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2019 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答
题卡上.每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2的绝对值为（ ）
1 1
A．- B． C．﹣2 D．2
2 2
2．（4分）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、
太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入
8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.4042×106 B．14.042×105 C．8.94×108 D．0.894×109
4．（4分）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了 8块，并将其中一块
（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）A．a2+a3 ＝a5 B．（a3
）
2 ＝a5
C．（a•b） 2 ＝a2 •b2 D．❑√a+❑√b=❑√a+b
6．（4分）现有一组数据：1，4，3，2，4，x．若该组数据的中位数是3，则x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形
C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度
8．（4分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD
＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．40 B．24 C．20 D．15
9．（4分）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以
方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于 4：5：4：
2，各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3（因条件限制，只有图示中的五条运输渠
道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库
的最佳位置为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
{2x-6+m＜0
10．（4分）若关于x的不等式组 有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
4x-m＞0
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
11．（4分）分解因式：x2+2x+1＝
．2 1
12．（4分）方程 = 的解为x＝ ．
x-1 x
13．（4分）使代数式❑√x-1有意义的x取值范围是 ．
14．（4分）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：
同学 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 90 88 92 94 91
乙 90 91 93 94 92
根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．
15．（4分）已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点
E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
16．（4分）如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点
D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S 1，S 2，则S 1：S 2＝
．
3
17．（4分）如图，直线y＝4﹣x与双曲线y= 交于A，B两点，过B作直线BC⊥y轴，垂足为C，则以
x
OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是 ．
18．（4分）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律
是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b） n 的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项
的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x） 15 的展开式按x的升幂排
列得：（s+x） 15 ＝a 0 +a 1 x+a 2 x2+…+a 15 x15 ．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若s＝1，则a 2＝ ；
（2）若s＝2，则a 0 +a 1 +a 2 +…+a 15＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
19．（8分）计算：（﹣1） 2019+❑√12×sin60°﹣（﹣3）．
20．（8分）先化简，再求值： a a2-1 a ，其中a＝2．
· -
a2-a a+1 a-1
21．（8分）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为
30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高
AB．（可能用到的数据：❑√2≈1.414，❑√3≈11.732）
22．（10分）在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已
知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，
乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．
（1）当x为何值时，两人第一次相遇？
（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧^AC上取一点D，使C^D=^AB，
将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CE=❑√3C D，劣弧C^D的弧长为π，求⊙O的半径．
24．（10分）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求
出此时点P的坐标．
25．（12分）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，
随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有
8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示
不完整的条形统计图．
（1）请补全该条形统计图；
（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述 100台机器更换的该易损零件数的
频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．
①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；
②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器
的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？
26．（12分）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割
成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）
（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是
多少？
（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，
分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重
新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．2019 年湖南省永州市中考数学试卷
试题解析
一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答
题卡上.每小题4分，共40分）
1．【解答】解：﹣2的绝对值为：2．
故选：D．
2．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
3．【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为8.94×108
，
故选：C．
4．【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是 ．
故选：B．
5．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a6
，不符合题意；
C、原式＝a2b2
，符合题意；
D、原式不能合并，不符合题意，
故选：C．
6．【解答】解：数据1，4，3，2，4，x中共有6个数，
该组数据的中位数是3，
x+3
=3
2
解得x＝3．
故选：B．
7．【解答】解：A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确；
B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确；C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确；
D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；
故选：D．
8．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
1
∵AB＝5，BO= BD＝4，
2
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
1
∴四边形ABCD的面积= ×6×8＝24，
2
故选：B．
9．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4：5：4：2，
设甲基地的产量为4x吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x吨、4x吨、2x吨，
∵各基地之间的距离之比a：b：c：d：e＝2：3：4：3：3，
设a＝2y千米，则b、c、d、e分别为3y千米、4y千米、3y千米、3y千米，
设运输的运费每吨为z元/千米，
①设在甲处建总仓库，
则运费最少为：（5x×2y+4x×3y+2x×3y）z＝28xyz；
②设在乙处建总仓库，
∵a+d＝5y，b+c＝7y，
∴a+d＜b+c，
则运费最少为：（4x×2y+4x×3y+2x×5y）z＝30xyz；
③设在丙处建总仓库，
则运费最少为：（4x×3y+5x×3y+2x×4y）z＝35xyz；
④设在丁处建总仓库，则运费最少为：（4x×3y+5x×5y+4x×4y）z＝53xyz；
由以上可得建在甲处最合适，
故选：A．
6-m
10．【解答】解：解不等式2x﹣6+m＜0，得：x＜ ，
2
m
解不等式4x﹣m＞0，得：x＞ ，
4
∵不等式组有解，
m 6-m
∴ ＜ ，
4 2
解得m＜4，
1
如果m＝2，则不等式组的解集为 ＜m＜2，整数解为x＝1，有1个；
2
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜m＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
1 7
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为- ＜m＜ ，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；
4 2
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）
11．【解答】解：x2+2x+1＝（x+1） 2
．
故答案为：（x+1） 2 ．
12．【解答】解：去分母得：2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解，
故答案为：﹣1
13．【解答】解：∵代数式❑√x-1有意义，
∴x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
1
14．【解答】解：甲同学的平均数是： （90+88+92+94+91）＝91（分），
5
1
甲同学的方差是： [（90﹣91） 2+（88﹣91） 2+（92﹣91） 2+（94﹣91） 2+（91﹣91） 2]＝4，
5
1
乙同学的平均数是： （90+91+93+94+92）＝92（分），
51
乙同学的方差是： [（90﹣92） 2+（91﹣92） 2+（93﹣92） 2+（94﹣92） 2+（92﹣92） 2]＝2，
5
∵S 2 ＝4＞S 2 ＝2，方差小的为乙，
甲 乙
∴成绩较好且比较稳定的同学是乙．
故答案为：乙．
15．【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝4．
故答案为：4．
16．【解答】解：∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF，
∴BE＝3EF，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴EF
=
1， S
1 =
（1） 2
=
1，
BE 3 S 3 9
△EBC
∴S 1：S 2；
1
故答案为： ．
8
{y=4-x
17．【解答】解：由 求得{x=1或{x=3，
3
y= y=3 y=1
x
∴A（1，3），B（3，1），∴OA ，
=❑√32+12=❑√10
设OA的中点为P，以AB为直径的⊙P与直线BC的交点为M、N，
过P点作PD⊥x轴于D，交BC于E，连接PN，
∵P是OA的中点，
1 3
∴P（ ， ），
2 2
3
∴PD= ，
2
∵BC⊥y轴，垂足为C，
∴BC∥x轴，
∴PD⊥BC，
3 1
∴PE= -1= ，
2 2
在Rt△PEN中，EM＝EN √ ❑√10 1 3，
=❑√PN2-PE2=❑(
)
2-(
)
2=
2 2 2
∴M（﹣1，1），N（2，1）．
∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是（﹣1，1）和（2，1），
故答案为（﹣1，1）和（2，1）．
18．【解答】解：（1）由图2知：（a+b） 1 的第三项系数为0，
（a+b） 2 的第三项的系数为：1，
（a+b） 3 的第三项的系数为：3＝1+2，
（a+b） 4 的第三项的系数为：6＝1+2+3，
…
∴发现（1+x） 3 的第三项系数为：3＝1+2；
（1+x） 4 的第三项系数为6＝1+2+3；
（1+x） 5 的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（1+x） n 的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），∴s＝1，则a 2＝1+2+3+…+14＝105．
故答案为：105；
（2）∵（s+x） 15 ＝a 0 +a 1 x+a 2 x2+…+a 15 x15 ．
当x＝1时，a 0 +a 1 +a 2 +…+a 15＝（2+1） 15 ＝315 ，
故答案为：315
．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）
19．【解答】解：（﹣1） 2019+❑√12×sin60°﹣（﹣3）
❑√3
＝﹣1+2❑√3× +3
2
＝﹣1+3+3
＝5
20．
21．【解答】解：设AB＝x，
由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，
∴AB＝BC＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+400，
在Rt△ADB中，
∴山高AB为546.4米
22．【解答】解：（1）甲的速度为：100÷4＝250米/分钟，30
令250x＝150（x+ ），
60
解得，x＝0.75，
答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；
（2）当x＝5时，
30
乙行驶的路程为：150×（5+ ）＝825＜1000，
60
1000-825 7
∴甲乙第二次相遇的时间为：5+ =5 （分钟），
150+250 16
7
则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（5 -5）×250＝1109.375（米），
16
答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．
23．【解答】解：（1）∵C^D=^AB，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，
设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，
则△ACE中，根据三角形内角和为180°，
∴2α+2β+2γ＝180°，
∴α+β+γ＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点A作AM⊥BC，延长AD交CE于点N，
则DN⊥CE，∴四边形AMCN为矩形，
设：AB＝CD＝x，则CE=❑√3x，
1 ❑√3
则CN= CE= x＝AM，而AB＝x，
2 2
❑√3
则sin∠ABM= ，∴∠ABM＝60°，
2
∴△OAB为等边三角形，即∠AOB＝60°，
60°
C^D=^AB= ×2πr＝π，
360°
解得：r＝3，故圆的半径为3．
24．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x 1）（x﹣x 2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2 ﹣2x+3．
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
{-3k+b=0
∴ ，
b=3
∴直线AB为y＝x+3，
作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，
设P（x，﹣x2 ﹣2x+3），则M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2 ﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2 ﹣3x，
25．【解答】解：（1）100﹣20﹣50﹣20＝10，补全的条形统计图如图所示：
50 1
（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：P= = ；
20+50+10+20 2
②购买机器的同时购买8个该易损零件200×20%+500×80%＝440元，
购买机器的同时购买9个该易损零件200×50%+500×50%＝350元，
购买机器的同时购买10个该易损零件200×10%+500×90%＝470元，
购买机器的同时购买11个该易损零件200×20%+500×80%＝440元，
因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．26．【解答】解：（1）如图所示：
（2）依题意有
∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，
故重新拼成的图形的面积会增加．
