2013 年沈阳市中等学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点是( b 4ac-b2 ),对称轴是直线x=- b .
- ,
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题3分,共24分)
1.2013年第一季度,沈阳市公共财政预算收入完成196亿元(数据来源:4月16日《沈阳日
报》),将196亿用科学记数法表示为( )
A.1.96×108 B.19.6×108 C.1.96×1010 D.19.6×1010
2.下图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( )
A.圆柱体 B.三棱锥 C.球体 D.圆锥体
3.下面的计算一定正确的是( )
A.b3+b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2
C.5y3·3y5=15y8 D.b9÷b3=b3
4.如果m=√7-1,那么m的取值范围是( )
A.0<m<1 B.1<m<2
C.2<m<3 D.3<m<4
5.下列事件中,是不可能事件的是( )
A.买一张电影票,座位号是奇数
B.射击运动员射击一次,命中9环
C.明天会下雨
D.度量三角形的内角和,结果是360°
2 3
6.计算 + 的结果是( )
x-1 1-x
1 1 5 5
A. B. C. D.
x-1 1-x x-1 1-x
1
7.在同一平面直角坐标系中,函数y=x-1与函数y= 的图象可能是( )
x8.如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长等于( )
20 15 16 17
A. B. C. D.
3 4 3 4
第Ⅱ卷(非选择题,共 126 分)
二、填空题(每小题4分,共32分)
9.分解因式:3a2+6a+3= .
10.一组数据2,4,x,-1的平均数为3,则x的值是 .
11.在平面直角坐标系中,点M(-3,2)关于原点的对称点的坐标是 .
12.若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
13.如果x=1时,代数式2ax3+3bx+4的值是5,那么x=-1时,代数式2ax3+3bx+4的值是 .
14.如图,点A、B、C、D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径的长是 .
15.有一组等式:12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212……请观察它们的构成规
律,用你发现的规律写出第8个等式为 .
16.已知等边三角形ABC的高为4,在这个三角形所在的平面内有一点P,若点P到AB的距离
是1,点P到AC的距离是2,则点P到BC的最小距离和最大距离分别是 .
三、解答题(第17、18小题各8分,第19小题10分,共26分)
17.计算:(1) -2 -6sin 30°+(-2)0+|2- |.
√8
218.一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝,并让每个人按A(不喜欢)、B(一
般)、C(比较喜欢)、D(非常喜欢)四个等级对该食品进行评价,图①和图②是该公司采集数据
后,绘制的两幅不完整的统计图.
图① 图②
请你根据以上统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)本次调查的人数为 人;
(2)图①中,a= ,C等级所占的圆心角的度数为 度;
(3)请补全条形统计图.
19.如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连
结CF.
(1)求证:BF=2AE;
(2)若CD=√2,求AD的长.
四、(每小题10分,共20分)
20.在一个不透明的盒子中放有三张卡片,每张卡片上写有一个实数,分别为3,√2,√2+6.(卡片
除了实数不同外,其余均相同)
(1)从盒子中随机抽取一张卡片,请直接写出卡片上的实数是3的概率;
(2)先从盒子中随机抽取一张卡片,将卡片上的实数作为被减数;卡片不放回,再随机抽取一张
卡片,将卡片上的实数作为减数.请你用列表法或树状图(树形图)法,求出两次抽取的卡片上的
实数之差为有理数的概率.21.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝,风筝不小心挂在了树上.在如图所示的平面图形中,
矩形CDEF代表建筑物,兵兵位于建筑物前点B处,风筝挂在建筑物上方的树枝点G处(点G
在FE的延长线上).经测量,兵兵与建筑物的距离BC=5米,建筑物底部宽FC=7米,风筝所在点
G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上,点A距地面的高度AB=1.4米,风
筝线与水平线夹角为37°.
(1)求风筝距地面的高度GF;
(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN,梯脚M在距墙3米处固定摆放,通过计算说明:若兵兵
充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝?
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
五、(本题10分)
22.如图,OC平分∠MON,点A在射线OC上,以点A为圆心,半径为2的☉A与OM相切于点
B,连结BA并延长交☉A于点D,交ON于点E.
(1)求证:ON是☉A的切线;
(2)若∠MON=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
六、(本题12分)
23.某市对火车站进行了大规模的改建,改建后的火车站除原有的普通售票窗口外,新增了自
动打印车票的无人售票窗口.某日,从早8点开始到上午11点,每个普通售票窗口售出的车票
数y(张)与售票时间x(小时)的正比例函数关系满足图①中的图象,每个无人售票窗口售出的
1
车票数y(张)与售票时间x(小时)的函数关系满足图②中的图象.
2
(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分,根据图中所给数据确定
抛物线的表达式为 ,其中自变量x的取值范围是 ;
(2)若当天共开放5个无人售票窗口,截至上午9点,两种窗口共售出的车票数不少于1 450张,
则至少需要开放多少个普通售票窗口?
(3)上午10点时,每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同,试确定图②
中图象的后半段一次函数的表达式.图① 图②
七、(本题12分)
24.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且
S =S .
△ACD △BCD
图①
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交
于点O.
图②
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连结OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连结CD,△ACD和△BCD是“友好三角
形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A'CD,若△A'CD与△ABC重合部分的面积等于
1
△ABC面积的 ,请直接写出△ABC的面积.
4八、(本题14分)
25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=8√2x2+bx+c经过点A(3 )和点B(1,2 ),与x轴
,0 √2
5 2
的另一个交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在对称轴的右侧,x轴上方的抛物线上,且∠BDA=∠DAC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,连结BD,交抛物线对称轴于点E,连结AE.
①判断四边形OAEB的形状,并说明理由;
1
②点F是OB的中点,点M是直线BD上的一个动点,且点M与点B不重合,当∠BMF=
3
∠MFO时,请直接写出线段BM的长.
答案全解全析：
1.C 196亿=19 600 000 000,将其写成科学记数法为a×10n的形式,其中a=1.96,n=11-
1=10,所以表示为1.96×1010,故选C.
2.A 由几何体的三视图的特征可以判断此几何体为圆柱体,故选A.
3.C 因为b3+b3=2b3,(-3pq)2=9p2q2,b9÷b3=b6,所以选项A、B、D错误,故选C.
4.B 因为2<√7<3,所以2-1<√7-1<3-1,1<√7-1<2,即1<m<2,故选B.
5.D 选项A、B、C均为随机事件,三角形的内角和为180°,所以选项D为不可能事件.故选
D.
2 3 2 3 -1 1
6.B + = - = = .故选B.
x-1 1-x x-1 x-1 x-1 1-x1
7.C 函数y=x-1的图象经过第一、三、四象限,y= 的图象经过第一、三象限,选项C符合,
x
故选C.
8.B 因 为 ∠ ADC=∠BDE,∠C=∠E, 所 以 △ ADC∽△BDE, 因 BC=8,BD∶DC=5∶3, 所 以
AD CD 15
BD=5,DC=3,又 = ,所以DE= ,故选B.
BD DE 4
评析 本题考查三角形相似的判定和相似三角形的性质,属基础题.
9.答案 3(a+1)2
解析 原式=3(a2+2a+1)=3(a+1)2.
10.答案 7
2+4+x-1
解析 由 =3,得x=7.
4
11.答案 (3,-2)
解析 在平面直角坐标系中,点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y),所以点M(-3,2)关
于原点的对称点的坐标为(3,-2).
12.答案 a<4
解析 当Δ=42-4a>0,即a<4时,原方程有两个不相等的实数根.
13.答案 3
解析 当x=1时,有2a+3b+4=5,即2a+3b=1.
当x=-1时,原式=-2a-3b+4=-(2a+3b)+4=-1+4=3.
14.答案 √13
解析 圆内接四边形 ABCD 对角互补,则∠D=90°,连结 AC,所以 AC 为☉O 的直径,AC=
= .
√AD2+CD2 √13
15.答案 82+92+722=732解析 由题中所给四个式子得出规律为 n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2,所以
82+92+722=732.
16.答案 1,7
解析 如图1,当P点在△ABC内部时,作PD⊥AC,PF⊥AB,PE⊥BC,则PD=2,PF=1,PE为点P到
1
BC的最小距离,连结PA、PB、PC,设△ABC的高为h,边长为a,则S =S +S +S ,即
△ABC △PAB △PBC △PAC
2
1 1 1
ah= a·PF+ a·PE+ a·PD,
2 2 2
∴4=1+2+PE,
PE=1.
图1
1
如图 2,当 P 点在△ABC 外部时,P 到 BC 的距离最大,同理得 S =S +S +S ,即
△PBC △ABC △PAB △PAC
2
1 1 1
a·PE= ah+ a·PF+ a·PD,
2 2 2
图2∴PE=4+1+2,
∴PE=7,
∴P到BC的最小距离和最大距离分别为1,7.
评析 本题是平面内任意一点到等边三角形三边距离的问题,可充分利用三边相等这一关键
因素构造出等底不等高的三角形,运用三角形的面积和、差求解,属难题.
三、解答题
1
17.解析 原式=22-6× +1+2√2-2=2√2.
2
18.解析 (1)200.(2)a=35.
(3)
19.解析 (1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)∵ADC≌△BDF,∴DF=CD=√2.
在Rt△CDF中,CF= =2,
√DF2+CD2∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+√2.
1
20.解析 (1) .
3
(2)画树状(形)图得:
或列表得:
第二次
3 √2 √2+6
第一次
3 (3,√2) (3,√2+6)
√2 (√2,3) (√2,√2+6)
√2+6 (√2+6,3) (√2+6,√2)
由树状(形)图(或表格)可知,共有6种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两
次抽取的卡片上的实数之差为有理数的结果有2种,分别为(√2,√2+6)和(√2+6,√2),因此,
2 1
两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为 = .
6 3
21.解析 (1)过点A作AP⊥GF于点P,
由题意得AP=BF=12米,AB=PF=1.4米,∠GAP=37°.GP
在Rt△PAG中,tan∠PAG= ,
AP
∴GP=AP·tan 37°≈12×0.75=9(米).
∴GF=GP+PF=9+1.4=10.4(米).
答:风筝距地面的高度约为10.4米.
(2)由题意可知MN=5米,MF=3米.
∴在Rt△MNF中,NF= =4米.
√M N2-M F2
∵10.4-1.65-5=3.75<4,
∴能触到挂在树上的风筝.
22.证明 (1)过点A作AF⊥ON于F.
∵OM是☉A的切线,
∴AB⊥OM.
∵OC平分∠MON,
∴AF=AB=2,
∴ON是☉A的切线.
(2)∵∠MON=60°,AB⊥OM,
∴∠OEB=30°.∵AF⊥ON,
∴∠FAE=60°.
FE
∴在Rt△AEF中,tan∠FAE= .
AF
∴EF=AF·tan 60°=2√3.
1 60 2
∴S =S -S = AF·EF- πAF2=2√3- π.
阴影 △AEF 扇形ADF
2 360 3
3
23.解析 (1)y=60x2;0≤x≤ .
2
(2)上午9点y=80,y=60,
1 2
设需要开放x个普通售票窗口.
3
依题意得80x+60×5≥1 450,解得x≥14 .
8
∵x为整数,
∴至少需要开放15个普通售票窗口.
(3)设y=kx,把(1,80)代入得80=k,
1 1 1
∴y=80x.
1
当x=2时,y=160,上午10点时,y=y=160.
1 2 1
3
由(1)得,当x= 时,y=135.
2
2
∴题图②中一次函数过点(3 )、(2,160).
,135
2
设一次函数表达式为y=kx+b,
2 2
{3
则 k +b=135, 解得{k =50,
2 2 2
b=60,
2k +b=160,
2
∴一次函数的表达式为y=50x+60.
2
24.证明 (1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴∠EAO=∠BFO.
又∵∠AOE=∠FOB,AE=BF,
∴△AOE≌△FOB,
∴EO=BO.
∴△AOE与△AOB是“友好三角形”.
(2)∵△AOE与△DOE是“友好三角形”,
1
∴S =S ,AE=ED= AD=3.
△AOE △DOE
2
∵△AOB与△AOE是“友好三角形”,
∴S =S .
△AOB △AOE
∵△AOE≌△FOB,
∴S =S .
△AOE △FOB
∴S =S .
△AOD △ABF
1
∴S =S -2S =4×6-2× ×4×3=12.
四边形CDOF 矩形ABCD △ABF
2
探究:2或2√3.
{8√2
×
9
+
3
b+c=0,
25.解析 (1)将A(3 )、B(1,2 )代入y=8√2x2+bx+c得 5 4 2
,0 √2
2 5 8√2
+b+c=2√2,
5
{b=-8√2,
∴
42√2
c= .
5
8√2 42√2
∴y= x2-8√2x+ .
5 5
(2)当∠BDA=∠DAC时,BD∥x轴.
∵B(1,2√2),8√2 42
∴当y=2√2时,有2√2= x2-8√2x+ √2.
5 5
解得x=1,x=4.
1 2
∴D(4,2√2).
(3)①四边形OAEB是平行四边形.
5
理由如下:抛物线的对称轴是x= ,
2
5 3
∴BE= -1= .
2 2
∵A(3 ),
,0
2
3
∴OA=BE= .
2
又∵BE∥OA,
∴四边形OAEB是平行四边形.
1 5
② 或 .
2 2
