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2013 年沈阳市中等学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c的顶点是( b 4ac-b2 ),对称轴是直线x=- b .
- ,
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共 24 分)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的,每小题3分,共24分)
1.2013年第一季度,沈阳市公共财政预算收入完成196亿元(数据来源:4月16日《沈阳日
报》),将196亿用科学记数法表示为( )
A.1.96×108 B.19.6×108 C.1.96×1010 D.19.6×1010
2.下图是一个几何体的三视图,这个几何体的名称是( )
A.圆柱体 B.三棱锥 C.球体 D.圆锥体
3.下面的计算一定正确的是( )
A.b3+b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2
C.5y3·3y5=15y8 D.b9÷b3=b3
4.如果m=√7-1,那么m的取值范围是( )
A.00,即a<4时,原方程有两个不相等的实数根.
13.答案 3
解析 当x=1时,有2a+3b+4=5,即2a+3b=1.
当x=-1时,原式=-2a-3b+4=-(2a+3b)+4=-1+4=3.
14.答案 √13
解析 圆内接四边形 ABCD 对角互补,则∠D=90°,连结 AC,所以 AC 为☉O 的直径,AC=
= .
√AD2+CD2 √13
15.答案 82+92+722=732解析 由题中所给四个式子得出规律为 n2+(n+1)2+[n(n+1)]2=[n(n+1)+1]2,所以
82+92+722=732.
16.答案 1,7
解析 如图1,当P点在△ABC内部时,作PD⊥AC,PF⊥AB,PE⊥BC,则PD=2,PF=1,PE为点P到
1
BC的最小距离,连结PA、PB、PC,设△ABC的高为h,边长为a,则S =S +S +S ,即
△ABC △PAB △PBC △PAC
2
1 1 1
ah= a·PF+ a·PE+ a·PD,
2 2 2
∴4=1+2+PE,
PE=1.
图1
1
如图 2,当 P 点在△ABC 外部时,P 到 BC 的距离最大,同理得 S =S +S +S ,即
△PBC △ABC △PAB △PAC
2
1 1 1
a·PE= ah+ a·PF+ a·PD,
2 2 2
图2∴PE=4+1+2,
∴PE=7,
∴P到BC的最小距离和最大距离分别为1,7.
评析 本题是平面内任意一点到等边三角形三边距离的问题,可充分利用三边相等这一关键
因素构造出等底不等高的三角形,运用三角形的面积和、差求解,属难题.
三、解答题
1
17.解析 原式=22-6× +1+2√2-2=2√2.
2
18.解析 (1)200.(2)a=35.
(3)
19.解析 (1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,
∴∠ABD=∠BAD=45°.
∴AD=BD.
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠CBE.
又∵∠CDA=∠BDF=90°,
∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.
∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)∵ADC≌△BDF,∴DF=CD=√2.
在Rt△CDF中,CF= =2,
√DF2+CD2∵BE⊥AC,AE=EC,
∴AF=FC=2.
∴AD=AF+DF=2+√2.
1
20.解析 (1) .
3
(2)画树状(形)图得:
或列表得:
第二次
3 √2 √2+6
第一次
3 (3,√2) (3,√2+6)
√2 (√2,3) (√2,√2+6)
√2+6 (√2+6,3) (√2+6,√2)
由树状(形)图(或表格)可知,共有6种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两
次抽取的卡片上的实数之差为有理数的结果有2种,分别为(√2,√2+6)和(√2+6,√2),因此,
2 1
两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为 = .
6 3
21.解析 (1)过点A作AP⊥GF于点P,
由题意得AP=BF=12米,AB=PF=1.4米,∠GAP=37°.GP
在Rt△PAG中,tan∠PAG= ,
AP
∴GP=AP·tan 37°≈12×0.75=9(米).
∴GF=GP+PF=9+1.4=10.4(米).
答:风筝距地面的高度约为10.4米.
(2)由题意可知MN=5米,MF=3米.
∴在Rt△MNF中,NF= =4米.
√M N2-M F2
∵10.4-1.65-5=3.75<4,
∴能触到挂在树上的风筝.
22.证明 (1)过点A作AF⊥ON于F.
∵OM是☉A的切线,
∴AB⊥OM.
∵OC平分∠MON,
∴AF=AB=2,
∴ON是☉A的切线.
(2)∵∠MON=60°,AB⊥OM,
∴∠OEB=30°.∵AF⊥ON,
∴∠FAE=60°.
FE
∴在Rt△AEF中,tan∠FAE= .
AF
∴EF=AF·tan 60°=2√3.
1 60 2
∴S =S -S = AF·EF- πAF2=2√3- π.
阴影 △AEF 扇形ADF
2 360 3
3
23.解析 (1)y=60x2;0≤x≤ .
2
(2)上午9点y=80,y=60,
1 2
设需要开放x个普通售票窗口.
3
依题意得80x+60×5≥1 450,解得x≥14 .
8
∵x为整数,
∴至少需要开放15个普通售票窗口.
(3)设y=kx,把(1,80)代入得80=k,
1 1 1
∴y=80x.
1
当x=2时,y=160,上午10点时,y=y=160.
1 2 1
3
由(1)得,当x= 时,y=135.
2
2
∴题图②中一次函数过点(3 )、(2,160).
,135
2
设一次函数表达式为y=kx+b,
2 2
{3
则 k +b=135, 解得{k =50,
2 2 2
b=60,
2k +b=160,
2
∴一次函数的表达式为y=50x+60.
2
24.证明 (1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴∠EAO=∠BFO.
又∵∠AOE=∠FOB,AE=BF,
∴△AOE≌△FOB,
∴EO=BO.
∴△AOE与△AOB是“友好三角形”.
(2)∵△AOE与△DOE是“友好三角形”,
1
∴S =S ,AE=ED= AD=3.
△AOE △DOE
2
∵△AOB与△AOE是“友好三角形”,
∴S =S .
△AOB △AOE
∵△AOE≌△FOB,
∴S =S .
△AOE △FOB
∴S =S .
△AOD △ABF
1
∴S =S -2S =4×6-2× ×4×3=12.
四边形CDOF 矩形ABCD △ABF
2
探究:2或2√3.
{8√2
×
9
+
3
b+c=0,
25.解析 (1)将A(3 )、B(1,2 )代入y=8√2x2+bx+c得 5 4 2
,0 √2
2 5 8√2
+b+c=2√2,
5
{b=-8√2,
∴
42√2
c= .
5
8√2 42√2
∴y= x2-8√2x+ .
5 5
(2)当∠BDA=∠DAC时,BD∥x轴.
∵B(1,2√2),8√2 42
∴当y=2√2时,有2√2= x2-8√2x+ √2.
5 5
解得x=1,x=4.
1 2
∴D(4,2√2).
(3)①四边形OAEB是平行四边形.
5
理由如下:抛物线的对称轴是x= ,
2
5 3
∴BE= -1= .
2 2
∵A(3 ),
,0
2
3
∴OA=BE= .
2
又∵BE∥OA,
∴四边形OAEB是平行四边形.
1 5
② 或 .
2 2
