∠DEF,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
21.解析 (1)360°×(1-55%-20%-7%)=64.8°.
故答案为64.8.
(2)500×20%×0.2=20(万元).
答:估计该天可回收物所创造的经济总价值是20万元.
(3)列表如下:
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2男1女1男1女2
男2 男2男1 男2女1男2女2
女1 女1男1女1男2 女1女2
女2 女2男1女2男2女2女1
由表可知共12种等可能的结果,其中恰好为一男一女的结果数为8,
8 2
所以恰好抽取一男一女的概率是 = .
12 3
2
答:抽取的学生中恰好一男一女的概率为 .
3
22.解析 (1)四边形AFHE是正方形,理由如下:
根据旋转的性质可知∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF,∠DAF=∠EAB.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°,
∴∠FAE=∠DAB=90°,
∴∠AEB=∠AFH=∠FAE=90°,
∴四边形AFHE是矩形.
又∵AE=AF,∴矩形AFHE是正方形.
(2)连接BD.
在Rt△BCD中,∵BC=CD=13,∴BD= =13 .
√CD2+CB2 √2
∵四边形AFHE是正方形,∴∠EHD=90°,∴∠DHB=90°.
在Rt△DHB中,BH=7,∴DH= = =17.
√BD2-BH2 √(13√2)2-72
{2k+b=148,
23.解析 (1)根据观察,y与x是一次函数的关系,∴设y=kx+b(k≠0),依题意,得
8k+b=136,
{k=-2,
解得
b=152,
∴y与x的函数关系式为y=-2x+152.
(2)由题意得,130=x+(-2x+152)=-x+152,解得x=22.
故此时双层部分的长度为22 cm.
(3)由(2)知,L=-x+152.
∵y≥0,∴-2x+152≥0,解得x≤76,
又x≥0,∴0≤x≤76,
∴76≤-x+152≤152,即76≤L≤152.
24.解析 (1)证明:连接OD.
∵OD=OB,∴∠OBD=∠ODB.又∵∠OBD=∠CDA,∴∠ODB=∠CDA.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∴∠ODB+∠ODA=90°,∴∠CDA+∠ODA=90°,
即∠ODC=90°,∴CD是☉O的切线.
(2)连接BE、OE.
∵E是 的中点,∴BE=DE=2,OE⊥BD.
BD
⏜
∵∠BOE=2∠BDE=60°,OB=OE,
∴△OBE是等边三角形,∴OB=BE=2.
∵OB=OD,OE⊥BD,∴∠BOE=∠DOE=60°,
∴∠DOC=60°.
在Rt△ODC中,∠DOC=60°,OD=OB=2,
∴CD=√3OD=2√3.
25.解析 (1)过M点作MG⊥x轴于G点,过A点作AD⊥x轴于D点,则∠MGO=90°,MG∥AD.
∵∠QOB=90°,MN∥OB,∴∠OQM=180°-∠QOB=90°,
∴四边形QOGM为矩形,则MG=OQ=2t.
∵O(0,0),A(3,4),B(6,0),AD⊥OB,
∴D(3,0),OD=3,AD=4.
∵MG∥AD,∴△MOG∽△AOD,
OG MG OG 2t
∴ = ,即 = ,
OD AD 3 4
∴OG=3t,∴M(3 ).
t,2t
2 2
3
(2)∵OQ=2t,QM= t=OG,A(3,4),
2
5
∴OM=√OQ2+QM2= t,OA=√32+42=5.
2
∵B(6,0),∴OB=6,
又∵OP=3t,
5
OM t 1 3t OP
∴ =2 = t= = .
OA 2 6 OB
5
∵∠MOP=∠AOB,∴△MOP∽△AOB,
∴∠MPO=∠ABO,∴MP∥AB.
∵MN∥OB,∴四边形MNBP为平行四边形,
∴S =BP·OQ=(6-3t)×2t=-6(t-1)2+6,
▱MNBP
∴当t=1时,S取最大值6;当t=0或t=2时,S取最小值0.
∴四边形MNBP面积的最大值为6,最小值为0.
(3)存在.
如图,连接BM,交PN于H.由(2)得四边形PBNM为平行四边形,
∴过点H的任意直线都平分▱MNBP的面积,MH=BH.
∵M(3 ),B(6,0),
t,2t
2
∴易得H(3 ),即直线l过点H,
t+3,t
4
{ 3
∴ x= t+3,∴x=3y+3,
4
4
y=t,
4
∴直线l的解析式为y= x-4.
3
(4)如图,当0<t<2时,
∵A(3,4),B(6,0),AO=5,
∴AB= =5,
√(3-6)2+(4-0)2
∴AB=AO=5,∴∠AOB=∠ABO.
∵∠OAP=∠BPN,∴△AOP∽△PBN,
AO OP 5 3t
∴ = ,即 = .
PB BN 6-3t BN
∵MN∥OB,∴∠AMN=∠AOB,∠ANM=∠ABO,
∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,
3t
5 5 11
∴OM=BN= t,∴ =5 ,∴t = ,t=0,
1 2
2 6-3t t 18
2
11
经检验:t= 是原方程的根,t=0是增根,舍去,
1 2
18
25 11
此时,MN=PB=6-3t= ,OQ=2t= .
6 9
过N作NK⊥AO于K,连接ON.
1
∵S = ×OB×AD=12=S +S ,
△ABO △OBN △AON
21 11 1 10
∴ ×6× + ×5×NK=12,∴NK= .
2 9 2 3
当t=0时,∠OAP=∠BPN=0°,此时N到OA的距离是B到OA的距离.
1 1
设这个距离为h,由等面积法可得 OA·h= OB·AD,
2 2
24
∴5h=6×4,∴h= .
5
当t=2时,不合题意,舍去.
10 24
综上,点N到OA的距离为 或 .
3 5
{ 4
26.解析 (1)联立 y= ,解得{x=2,或{x=-2,
x
y=2 y=-2,
y=x,
4
即函数y= 图象上的“雁点”坐标为(2,2)和(-2,-2).
x
(2)①联立{ y=x, 得ax2+4x+c=0.
y=ax2+5x+c,
4
∵抛物线的“雁点”只有一个,即该一元二次方程有两个相等的实根,∴Δ=42-4ac=0,即c= ,
a
∵a>1,∴0<c<4.
②将c=4代入方程ax2+4x+c=0,得ax2+4x+4=0,解得x=-2,∴E( 2 2).
- ,-
a a a a a
4 4
对于y=ax2+5x+ ,令y=0,有ax2+5x+ =0,
a a
4 1
解得x =- ,x =- ,
M N
a a
∴M( 4 ).
- ,0
a
过E点向x轴作垂线,垂足为D点,
∴ED=2,MD=-2-( 4)=2,
-
a a a a
2
∴ED=MD= ,
a
∴△EMD为等腰直角三角形,∠EMN=45°.(3)存在.
由题意可知A(-1,0),B(3,0),设C(m,m),P(x,y).
①如图所示,作PK⊥x轴于点K,作CH⊥PK于点H.
∵△CPB为等腰直角三角形,P为直角顶点,
∴PC=PB,∠CPB=90°,
∴∠KPB+∠HPC=90°.
∵∠HPC+∠HCP=90°,
∴∠KPB=∠HCP.
∵∠H=∠PKB=90°,∴△CHP≌△PKB,
{ m-x= y,
∴CH=PK,HP=KB,即
m- y=3-x,
3
{ x= ,
∴ 2
3
y=m- .
2
当x=3时,y=-(3) 2 +2×3+3=15,∴P(3 15).
,
2 2 2 4 2 4
②如图所示,作CQ⊥x轴,PQ⊥CQ于点Q,BJ⊥PQ于点J.
同理可得△QCP≌△JPB,∴QP=JB,QC=JP,
3
{x=m+ ,
即{ x-m= y, 解得 2
y-m=3-x, 3
y= ,
2
3 2+√10 2-√10
令-x2+2x+3= ,解得x= ,x= ,
2 1 2 2 2
∴P(2+√10 3)或P(2-√10 3).
, ,
2 2 2 2综上所述,符合题意的点P的坐标为(3 15)或(2+√10 3)或(2-√10 3).
, , ,
2 4 2 2 2 2
