2022 年河南省普通高中招生考试试卷
一、选择题(每小题3 分,共30 分)下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正
确的.
1.(2022 河南,1,3 分)-1
2的相反数是( )
A.1
2
B.2 C.-2
D.-1
2
2.(2022 河南,2,3 分)2022 年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的
中华文化内涵,将这六个汉字分别写在某正方体的表面上,如图是它的一种展开
图,则在原正方体中,与“地”字所在面相对的面上的汉字是( )
A.合
B.同
C.心
D.人
3.(2022 河南,3,3 分)如图,直线AB,CD 相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若
∠1=54°,则∠2 的度数为
( )
A.26°
B.36°
C.44°
D.54°
4.(2022 河南,4,3 分)下列运算正确的是( )
A.2√3-√3=2
B.(a+1)2=a2+1
C.(a2)3=a5
D.2a2·a=2a3
5.(2022 河南,5,3 分)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,点E 为
CD 的中点.若OE=3,则菱形ABCD 的周长为( )
A.6 B.12
C.24
D.48
6.(2022 河南,6,3 分)一元二次方程x2+x-1=0 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个相等的实数根
D.只有一个实数根
7.(2022 河南,7,3 分)如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的
打分情况(满分5 分),则所打分数的众数为
( )
A.5 分
B.4 分
C.3 分
D.45%
8.(2022 河南,8,3 分)《孙子算经》中记载:“凡大数之法,万万曰亿,万万亿曰
兆.”说明了大数之间的关系:1 亿=1 万×1 万,1 兆=1 万×1 万×1 亿.则1 兆等于(
)
A.108
B.1012
C.1016
D.1024
9.(2022 河南,9,3 分)如图,在平面直角坐标系中,边长为2 的正六边形ABCDEF
的中心与原点O 重合,AB∥x 轴,交y 轴于点P.将△OAP 绕点O 顺时针旋转,每
次旋转90°,则第2 022 次旋转结束时,点A 的坐标为( )
A.(√3,-1) B.(-1,-√3)
C.(-√3,-1) D.(1,√3)
10.(2022 河南,10,3 分)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器,可用于检测
驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻(图1 中的R1),R1的阻值
随呼气酒精浓度K 的变化而变化(如图2),血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的
关系见图3.下列说法不正确的是( )
图1
图2
信息窗
M=2 200×K×10-3mg/100 mL
(M 为血液酒精浓度,K 为呼气酒精浓度)
非酒驾(M<20 mg/100 mL)
酒驾(20 mg/100 mL≤M≤80 mg/100 mL)
醉驾(M>80 mg/100 mL)
图3
A.呼气酒精浓度K 越大,R1的阻值越小
B.当K=0 时,R1的阻值为100
C.当K=10 时,该驾驶员为非酒驾状态
D.当R1=20 时,该驾驶员为醉驾状态
二、填空题(每小题3 分,共15 分)
11.(2022 河南,11,3 分)请写出一个y 随x 的增大而增大的一次函数的表达式:
.
12.(2022 河南,12,3 分)不等式组{
x -3≤0,
x
2 >1
的解集为 .
13.(2022 河南,13,3 分)为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教
育宣讲活动,某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲,则
恰好选中甲和丙的概率为 .
14.(2022 河南,14,3 分)如图,将扇形AOB 沿OB 方向平移,使点O 移到OB 的中
点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .
15.(2022 河南,15,3 分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2,点D 为
AB 的中点,点P 在AC 上,且CP=1,将CP 绕点C 在平面内旋转,点P 的对应点为
点Q,连接AQ,DQ.当∠ADQ=90°时,AQ 的长为 .
三、解答题(本大题共8 个小题,共75 分)
16.(2022 河南,16,10 分)(1)计算:3√27-(
1
3)
0+2-1;
(2)化简: x
2-1
x
÷(1- 1
x)
.
17.(2022 河南,17,9 分)2022 年3 月23 日下午,“天宫课堂”第二课在中国空间站
开讲,神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课,这是
中国空间站的第二次太空授课,被许多中小学生称为“最牛网课”.某中学为了解学
生对“航空航天知识”的掌握情况,随机抽取50 名学生进行测试,并对成绩(百分
制)进行整理,信息如下:
a.成绩频数分布表:
成绩
x(分)
50≤x<6
0
60≤x<7
0
70≤x<8
0
80≤x<9
0
90≤x≤10
0
频数
7
9
12
16
6
b.成绩在70≤x<80 这一组的是(单位:分)
70 71 72 72 74 77
78 78 78 79 79 79
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这次测试中,成绩的中位数是 分,成绩不低于80 分的人数占测试人
数的百分比为 ;
(2)这次测试成绩的平均数是76.4 分,甲的测试成绩是77 分,乙说:“甲的成绩高
于平均数,所以甲的成绩高于一半学生的成绩.”你认为乙的说法正确吗?请说明理
由;
(3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价.
18.(2022 河南,18,9 分)如图,反比例函数y=k
x (x>0)的图象经过点A(2,4)和点
B,点B 在点A 的下方,AC 平分∠OAB,交x 轴于点C.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线;(要求:不写作法,保留
作图痕迹,使用2B 铅笔作图)
(3)线段OA 与(2)中所作的垂直平分线相交于点D,连接CD,求证:CD∥AB.
19.(2022 河南,19,9 分)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上
河图》建造的,拂云阁是园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC 的高度,如
图,在A 处用测角仪测得拂云阁顶端D 的仰角为34°,沿AC 方向前进15 m 到达
B 处,又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m,测量点A,B
与拂云阁DC 的底部C 在同一水平线上,求拂云阁DC 的高度(结果精确到1 m.参
考数据:sin 34°≈0.56,cos 34°≈0.83,tan 34°≈0.67).
20.(2022 河南,20,9 分)近日,教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准
(2022 年版),将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生
体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解,市
场上每捆A 种菜苗的价格是菜苗基地的5
4
倍,用300 元在市场上购买的A 种菜苗
比在菜苗基地购买的少3 捆.
(1)求菜苗基地每捆A 种菜苗的价格;
(2)菜苗基地每捆B 种菜苗的价格是30 元,学校决定在菜苗基地购买A,B 两种菜
苗共100 捆,且A 种菜苗的捆数不超过B 种菜苗的捆数,菜苗基地为支持该校活
动,对A,B 两种菜苗均提供九折优惠,求本次购买最少花费多少钱.
21.(2022 河南,21,9 分)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对
此展开研究:测得喷水头P 距地面0.7 m,水柱在距喷水头P 水平距离5 m 处达到
最高,最高点距地面3.2 m.建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达
式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的
高度.
(1)求抛物线的表达式;
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P 水平距离3 m,身高1.6 m 的小红在水柱
下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
22.(2022 河南,22,10 分)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列
入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶
段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环☉O 与水平地面相切于点C,推杆AB 与铅垂
线AD 的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D 在同一平面内.当推杆AB 与铁环☉O 相切
于点B 时,手上的力量通过切点B 传递到铁环上,会有较好的启动效果.
(1)求证:∠BOC+∠BAD=90°;
(2)实践中发现,切点B 只有在铁环上一定区域内时,才能保证铁环平稳启动,图
中点B 是该区域内最低位置,此时点A 距地面的距离AD 最小,测得cos∠BAD=3
5
,已知铁环☉O 的半经为25 cm,推杆AB 的长为75 cm,求此时AD 的长.
23.(2022 河南,23,10 分)综合与实践
综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD 与BC 重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD 上选一点P,沿BP 折叠,使点A 落在矩形内部点M 处,把纸片展平,
连接PM,BM.
根据以上操作,当点M 在EF 上时,写出图1 中一个30°的角: .
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片ABCD 按照(1)中的方式操作,并延长PM 交CD 于点Q,连接BQ.
①如图2,当点M 在EF 上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;
②改变点P 在AD 上的位置(点P 不与点A,D 重合),如图3,判断∠MBQ 与
∠CBQ 的数量关系,并说明理由.
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD 的边长为8 cm,当FQ=1 cm 时,直接写出
AP 的长.
2022 年河南省普通高中招生考
试试卷
1.A 根据只有符号不同的两个数互为相反数知,-1
2
的相反数是1
2
.故选A.
2.D 根据正方体的表面展开图知,“地”与“人”所在面是相对面,“天”与“心”所在面是相对面,“合”与
“同”所在面是相对面,故选D.
3.B 根据平角的定义得∠1+∠2+∠COE=180°,因为EO⊥CD,∠1=54°,所以∠2=180°-90°-
54°=36°.故选B.
4.D 2√3-√3=√3,故A 错误;(a+1)2=a2+2a+1,故B 错误;(a2)3=a2×3=a6,故C 错误;2a2·a=2a3,
故D 正确.故选D.
5.C 根据菱形的性质得,O 是BD 的中点,因为E 是CD 的中点,OE=3,所以BC=2OE=6,所以菱
形ABCD 的周长为4×6=24.故选C.
6.A 由一元二次方程x2+x-1=0 得,Δ=12-4×(-1)=5>0,所以方程有两个不相等的实数根.故选A.
方法总结
所有a、c 异号的一元二次方程ax2+bx+c=0,都可以得到Δ=b2-4ac>0,所以此类方程有两
个不相等的实数根.
7.B 由题图可知,4 分占45%,所占的比例超过其他任何一个分数所占的比例,即众数是4 分.故选
B.
8.C ∵1 万=10 000=104,∴1 兆=1 万×1 万×1 亿=1 万×1 万×1 万×1 万
=104×104×104×104=104+4+4+4=1016.故选C.
9.B 因为六边形ABCDEF 是正六边形,所以△OAP 是含30°角的直角三角形,∠AOP=30°.因为正
六边形的边长为2,所以AP=1,OP=√3,即A(1,√3).将△OAP 绕点O 顺时针旋转,每次旋转90°,
则旋转4 次回到起始位置.因为2 022÷4=505……2,所以在第2 022 次旋转结束时,点A 落在第2
次旋转结束时的位置,此落点与起始位置的点A 关于原点O 中心对称,所以点A 在第2 022 次旋
转结束时的坐标为(-1,-√3).故选B.
10.C 根据题中图象可知,呼气酒精浓度K 越大,R1的阻值越小,故A 中说法正确;当K=0 时,
R1=100,故B 中说法正确;当K=10 时,M=2 200×10×10-3=22>20,故该驾驶员为酒驾状态,故C
中说法不正确;当R1=20 时,K=40,此时M=2 200×40×10-3=88>80,故该驾驶员为醉驾状态,故D
中说法正确.故选C.
11.答案 y=x(答案不唯一)
解析 设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),要使y 随x 的增大而增大,则k>0,b 可取任意实数.
12.答案 2<x≤3
解析 解不等式x-3≤0 得x≤3,解不等式x
2
>1 得x>2,所以不等式组的解集为2<x≤3.
13.答案 1
6
解析 根据题意列表如下:
甲
乙
丙
丁
甲
(甲,
乙)
(甲,
丙)
(甲,
丁)
乙(乙,
甲)
(乙,
丙)
(乙,
丁)
丙(丙,
甲)
(丙,
乙)
(丙,
丁)
丁(丁,
甲)
(丁,
乙)
(丁,
丙)
共有12 种等可能的结果,其中恰好选中甲和丙的结果有2 种,所以恰好选中甲和丙的概率P= 2
12
=1
6
.
14.答案 π
3
+√3
2
解析 如图,设A'O'与´AB交于点D,连接OD.由平移可知S 扇形AOB=S 扇形A'O'B',即S1+S2=S2+S 阴影,所
以S1=S 阴影.在Rt△OO'D 中,因为OD=2OO'=2,所以∠AOD=∠ODO'=30°,所以DO'=√3.所以S
阴影=S1=S 扇形AOD+S△OO'D=30 π ·2
2
360
+1
2
×1×√3=π
3
+√3
2
.
15.答案 √5或√13
解析 ∵∠ACB=90°,AC=BC=2√2,点D 为AB 的中点,且∠ADQ=90°,∴DQ 是AB 的垂直平分
线且经过点C,∴CD=AD=DB=2,∵CQ=CP=1,∴当点Q 在Rt△ABC 内部时,记为Q1,DQ1=2-
1=1,由勾股定理得AQ1=√2
2+1
2=√5
;当点Q 在Rt△ABC 外部时,记为Q2,DQ2=2+1=3,由勾股
定理得AQ2=√3
2+2
2=√13
.∴AQ 的长为√5
或√13
.
难点突破
由于点Q 在以C 为圆心的圆上且DQ 垂直平分AB,因而考虑两种情况:①点Q 在Rt△ABC
内部;②点Q 在Rt△ABC 外部,然后分别求解.
16.解析 (1)原式=3-1+1
2
(3 分)
=5
2
. (5 分)
(2)原式=( x +1)( x -1)
x
· x
x -1
(8 分)
=x+1.
(10 分)
17.解析 (1)78.5;44%. (4 分)
提示:将50 名学生的成绩按从小到大的顺序排列后,第25、26 个成绩的平均数即为这次测试成
绩的中位数,由题知,中位数在70≤x<80 这一组内,是78 和79 的平均数,所以中位数是78.5 分;
成绩不低于80 分的人数占测试人数的百分比为(16+6)÷50×100%=44%.
(2)不正确.因为甲的成绩77 分低于中位数78.5 分,所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩.
(7 分)
(3)测试成绩不低于80 分的人数占测试人数的44%,说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情
况较好.(注:答案不唯一,合理即可)
(9 分)
18.解析 (1)∵反比例函数y=k
x
(x>0)的图象经过点A(2,4),∴k=2×4=8.
故反比例函数的表达式为y=8
x
.
(4 分)
(2)如图.
(6 分)
(3)证明:∵AC 平分∠OAB,∴∠OAC=∠BAC.
∵AC 的垂直平分线交OA 于点D,
∴DA=DC.∴∠DAC=∠DCA.
∴∠DCA=∠BAC.
∴CD∥AB.
(9 分)
19.解析 延长EF 交DC 于点H,由题意知,EH⊥DC.
设DH=x,
在Rt△DHF 中,∠DFH=45°,
∴FH=DH=x. (4 分)
在Rt△DHE 中,∠DEH=34°,
∴EH=
DH
tan34°
=
x
tan34°
.
∵EF=15,∴EH-FH=15,即
x
tan34°
-x=15.
(7 分)
解得x≈30.5.
∴DC=30.5+1.5=32.
答:拂云阁DC 的高度为32 m.
(9 分)
20.解析 (1)设菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为x 元,根据题意,得300
x
-
300
5
4 x
=3.
(3 分)
解得x=20.
经检验,x=20 是原方程的解且符合题意.
答:菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为20 元. (5 分)
(2)设购买A 种菜苗a 捆,则购买B 种菜苗(100-a)捆,根据题意,得a≤100-a.解得a≤50.
(6
分)
设本次购买花费w 元,则w=20a×0.9+30(100-a)×0.9=-9a+2 700.
∵-9<0,∴w 随a 的增大而减小.
∴当a=50 时,w 有最小值,w 最小=-450+2 700=2 250.
答:本次购买最少花费2 250 元.
(9 分)
21.解析 (1)由题意知,点(5,3.2)是抛物线y=a(x-h)2+k 的顶点,
∴y=a(x-5)2+3.2.
又∵抛物线经过点(0,0.7),∴0.7=a(0-5)2+3.2,
解得a=-0.1.
(4 分)
∴抛物线的表达式为y=-0.1(x-5)2+3.2(或y=-0.1x2+x+0.7).
(5 分)
(2)当y=1.6 时,1.6=-0.1(x-5)2+3.2,
解得x1=1,x2=9.
(7 分)
∴3-1=2,9-3=6.
答:小红与爸爸的水平距离为2 m 或6 m.
(9 分)
22.解析 (1)证法一:如图1,过点B 作EF∥CD,分别交AD 于点E,交OC 于点F.
图1
∵CD 与☉O 相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.
∵EF∥CD,∴∠OFB=∠AEB=90°.
∴∠BOC+∠OBF=90°,∠ABE+∠BAD=90°. (3 分)
∵AB 为☉O 的切线,∴∠OBA=90°.
∴∠OBF+∠ABE=90°.∴∠OBF=∠BAD.
∴∠BOC+∠BAD=90°. (5 分)
证法二:如图2,延长OB 交CD 于点M.
图2
∵CD 与☉O 相切于点C,
∴∠OCM=90°.
∴∠BOC+∠BMC=90°.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.
∵AB 为☉O 的切线,∴∠OBA=90°.
∴∠ABM=90°.
(3 分)
∴在四边形ABMD 中,∠BAD+∠BMD=180°.
∵∠BMC+∠BMD=180°,∴∠BMC=∠BAD.
∴∠BOC+∠BAD=90°. (5 分)
证法三:如图3,过点B 作BN∥AD,
图3
∴∠NBA=∠BAD.
∵CD 与☉O 相切于点C,∴∠OCD=90°.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.
∴AD∥OC.∴BN∥OC.
∴∠NBO=∠BOC. (3 分)
∵AB 为☉O 的切线,∴∠OBA=90°.
∴∠NBO+∠NBA=90°.
∴∠BOC+∠BAD=90°. (5 分)
(2)如图1,在Rt△ABE 中,
∵AB=75 cm,cos∠BAD=3
5
,∴AE=45 cm. (7 分)
由(1)知,∠OBF=∠BAD,∴cos∠OBF=3
5
.
在Rt△OBF 中,
∵OB=25 cm,∴BF=15 cm.∴OF=20 cm.
∵OC=25 cm,∴CF=5 cm.
(9 分)
∵∠OCD=∠ADC=∠CFE=90°,
∴四边形CDEF 为矩形.∴DE=CF=5 cm.
∴AD=AE+ED=50 cm. (10 分)
方法总结
(1)遇到圆的切线问题,一般都要连接过切点的半径,应用切线与经过切点的半径垂直解决
问题.
(2)已知锐角三角函数值,通常要构造直角三角形,抓住其三边关系解决问题.
23.解析 (1)∠ABP 或∠PBM 或∠MBC 或∠BME.(注:任意写出一个即可)
(2 分)
详解:如图1,延长PM 交BC 于点N,根据平行线分线段成比例定理得PM=MN,又
∠PMB=∠A=90°,所以BM 垂直平分PN,BP=BN,∠PBM=∠MBN.又∠PBM=∠PBA,所以
∠PBM=∠MBN=∠PBA=30°.又EF∥BC,所以∠BME=∠MBN=30°.
图1
(2)①15;15.
(4 分)
②∠MBQ=∠CBQ. (5 分)
(注:若没有写出判断结果,但后续证明正确,不扣分)
理由如下:
∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC,∠A=∠C=90°.
由轴对称的性质,得BM=AB,∠BMP=∠A=90°.
∴∠BMQ=∠C=90°,BM=BC.
∵BQ 是公共边,
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ.
∴∠MBQ=∠CBQ. (8 分)
(3)40
11
cm 或24
13
cm.
(10 分)
详解:由(2)可得QC=QM.设AP=PM=x cm.
当点Q 在线段FC 上时,如图2,∵AB=8 cm,FQ=1 cm,∴MQ=CQ=3 cm,DQ=5
cm,PQ=(x+3)cm,PD=(8-x)cm.
在△PDQ 中,由勾股定理得PQ2=PD2+DQ2,即(x+3)2=(8-x)2+52,解得x=40
11
.
当点Q 在线段DF 上时,如图3,同理可得PQ=(x+5)cm,DQ=3 cm,PD=(8-x)cm.
在△PDQ 中,由勾股定理得PQ2=PD2+DQ2,即(x+5)2=(8-x)2+32,
解得x=24
13
cm.
故AP 的长为40
11
cm 或24
13
cm.
