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2019年衡阳市初中学业水平考试试卷
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
3
1.- 的绝对值是( )
4
3 3 4 4
A.- B. C.- D.
4 4 3 3
1
2.如果分式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
x+1
A.x≠-1 B.x>-1 C.全体实数 D.x=-1
3.2018年6月14日,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕距月球65 000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道,成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星,用科学记数法表示65 000公里为 公里(
)
A.0.65×105 B.65×103
C.6.5×104 D.6.5×105
4.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
5.下列各式中,计算正确的是( )
A.8a-3b=5ab B.(a2)3=a5
C.a8÷a4=a2 D.a2·a=a3
6.如图,已知AB∥CD,AF交CD于点E,且BE⊥AF,∠BED=40°,则∠A的度数是( )
A.40° B.50° C.80° D.90°
7.某校5名同学在“国学经典诵读”比赛中,成绩(单位:分)分别是86,95,97,90,88,这组数据的中位数是( )
A.97 B.90 C.95 D.88
8.下列命题是假命题的是( )
A.n边形(n≥3)的外角和是360°
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C.相等的角是对顶角
D.矩形的对角线互相平分且相等
{2x>3x,
9.不等式组 的整数解是( )
x+4>2
A.0 B.-1 C.-2 D.1
10.国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得( )
A.9(1-2x)=1 B.9(1-x)2=1
C.9(1+2x)=1 D.9(1+x)2=1
m m
11.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m为常数且m≠0)的图象都经过A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式kx+b> 的解集是( )
1 2
x xA.x<-1 B.-1<x<0
C.x<-1或0<x<2D.-1<x<0或x>2
12.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,E是AB的中点,过点E作AC和BC的垂线,垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动,点C与点A重合时停止运动,设运动时间为t,运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为
S.则S关于t的函数图象大致为( )
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分)
13.因式分解:2a2-8= .
1
14.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球,这些球除颜色不同其他没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球,该球是黄球的概率为 ,则a等于 .
2
15. - = .
√27 √3
x 1
16.计算: + = .
x-1 1-x
17.已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是 .
18.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2如图所示.已知A点坐标为(1,1),过点A作AA ∥x轴交抛物线于点A,过点A 作AA∥OA交抛物线于点A,过点A 作AA∥x轴交抛物线于点A,过点A 作AA∥OA交抛物线于点A……,依次进行下去,则点A
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 2 019
的坐标为 .
三、解答题(本大题共8个小题,19~20题每题6分,21~24题每题8分,25题10分,26题12分,满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本小题满分6分)(1) -3+| -2|+tan 60°-(-2 019)0.
√3
2
20.(本小题满分6分)
某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”的活动,推出了以下四种选修课程:A.绘画;B.唱歌;C.演讲;D.十字绣.学校规定:每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了
如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息,解决下列问题:
(1)这次学校抽查的学生人数是 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)如果该校共有1 000名学生,请你估计该校报D的学生约有多少人.
21.(本小题满分8分)
关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.22.(本小题满分8分)
如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60°.已知坡面CD=10米,山坡的坡度i=1∶√3(坡度i是指
坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:√3≈1.73,√2≈1.41)
23.(本小题满分8分)
如图,点A、B、C在半径为8的☉O上.过点B作BD∥AC,交OA延长线于点D.连接BC,且∠BCA=∠OAC=30°.
(1)求证:BD是☉O的切线;
(2)求图中阴影部分的面积.
24.(本小题满分8分)
某商店购进A、B两种商品,购买1个A商品比购买1个B商品多花10元,并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元;
(2)商店准备购买A、B两种商品共80个,若A商品的数量不少于B商品数量的4倍,并且购买A、B商品的总费用不低于1 000元且不高于1 050元.那么商店有哪几种购买方案?
25.(本小题满分10分)
如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点N,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接CP,过点P作CP的垂线与y轴交于点E.
(1)求该抛物线的函数关系表达式;
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值?并求出这个最大值;
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M,连接MN、MB.请问:△MBN的面积是否存在最大值?若存在,求出此时点M的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(本小题满分12分)
如图,在等边△ABC中,AB=6 cm,动点P从点A出发以1 cm/s的速度沿AB匀速运动.动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动,当点P到达点B时,点P、Q同时停止运动.设运动时间为t(s).过点P作PE⊥AC于E,连接PQ交AC
边于D.以CQ、CE为边作平行四边形CQFE.
(1)当t为何值时,△BPQ为直角三角形?
(2)是否存在某一时刻t,使点F在∠ABC的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)求DE的长;
(4)取线段BC的中点M,连接PM,将△BPM沿直线PM翻折,得△B'PM,连接AB',当t为何值时,AB'的值最小?并求出最小值.292019年衡阳市初中学业水平考试试卷(参考答案)
一、选择题
1.B | 3|=3,故选B.
-
4 4
2.A 由题意可知x+1≠0,∴x≠-1,故选A.
3.C 用科学记数法表示65 000公里为6.5×104公里.故选C.
4.D A.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误;
B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;
C.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误;
D.既是轴对称图形也是中心对称图形,故此选项正确.
故选D.
5.D 8a与3b不是同类项,故不能合并,故选项A不正确;(a2)3=a6,故选项B不正确;a8÷a4=a4,故选项C不正确;a2·a=a3,故选项D正确.故选D.
6.B ∵BE⊥AF,∠BED=40°,
∴∠FED=50°,
∵AB∥CD,
∴∠A=∠FED=50°.
故选B.
7.B 将5名同学的成绩从小到大排列为:86,88,90,95,97,所以这组数据的中位数为90,故选B.
8.C A.n边形(n≥3)的外角和是360°,是真命题;B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题;C.相等的角不一定是对顶角,是假命题;D.矩形的对角线互相平分且相等,是真命题.故选C.
{2x>3x①,
9.B
x+4>2②,
解不等式①得x<0,
解不等式②得x>-2,
∴不等式组的解集为-2<x<0,
{2x>3x,
∴不等式组 的整数解是-1,故选B.
x+4>2
10.B 根据题意得9(1-x)2=1,故选B.
m m
11.C 由函数图象可知,当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象在反比例函数y= (m为常数且m≠0)的图象上方时,x的取值范围是x<-1或0<x<2,∴不等式kx+b> 的解集是x<-1或0<x<2,故选C.
1 2
x x
12.C ∵在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵EF⊥BC,ED⊥AC,
∴四边形EFCD是矩形,
∵E是AB的中点,
1 1
∴EF= AC,DE= BC,
2 2
∴EF=ED,
∴四边形EFCD是正方形.
设正方形EFCD的边长为a,它运动的速度为v,
v2
如图1,当运动的距离小于a时,S=正方形EFCD的面积-△EE'H的面积=a2- t2;
2
图1
1 v2
当运动的距离大于a且小于等于2a时,如图2,S=S = (2a-vt)2= t2-2avt+2a2,
△AC'H 2 2
∴S关于t的函数图象大致为C选项中的图象,
故选C.图2
二、填空题
13. 答案 2(a+2)(a-2)
解析 2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).
14. 答案 5
a 1
解析 根据题意知 = ,
3+2+a 2
解得a=5,
经检验,a=5是原分式方程的解,且符合题意.
∴a=5.
15. 答案 2√3
解析 原式=3√3-√3=2√3.
16. 答案 1
x 1 x-1
解析 原式= - = =1.
x-1 x-1 x-1
17. 答案 6√3
解析 如图,△ABD为圆内接正三角形,☉O的半径为6,
连接OA,OB,作OC⊥AB于点C,
∠AOB=2∠D=120°.
∵OA=OB,
∴AB=2AC,∠AOC=60°,
√3
∴AC=OA×sin 60°=6× =3√3,
2
∴AB=2AC=6√3.
即该圆的内接正三角形的边长是6√3.
18. 答案 (-1 010,1 0102)
解析 ∵A点坐标为(1,1),
∴直线OA的解析式为y=x,易知A(-1,1),
1
∵A A∥OA,
1 2
∴直线AA 的解析式为y=x+2,
1 2
由{y=x+2, 得{x=-1,或{x=2,
y=x2 y=1 y=4,
∴A(2,4),
2
∴A(-2,4),
3
∵A A∥OA,
3 4
∴直线AA 的解析式为y=x+6,
3 4
由{y=x+6, 得{x=-2,或{x=3,
y=x2 y=4 y=9,
∴A(3,9),
4
∴A(-3,9),
5
……
∴A (-1 010,1 0102).
2 019三、解答题
19. 解析 原式=8+2-√3+√3-1=9.
20. 解析 (1)40.
(2)补充条形统计图如图:
4
(3)估计全校报D的学生有1 000× =100名.
40
9
21. 解析 (1)由关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得判别式Δ=9-4k≥0,所以k≤ .
4
(2)由(1)得k的最大整数值为2,所以方程x2-3x+k=0的根为x=1,x=2.
1 2
由方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,
得(m-1)×12+1+m-3=0或(m-1)×22+2+m-3=0,
3
即m= 或m=1.
2
3
当m=1时,m-1=0,不合题意,故m= .
2
22. 解析 设AB=x米,过D作DF⊥BC于F,作DG∥BC交AB于G.
易知四边形DFBG是矩形,
∴DF=BG,DG=BF.
DF 1
在Rt△CDF中,由i=1∶√3得 = ,
FC √3
设DF=k(k>0)米,FC=√3k米,又∵CD=10米,
∴k2+(√3k)2=102,解得k=5,
∴DF=5米,FC=5√3米.
在Rt△ABE中,∵∠AEB=60°,AB=x米,
AB √3
∴BE= = x米.
tan60° 3
在Rt△ADG中,∵∠ADG=30°,AG=AB-BG=AB-DF=(x-5)米,
AG
∴DG= =√3(x-5)米.
tan30°
√3
由FC+CE+EB=DG得5√3+10+ x=√3(x-5),
3
解得x=15+5√3≈23.7.
答:楼房AB的高度约为23.7米.
23. 解析 (1)证明:连接OB交AC于E,∵∠BCA=30°,∴∠AOB=60°.在△AOE中,∠OAC=30°,∴∠OEA=90°,∴OB⊥AC.∵BD∥AC,∴OB⊥BD,又点B在圆上,∴BD为☉O的切线.BD 1 60×π×82 32π 32π
(2)∵☉O的半径为8,∴OA=OB=8.在Rt△OBD中,∵∠AOB=60°,∠OBD=90°,tan∠AOB= ,∴BD=OB·tan 60°=8√3.因此Rt△OBD的面积为 ×8×8√3=32√3,又扇形OAB的面积为 = ,∴阴影部分的面积为32√3- .
OB 2 360 3 3
300 100
24. 解析 (1)设购买一个B商品需要x元,则购买一个A商品需要(x+10)元,由题意知 = ,解得x=5.
x+10 x
经检验,x=5是原方程的解,且符合题意,∴x+10=15.
答:购买一个A商品需要15元,购买一个B商品需要5元.
{ y≥4(80- y),
(2)设购买A商品y个,则购买B商品(80-y)个,由题意得 解得64≤y≤65,所以有两种购买方案:①买A商品64个,B商品16个;②买A商品65个,B商品15个.
1 000≤15 y+5(80- y)≤1 050,
25. 解析 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),
{1-b+c=0, {b=-2,
∴把A、B两点坐标代入上式,得 解得
9+3b+c=0, c=-3,
故抛物线的函数关系表达式为y=x2-2x-3.
(2)∵A(-1,0),B(3,0),
∴AB=OA+OB=1+3=4.
∵正方形ABCD中,∠ABC=90°,PC⊥PE,
∴∠OPE+∠CPB=90°,∠CPB+∠PCB=90°,
∴∠OPE=∠PCB,
又∵∠EOP=∠PBC=90°,
BC OP
∴△POE∽△CBP,∴ = .
PB OE
4 x
设OP=x(0<x<3),则PB=3-x,∴ = ,
3-x OE
∴OE=1(-x2+3x)=-1( 3) 2+ 9 ,
x-
4 4 2 16
1
∵- <0,0<x<3,
4
3 9
∴当x= 时,线段OE的长取最大值,最大值为 .
2 16
(3)存在.
如图,过点M作MH∥y轴交BN于点H,
∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3,∴x=0时,y=-3,
∴N点坐标为(0,-3).
设直线BN的解析式为y=kx+b,
{3k+b=0, { k=1,
∴ ∴
b=-3, b=-3,
∴直线BN的解析式为y=x-3.
设M(a,a2-2a-3)(0<a<3),则H(a,a-3),
∴MH=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a,
∴S
△MNB
=S
△BMH
+S
△MNH
=1MH·OB=1(-a2+3a)×3=-3×(
a-
3) 2+27,
2 2 2 2 8
3
∵- <0,0<a<3,
2
∴当a=3时,△MBN的面积取最大值,最大值是27,此时M点的坐标为(3 15).
,-
2 8 2 426. 解析 (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∴当BQ=2BP时,∠BPQ=90°,
∴6+t=2(6-t),
∴t=2,
∴t=2时,△BPQ是直角三角形.
(2)存在.
如图1,连接BF交AC于N.
图1
∵BF平分∠ABC,BA=BC,
∴BF⊥AC,AN=CN=3 cm,
∵EF∥BQ,
1
∴∠EFN=∠FBC= ∠ABC=30°,
2
∴EF=2EN=CQ,
∴t=2( 1 ),
3- t
2
解得t=3.
∴当t=3时,点F在∠ABC的平分线上.
(3)如图2,作PK∥BC交AC于K.
图2
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠A=∠ACB=60°,
∵PK∥BC,
∴∠APK=∠B=60°,∠AKP=∠ACB=60°,∠PKD=∠DCQ,
∴∠A=∠APK=∠AKP=60°,
∴△APK是等边三角形,
∴PA=PK,又∵AP=CQ,∴PK=CQ.
∵PE⊥AK,
∴AE=EK.
∵∠PKD=∠DCQ,∠PDK=∠QDC,PK=CQ,
∴△PKD≌△QCD(AAS),
∴DK=DC,
1 1
∴DE=EK+DK= (AK+CK)= AC=3 cm.
2 2
(4)如图3,连接AM.
图3
∵BM=CM=3 cm,AB=AC,
∴AM⊥BC,
∴AM= =3 cm,
√AB2-BM2 √3
∵AB'≥AM-MB',
∴AB'≥(3√3-3)cm,
∴AB'的最小值为(3√3-3)cm.
此时点B'在线段AM上.如图4,
由翻折的性质得∠PMB=∠PMB',又∠PMB+∠PMB'=90°,
∴∠PMB=∠PMB'=45°.
过点P作PG⊥AM于点G,作PH⊥BM于点H,
图4
则易知四边形PGMH为正方形,∴PG=PH.
t
在Rt△APG中,∠PAG=30°,AP=t cm,∴PG= cm.
2
在Rt△PBH中,∠B=60°,PB=(6-t)cm,
√3 √3
∴PH= PB= (6-t)cm.
2 2
t √3
由 = (6-t),解得t=9-3√3.
2 2
6
∵点P从点A开始运动到点B时,运动的时间为 =6 s,
1
而0<9-3√3<6,
∴t=9-3√3符合要求.
故当t=9-3√3时,AB'取得最小值(3√3-3)cm.
