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数 学
试题满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1. 下列有理数中，比0小的数是（ ）
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数>0>负数的关系判断即可．
【详解】解：由小于0的有理数为负数可知
-2<0
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的大小，解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则．
2. 2020年5月，中科院沈阳自动化所主持研制的“海斗一号”万米海试成功，下潜深度超10900米，刷新
我国潜水器最大下潜深度记录．将数据10900用科学记数法表示为（ ）
A. 1.09×103 B. 1.09×104 C. 10.9×105 D. 0.109×105
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当
原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主视图即为在正面内得到的由前向后观察物体的视图，由此确定即可．
【详解】解：从正面看，该几何体第1列有1个正方形，第2列有2个正方形，第3列有1个正方形，所以
从左往右小正方形的个数分别为1,2,1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图，正确理解主视图的定义是判断的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项的法则，对各选项
计算后利用排除法求解．
【详解】A、 ，不能进行底数不变，指数相加运算，故错误；
B、 ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故错误；
C、利用积的乘方法则 ，故正确；
D、 ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故错误．
故选：C．
【点睛】题主要考查同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变，
指数相减．熟练掌握性质是解题的关键．
5. 如图，直线 ，且 于点 ，若 ，则 的度数为（ ）.
A 65° B. 55° C. 45° D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和求得 ，再根据平行线的性质可得到 的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内角和、平行线的性质，熟练运用平行线的性质定理是解题的关键．
6. 不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，不等号两边同时除以2即可得出答案．
【详解】解:不等式两边同时除以2得：x≤3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题关键在于熟练掌握不等式的性质，利用不等式
的性质进行解题．
7. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率事件的定义理解逐一判断即可．
【详解】A：只有白球的盒子里摸出的球一定是白球，故此选项正确
B：任意买一张电影票，座位号是随机的，是随机事件，故此选项错误
C：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为 ，是随机事件，故此选项错误
D：汽车走过一个红绿灯路口时，绿灯的概率为 ，是随机事件，故此选项错误
故答案选A
【点睛】本题主要考查了概率的事件分类问题，根据必然事件，在一定条件下，事件必然会发生的定义判
断是解题的关键．
8. 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程 （ ）的根的判别式 ：当 ＞0，方
程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 ＜0，方程没有实数根．
9. 一次函数 的图象经过点 ，点 ，那么该图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D【解析】
【分析】如图（见解析），在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，然后观察函数图
象即可得．
【详解】在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示：
观察函数图象可知，一次函数 的图象不经过第四象限
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确画出函数图象是解题关键．
10. 如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交边 于点 ，
连接 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得 ，再根据圆的性质可得 ，
然后利用余弦三角函数可得 ，从而可得 ，最后利用弧长公式即可得．【详解】 四边形ABCD是矩形， ，
由圆的性质得：
在 中，
则 的长为
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、弧长公式、余弦三角函数等知识点，利用余弦三角函数求出
是解题关键．
二、填空题(每小题3分，共18分)
11. 因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．
【详解】提取公因式 得：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提取公因式法、公式法、十
字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
12. 二元一次方程组 的解是_____________．
【答案】
【解析】【详解】解： ，
①＋②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
所以方程组的解为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，根据方程组中未知数系数的特点选择恰当的方法消元是
解决此题的关键．
13. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击成绩的平均值都是7环，方差分别为
，则两人成绩比较稳定的是__________．(填“甲”或“乙”)
【答案】乙
【解析】
【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动值越
大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得到答案.
【详解】 ， ，
，方差越小越稳定
两人成绩较稳定的是乙
【点睛】本题考查数据的分. 析、方差的定义，反差越小越稳定，属于基础题.
14. 如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，在 中， 于点 ，点 在反
比例函数 的图象上，若OB=4，AC=3，则 的值为__________．【答案】6
【解析】
【分析】由等腰三角形的性质可得C点坐标，结合AC长即可得到A点坐标，进而可得k值．
【详解】∵AO=OB
∴△AOB为等腰三角形
又∵AC⊥OB
∴C为OB中点
∵OB=4，AC=3
∴C（2，0），A（2，3）
将A点坐标代入反比例函数 得，3=
∴k=6
故答案为：6．
【点睛】本题主要考察反比例函数与等腰三角形的综合，利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐
标是解题关键．
15. 如图，在平行四边形 中，点 为边 上一点， ，点 ，点 分别是
中点，若 ，则 的长为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据三角形中位线定理可得 BC的长，再根据平行四边形的性质可得 AD的长，然后根据即可得．
【详解】 点 ，点 分别是 中点
是 的中位线
四边形ABCD是平行四边形
又
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，熟记三角形中位线定理是解题关键．
16. 如图，在矩形 中， ， ，对角线 相交于点 ，点 为边 上一动点，
连接 ，以 为折痕，将 折叠，点 的对应点为点 ，线段 与 相交于点 ．若
为直角三角形，则 的长__________．
【答案】 或1
【解析】
【分析】先根据矩形的性质、折叠的性质可得 ，
，设 ，从而可得 ，再根据直角三角形的定义分
和 两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．
【详解】 四边形ABCD是矩形， ，由折叠的性质可知，
设 ，则
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，当 时， 为直角三角形
在 和 中，
，即
解得
，
在 中， ，即
解得
即
（2）如图2，当 时， 为直角三角形
，
，即在 和 中，
，即
解得
，即
解得
即
综上，DP的长为 或1
故答案为： 或1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，依据题意，正确画
出图形，并分两种情况讨论是解题关键．
三、解答题17. 计算：
【答案】12
【解析】
【分析】分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数性质化简各式，再计算即可．
【详解】解:原式
．
【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负指数幂和实数的有关性质，解答关键是根据相关
法则进行计算．
18. 沈阳市图书馆推出“阅读沈阳 书香盛京”等一系列线上线下相融合的阅读推广活动，需要招募学生志
愿者．某校甲、乙两班共有五名学生报名，甲班一名男生，一名女生；乙班一名男生，两名女生．现从甲、
乙两班各随机抽取一名学生作为志愿者，请用列表法或画树状图法求抽出的两名学生性别相同的概率．(温
馨提示：甲班男生用 表示，女生用 表示；乙班男生用 表示，两名女生分别用 表示)
【答案】
【解析】
【分析】利用列表法即可表示出所有的情况，然后利用概率公式即可求解．
【详解】解：根据题意列表得：
乙班
甲班
由列表可知共有6种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中抽出的两名学生性别相同的结果有3种：
，∴ (抽出的两名学生性别相同) ．
【点睛】本题考查树状图法（列表法）求概率，根据题意列出所有等可能的情况是解题的关键．
19. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线分别与边 和边 的延长线交于点 ， ，
与边 交于点 ，垂足为点 ．
（1）求证： ；
的
（2）若 ， ，请直接写出 长为__________．
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】(1)利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可．
(2)分别由勾股定理和线段垂直平分线求AC、AO，再证明 ∽ ，得到 ，求出AE
即可．
【详解】(1)证明：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ．
∵矩形 ，
∴ 即
∴ ．在 和 中
∴ ．
(2)解：由勾股定理
∵MN是AC的垂直平分线
∴
∵
∴
∵
∴ ∽ ，
∴ ，即
解得 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定，解答关
键是根据相似三角形构造方程求解．
20. 某市为了将生活垃圾合理分类，并更好地回收利用，将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其
他垃圾四类．现随机抽取该市 吨垃圾，将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1） __________， __________；
（2）根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为__________度；
（4）根据抽样调查的结果，请你估计该市200吨垃圾中约有多少吨可回收物．
【答案】（1）100，60；（2）图见解析；（3）108；（4）120．
【解析】
【分析】（1）根据其他垃圾的条形统计图和扇形统计图信息可得m的值，再求出可回收物的数量，然后
除以m求出其占比即可得出n的值；
（2）根据可回收物的数量补全条形统计图即可；
（3）先求出厨余垃圾的占比，再乘以 即可得；
（4）直接利用200乘以可回收物的占比即可得．
【详解】（1） （吨）
可回收物的数量为 （吨）
可回收物的占比为
则
故答案为：100，60﹔
（2）由（1）可知，可回收物的数量为60吨，补全条形统计图如下所示：（3）厨余垃圾的占比为
则
故答案为：108；
（4） （吨）
答：该市200吨垃圾中约有120吨可回收物．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点，掌握理解统计调查的
相关知识是解题关键．
21. 某工程队准备修建一条长 的盲道，由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划
增加25%，结果提前2天完成这一任务，原计划每天修建盲道多少米？
【答案】原计划每天修建盲道300米
【解析】
【分析】可设原计划每天修建盲道 米，由“实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%”可知实际每天
修建 米，表示出原计划和实际修建 的盲道所用的时间，根据“提前2天完成这一任
务”可列出关于x的分式方程，求解即可.
【详解】解：设原计划每天修建盲道 米，根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
经检验： 是所列方程的根．
答：原计划每天修建盲道300米
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找准题中等量关系列出方程是解题的关键.
22. 如图，在 中， ，点 为 边上一点，以点 为圆心， 长为半径的圆与边
相交于点 ，连接 ，当 为 的切线时．
（1）求证： ；
的
（2）若 半径为1，请直接写出 的长为__________．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 如 图 （ 见 解 析 ） ， 先 根 据 圆 的 切 线 的 性 质 可 得 ， 从 而 可 得
，再根据直角三角形的性质可得 ，然后根据等腰三角形的性质可
得 ，从而可得 ，最后根据等腰三角形的定义即可得证；
（2）先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据三角形的外角性质可得 ，从而
可得 ，然后利用直角三角形的性质可得 ，从而可得 ，最后在
中，利用正切三角函数求解即可得．【详解】（1）如图，连接
∵ 是 的切线
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴ ；
（2）
由（1）知，
又
解得
的半径为1在 中， ，即
解得
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、正切三角函数、等腰三角形的性质等知识点，通过作辅助线，利用
圆的切线的性质构造直角三角形是解题关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 是坐标原点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
动点 从 开始以每秒1个单位长度的速度沿 轴正方向运动，设运动的时间为t秒（ ），过点
作 轴，分别交 于点 ， ．
（1）填空： 的长为_____， 的长为____
（2）当 时，求点 的坐标：
（3）请直接写出 的长为_____（用含 的代数式表示）；
（4）点 是线段 上一动点（点 不与点 重合）， 和 的面积分别表示为 和
，当 时，请直接写出 （即 与 的积）的最大值为__________．【答案】（1） ， ；（2） ；（3） ；（4）16．
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，令 求解即可得到点N的坐标；
（3）根据题意可得 ，利用相似三角形的性质即可求解；
（4）根据 求解即可．
【详解】解：（1）∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）设直线AB的解析式为 ，将 ， 代入得：
，解得 ，
∴ ，
由题意可知点N的纵坐标为1，
∴令 得 ，解得 ，
∴ ；
（3）∵动点 从 开始以每秒1个单位长度的速度沿 轴正方向运动，运动的时间为t秒，的
∴ 到OB 距离为t，
∴ 的高为 ，
∴ 与 的高之比为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（4）当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等内容，掌握数形结合思想是
解题的关键．
24. 在 中， ，点 为线段 延长线上一动点，连接 ，将线段 绕点
逆时针旋转，旋转角为 ，得到线段 ，连接 ．
（1）如图，当 时，
①求证： ；
②求 的度数：
（2）如图2，当 时，请直接写出 和 的数量关系为__________；
（3）当 时，若 时，请直接写出点 到 的距离为__________．【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2） ；（3） 或 ．
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） ① 通 过 证 明 即 可 得 证 ； ② 根 据 得 到
，故 即可求解；
（2）通过证明 ，对应线段成比例可得 ；
（3）分两种情形，解直角三角形求出 即可解决问题．
【详解】解：（1）①证明：∵ ， ， ，
∴ 与 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
（3）过点 作 于 ，过点 作 交 的延长线于 ．
如图 中，当 是钝角三角形时，
在 中， ， ， ，
， ，
，
，
由（2）可知， ，
，
，，
如图 中，当 是锐角三角形时，同法可得 ， ， ，
综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角
三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问
题．
25. 如图，在平面直角坐标系中， 是坐标原点，抛物线 经过点 和点 ，
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，线段 绕原点 逆时针旋转30°得到线段 ．过点 作射线 ，点 是射线 上一点
(不与点 重合)，点 关于 轴的对称点为点 ，连接①请直接写出 的形状为__________．
②设 的面积为 的面积为是 ，当 时，求点 的坐标；
（3）如图，在（2）的结论下，过点 作 ，交 的延长线于点 ，线段 绕点 逆时针旋
转，旋转角为 得到线段 ，过点 作 轴，交射线 于点 ， 的角平
分线和 的角平分线相交于点 ，当 时，请直接写出点 的坐标为__________．
【答案】（1） ；（2）①等边三角形；② ；（3）（6， ）
【解析】
【分析】（1）根据题意代入点B、C坐标，利用待定系数法解析式可解；
（2）①过点D作DH⊥OB于点H ，利用解直角三角形知识，求出 ，得到 ，
由对称性问题可解；
②在①基础上，分别求出S1、S2面积，求出MN则问题可解；
（3）由旋转的性质可知BE=BF，然后根据（2）中的结论可得点E和点F到x轴距离相等，又由于FK ∥x轴，所以点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离，从而确定E、K重合，可得 为等边三角形，从
而根据题目条件可求点G坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点B（6，0），C（0，-3）
∴
解得
∴抛物线的表达式为 ．
（2）①等边三角形
如图
过点D作DH⊥OB于点H，
在 中，在中，
∴
由轴对称可知， ，
∴ 为等边三角形
故答案为：等边三角形；
②由①，得
设
在 中，
（3）由题意如图，在（2）的结论下可知△BMN为等边三角形，M（3， ）
∵ ，交 的延长线于点 ，
∴∠MBE=30°，ER=
∵线段 绕点 逆时针旋转，旋转角为 得到线段
∴点F到x轴的距离= ER=
∵FK ∥x轴，
∴点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离= ER=
又∵点K、E均在射线BE上
∴K、E两点重合
∴
∴ 为等边三角形
∴ ，∠OBG=90°
∵
∴点G坐标为（6， ）
故答案为：（6， ）
【点睛】本题考查二次函数的综合、待定系数法、旋转的性质、轴对称及等边三角形的性质等知识，综合
性较强，利用数形结合思想解题是关键，属于中考压轴题．
