15
2019年长春市初中毕业学业水平考试
(满分:120分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,数轴上表示-2的点A到原点的距离是( )
1 1
A.-2 B.2 C.- D.
2 2
2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )
A.27.5×107 B.0.275×109
C.2.75×108 D.2.75×109
3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是( )
4.不等式-x+2≥0的解集为( )
A.x≥-2 B.x≤-2 C.x≥2 D.x≤2
5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何?译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱各是多少?设人数为x,买鸡
的钱数为y,可列方程组为( )
{9x+11= y {9x-11= y
A. B.
6x+16= y 6x-16= y
{9x+11= y {9x-11= y
C. D.
6x-16= y 6x+16= y
6.如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为( )
A.3sin α米 B.3cos α米
3 3
C. 米 D. 米
sinα cosα
7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角,用直尺和圆规在边AB上确定一点D,使∠ADC=2∠B,则符合要求的作图痕迹是( )k
8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为(0,3),(3,0),∠ACB=90°,AC=2BC,函数y= (k>0,x>0)的图象经过点B,则k的值为( )
x
9 27 27
A. B.9 C. D.
2 8 4
二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)
9.计算:3 - = .
√5 √5
10.分解因式:ab+2b= .
11.一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为 .
12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°,过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB的大小为 度.
13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF的周长为 .
8
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+ (a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为 .
3
三、解答题(本题共10小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1
15.(6分)先化简,再求值:(2a+1)2-4a(a-1),其中a= .
8
16.(6分)一个不透明的口袋中有三个球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”“家”“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)的方法,
求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
18.(7分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉O于点F,连接BF并延长交CD于点G.
(1)求证:△ABE≌△BCG;
(2)若∠AEB=55°,OA=3,求BF的长.(结果保留π)
⏜
19.(7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况.从该校七年级随机抽取20名学生.进行了每周网上学习时间的调查,数据如下(单位:小时):
3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.5 2.5 1.8
2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4
整理上面的数据,得到表格如下:
网上学习时间x(小时) 0<x≤1 1<x≤2 2<x≤3 3<x≤4
人数 2 5 8 5样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示:
统计量 平均数 中位数 众数
数值 2.4 m n
根据以上信息,解答下列问题:
(1)上表中的中位数m的值为 ,众数n的值为 ;
(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间;
(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.
152019年长春市初中毕业学业水平考试(参考答案)
一、选择题
1.B 表示-2的点到原点的距离是2.故选B.
2.C 275 000 000是一个整数数位有9位的数,在用科学记数法表示时,a=2.75,n=9-1=8,故275 000 000=2.75×108,故选C.
3.A 从正面看,有两层两列,下面的一层有两个小正方形,上面的一层有一个小正方形,且在右边.
4.D 移项得,-x≥-2,两边同时乘-1,得x≤2.
5.D ∵每人出9钱,则多11钱,∴9x-11=y.
∵每人出6钱,则少16钱,∴6x+16=y.故选D.
BC
6.A 因为sin α= ,所以BC=ABsin α=3sin α(米).
AB
7.B 选项B中作的是线段BC的垂直平分线,则DB=DC,∴∠B=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B.
8.D 过点B作BD⊥x轴于点D,易得△AOC∽△CDB.∵AC=2BC,∴相似比为2∶1,于是可得BD=CD=3.∴OD=3+3=9,∴B(9 3),∴k=9×3=27.
,
2 2 2 2 2 2 2 4
二、填空题
9. 答案 2√5
解析 原式=(3-1)×√5=2√5.
10. 答案 b(a+2)
解析 提取公因式b,则ab+2b=b(a+2).
11. 答案 5
解析 一元二次方程根的判别式Δ=(-3)2-4×1×1=5.
12. 答案 57
解析 因为MN∥PQ,所以∠ABQ=∠MAB=33°.因为CD⊥AB,所以∠CDB=90°-∠ABQ=57°.
13. 答案 4+2√2
解析 第一次折叠后,可得AD=DF=6,则FC=AB-AD=8-6=2.
第二次翻折后,易得△ABG∽△FCG,AB=AD-BE=6-2=4.所以AB∶FC=2∶1,则可得BG∶CG=2∶1,∴CG=2.在直角三角形FCG中,由勾股定理可得FG=2√2,所以△FCG的周长为FC+CG+FG=4+2√2.
14. 答案 2
解析 分别过点P、B向x轴引垂线,垂足分别为C、D.由题可知抛物线的对称轴是直线x=- b =1,点A( 8),根据对称性,得点M( 8),又因为M为线段AB的中点,所以点B( 8).易证△OPC∽△OBD,得OC=PC=1,又BD=8,所以PC=8×1=
0, 2, 4,
2a 3 3 3 OD BD 4 3 3 4
2,所以点P( 2).把点P的坐标代入抛物线解析式,得a=2.
1,
3 3三、解答题
15. 解析 (2a+1)2-4a(a-1)
=4a2+4a+1-4a2+4a
=8a+1.
1 1
当a= 时,原式=8× +1=2.
8 8
16. 解析
5
一共有9种等可能结果,其中两次摸出小球上的汉字相同的情况有5种,所以所求概率为 .
9
5
答:小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率是 .
9
17. 解析 设该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套.
9 000 9 000
由题意,得 - =5,
x 1.2x
解得x=300,
经检验,x=300是原分式方程的解,且符合题意.
答:该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套.
18. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为直径,F为☉O上的一点,∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠EBF=90°,∴∠EBF=∠BAF.
{∠BAF=∠EBF,
在△ABE和△BCG中, AB=BC,
∠ABE=∠BCG,
∴△ABE≌△BCG(ASA).
(2)连接OF,∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°.
∴∠BAE=90°-55°=35°,∴∠BOF=2∠BAE=70°.
70×π×3 7
∵OA=3,∴ 的长= = π.
BF
180 6
⏜
19. 解析 (1)2.5;2.5.
(2)2.4×18=43.2(小时).
答:估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.
13
(3) ×200=130(名).
20
答:每周网上学习时间超过2小时的学生约为130名.
20. 解析 本题答案不唯一.
(1)如图①所示,△ABM即为所求.
(2)如图②所示,△CDN即为所求.
(3)如图③所示,四边形EFGH即为所求.21. 解析 (1)75;3.6;4.5.
详解:在图上标注如图所示的四个点,点N表示两车相遇.
则2(v +v )=270,又v =60千米/时,所以v =75千米/时.
甲 乙 甲 乙
270
点C表示乙车到达A地,用时t = =3.6(小时),则a=3.6.
乙 75
270
点D表示甲车到达B地,用时t = =4.5(小时),则b=4.5.
甲 60
(2)易知点N(2,0).
当乙车到达A地时,甲车走了60×3.6=216千米,所以C(3.6,216),
{ 2k+b=0, { k=135,
设NC段函数解析式为y=kx+b(2≤x≤3.6),将N、C点坐标代入得 解得 所以y=135x-270(2≤x≤3.6).
3.6k+b=216, b=-270,
由(1)知D(4.5,270),
{3.6m+n=216, {m=60,
设CD段函数解析式为y=mx+n(3.6≤x≤4.5),将C、D点坐标代入得 解得 所以y=60x(3.6≤x≤4.5).
4.5m+n=270, n=0,
{135x-270,2<x≤3.6,
综上所述,甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为y=
60x,3.6<x≤4.5.
200 10
(3)当甲车到达距B地70千米处时,甲车走了270-70=200千米,用时 = (小时),
60 3
10
同样时间乙车走了 ×75=250千米,
3
所以两车相距250-70=180千米.
22. 解析 证明:∵D、E分别是BC、AB的中点,
1
∴DE∥AC,DE= AC,
2
∴△DEG∽△ACG,
CG AG AC
∴ = = =2,
GE GD DE
CG+GE AG+GD
∴ = =3,
GE GD
GE GD 1
∴ = = .
CE AD 3
(1)√2.
详解:易证△BEF∽△DAF,相似比为1∶2,
1 1 1 1 1
易得BF= BD,又∵BO= BD,∴OF= BD- BD= BD.
3 2 2 3 6
易求BD=6√2,∴OF=√2.
(2)6.
详解:连接OE,
1 1 BF
由(1)知BF= BD,OF= BD,∴ =2,
3 6 OF
∵△BEF的边BF上的高和△OEF的边OF上的高相同,
BF
∴△BEF和△OEF的面积比= =2,
OF同理,△CEG和△OEG的面积比为2.
1
∴△CEG的面积+△BEF的面积=2(△OEG的面积+△OEF的面积)=2× =1,
2
3
∴△BOC的面积= ,
2
3
∴S =4× =6.
▱ABCD
2
23. 解析 (1)①25;②3t.
详解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15,
∴AB= = =25.
√AC2+BC2 √202+152
3
∴sin A= ,
5
由题可知AP=5t,
3
∴PN=AP·sin A=5t· =3t.
5
(2)当▱PQMN为矩形时,∠NPQ=90°,
∵PN⊥AB,
∴PQ∥AB,
CP CQ
∴ = ,
CA BC
由题意可知AP=CQ=5t,CP=20-5t,
20-5t 5t
∴ = ,
20 15
12
解得t= ,
7
12
即当▱PQMN为矩形时,t= .
7
(3)当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,有两种情况.
第一种情况:如图1所示,▱PQMN在△ABC内部.延长QM交AB于G点,
4 3
由(1)可知cos A=sin B= ,cos B= ,AP=5t,BQ=15-5t,PN=QM=3t.
5 5
∴AN=AP·cos A=4t,BG=BQ·cos B=9-3t,QG=BQ·sin B=12-4t.
∵▱PQMN在△ABC内部,∴0<QM≤QG,
∴0<3t≤12-4t,
12
∴0<t≤ ,
7
又∵NG=AB-AN-BG=25-4t-(9-3t)=16-t,
12
∴当0<t≤ 时,▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN,S与t之间的函数关系式为S=PN·NG=3t·(16-t)=-3t2+48t.
7
第二种情况:如图2所示,▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQGN.
12
此时0<QG<QM,即0<12-4t<3t,解得 <t<3,
7
1 1 1
梯形PQGN的面积S= NG·(PN+QG)= (16-t)(3t+12-4t)= t2-14t+96.
2 2 2
12 12 1
综上所述:当0<t≤ 时,S=-3t2+48t;当 <t<3时,S= t2-14t+96.
7 7 2
图1 图2
100 200
(4)t= 或 .
43 59
详解:当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时,有两种情况.第一种情况:如图3所示,PR∥BC,设PR与AB交于点K,R为MN的中点,过点R作RH⊥AB于H,
∴∠PKN=∠HKR=∠B,
PN 3 9t
∴NK= =3t× = ,
tan∠PKN 4 4
∵NR=MR,HR∥PN∥QM,
1 1
∴NH=GH= (16-t),HR= GM,
2 2
∵GM=QM-QG=3t-(12-4t)=7t-12,
1 1
∴HR= GM= (7t-12).
2 2
HR 1 3 3
∴KH= = (7t-12)× = (7t-12),
tan∠HKR 2 4 8
∵NK+KH=NH,
9 3 1
∴ t+ (7t-12)= (16-t),
4 8 2
100
解得t= .
43
第二种情况:如图4所示,PR∥BC,设PR与AB交于点K,R为MQ的中点,过点Q作QH⊥PR于H,
∴∠HPN=∠A=∠QRH,四边形PCQH为矩形,
3t 3 9t
∴HQ=QR·sin∠QRH= × = ,
2 5 10
9t 200
∵PC=20-5t,∴20-5t= ,解得t= .
10 59
100 200 100 200
∵点P的运动时间t(秒)的取值范围为0≤t≤4,而0≤ ≤t,0≤ ≤4,∴t= 与t= 均符合题意.
43 59 43 59
100 200
综上所述:当t= 或 时,过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点.
43 59
图3 图4
24. 解析 (1)当n=5时,
{-x2+5x+5(x≥5),
y=
1 5 5
- x2+ x+ (x<5).
2 2 2
1 5 5
①将(4,b)代入y=- x2+ x+ ,
2 2 2
9
得b= .
2
②若x≥5,则当x=5时,函数取最大值,为5;
b 5 45
若x<5,则当x=- = 时,函数取最大值,为 .
2a 2 8
45 45
∵5< ,∴函数的最大值为 .
8 8
8 18
(2)n的取值范围是2≤n< 或 <n<4.
3 5
(3)为了表述和理解方便,我们先约定5个名称:{-x2+nx+n(x≥n),
设函数y= (n为常数)的图象为C,简称图象C,
1 n n
- x2+ x+ (x<n)
2 2 2
抛物线y=-x2+nx+n,抛物线C :y=-x2+nx+n(x≥n),
右
1 n n 1 n n
抛物线y=- x2+ x+ ,抛物线C :y=- x2+ x+ (x<n).
2 2 2 左 2 2 2
1 n n n
如图1,抛物线y=- x2+ x+ 与抛物线y=-x2+nx+n的对称轴都是直线x= ,开口都向下,
2 2 2 2
1 n n
方程- x2+ x+ =0与方程-x2+nx+n=0的解也是相同的.
2 2 2
如图2所示,当n>0时,对称轴在y轴右侧,两条抛物线与x轴都有两个交点.抛物线C 分居对称轴的两侧,抛物线C 在直线x=n的右侧.
左 右
图1 图2
当n<0时,对称轴在y轴左侧.抛物线C 分居对称轴的两侧,抛物线C 在直线x=n的左侧(如图3、图4所示).
右 左
如图3,当-4≤n≤0时,两条抛物线与x轴都有一个交点或都没有交点.
如图4,当n<-4时,两条抛物线与x轴都有两个交点.
图3 图4
因此,我们按照三个取值范围进行分类讨论.
设直线x=n与抛物线C :y=-x2+nx+n=-( n) 2 +n+n2(x≥n)的交点为M,那么M(n,n).
右 x-
2 4
设直线x=n与抛物线y=-1x2+nx+n=-1( n) 2 +n+n2的交点为N,那么N( n).
x- n,
2 2 2 2 2 2 8 2
①第一段,讨论n>0时的情况.
当n>0时,图象C在x轴下方一定有两个点到x轴的距离为4,抛物线C 与y轴的交点为( n).
左 0,
2
如图5所示,当点M(n,n)在直线y=4的下方时,图象C在x轴上方没有点到x轴的距离为4,不合题意.
n2 n
如图6,当 + =4时,解得n=4或n=-8(舍去).
8 2
此时点M(4,4)也在直线y=4上.
所以当n=4时,图象C上有4个点到x轴的距离等于4.
如图7所示,因为点M(n,n)在点N( n)的上方,所以当点N( n)在直线y=4上或其上方时,图象C在x轴上方有两个点到x轴的距离为4,符合题意.解n≥4,得n≥8.
n, n,
2 2 2图5 图6 图7
②第二段,讨论-4≤n≤0时的情况.
1
如图8,当n=0时,抛物线C :y=-x2(x≥0)和抛物线C :y=- x2(x<0)与直线y=-4各有1个交点,与直线y=4没有交点,不合题意.
右 左 2
1
如图9,当n=-4时,抛物线C :y=-x2-4x-4=-(x+2)2(x≥-4)上有两个点M(-4,-4)和(0,-4)到x轴的距离等于4,最高点在x轴上;抛物线C :y=- (x+2)2(x<-4)与直线y=-4有1个交点,不合题意.
右 左 2
如图10所示,当-4<n<0时,M(n,n)、N( n)都在直线y=-4的上方,图象C上只有2个点到x轴的距离等于4,不合题意.
n,
2
图8 图9 图10
③第三段,讨论n<-4时的情况.
当n<-4时,由M(n,n),(0,n)可知抛物线C 与直线y=-4至少有两个交点.
右
如图11所示,抛物线C 最高点的坐标在直线y=4下方时,不合题意.
右
如图12,抛物线C 的最高点的坐标为(n n2 ),当n2 +n=4时,解得n=-2-2 或n=-2+2 (舍去).
右 , +n √5 √5
2 4 4
当n=-2-2√5时,抛物线C 与直线y=-4有一个交点.
左
所以当n=-2-2√5时,图象C上有4个点到x轴的距离为4.
如图13所示,因为点M(n,n)在点N( n)的下方,所以当点N( n)在直线y=-4上或其下方时,抛物线C 与直线y=-4有两个交点,与直线y=4也有两个交点,此时图象C上有4个点到x轴的距离为4.解n≤-4,得n≤-8.
n, n, 右
2 2 2
图11 图12 图13
综上所述,当n≥8或n=4或n=-2-2√5或n≤-8时,图象C上有4个点到x轴的距离等于4.
20.(7分)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上,在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写
出画法.
(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6;
(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6;
(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.21.(8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间
x(时)之间的函数关系如图所示.
(1)乙车的速度为 千米/时,a= ,b= ;
(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式;
(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.
22.(9分)教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.
GE GD 1
例2 如图23.4.4,在△ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证: = = .
CE AD 3
图23.4.4
证明:连接ED.
请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.
结论应用:
在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.
(1)如图②,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则OF的长为 ;
1
(2)如图③,连接DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为 ,则平行四边形ABCD的面积为 .
223.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们的速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB
于点N,连接PQ,以PN、PQ为邻边作▱PQMN.设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒.
(1)①AB的长为 ;
②PN的长用含t的代数式表示为 .
(2)当▱PQMN为矩形时,求t的值;
(3)当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式;
(4)当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时,直接写出t的值.
{-x2+nx+n(x≥n),
24.(12分)y= (n为常数).
1 n n
- x2+ x+ (x<n)
2 2 2
(1)当n=5时,
①P(4,b)在此函数图象上,求b的值;
②求此函数的最大值;
(2)已知线段AB的两个端点坐标为A(2,2),B(4,2),当此函数图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n的取值范围;
(3)当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时,求n的取值范围.
