2022 年郴州市初中学业水平考试
一、选择题(共8小题,每小题3分,共24分)
1 3
1.(2022湖南郴州,1,3分)有理数-2,- ,0, 中,绝对值最大的数是 ( )
2 2
1 3
A.-2 B.- C.0 D.
2 2
2.(2022湖南郴州,2,3分)下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (
)
A
B
C
D
3.(2022湖南郴州,3,3分)下列运算正确的是 ( )
A.a3+a2=a5 B.a6÷a3=a2
C.(a+b)2=a2+b2D.√(-5) 2 =5
4.(2022湖南郴州,4,3分)一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
5.(2022湖南郴州,5,3分)某校举行“预防溺水,从我做起”演讲比赛,7位评委
给选手甲的评分如下:90,93,88,93,85,92,95,则这组数据的众数和中位数分别
是 ( )
A.95,92B.93,93
C.93,92D.95,93
6.(2022湖南郴州,6,3分)关于二次函数y=(x-1)2+5,下列说法正确的是 ( )
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)
C.该函数有最大值,最大值是5
D.当x>1时,y随x的增大而增大
7.(2022湖南郴州,7,3分)如图,直线a∥b,且直线a,b被直线c,d所截,则下列
条件不能判定直线c∥d的是 ( )
A.∠3=∠4 B.∠1+∠5=180°
C.∠1=∠2 D.∠1=∠4
2
8.(2022湖南郴州,8,3分)如图,在函数y= (x>0)的图象上任取一点A,过点A
x
8
作y轴的垂线交函数y=- (x<0)的图象于点B,连接OA,OB,则△AOB的面积是
x
( )
A.3 B.5 C.6 D.10
二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
9.(2022湖南郴州,9,3分)二次根式√x-5中,x的取值范围是 .
a-b 2 a
10.(2022湖南郴州,10,3分)若 = ,则 = .
b 3 b11.(2022湖南郴州,11,3分)点A(-3,2)关于x轴对称的点的坐标为 .
12.(2022湖南郴州,12,3分)甲、乙两队参加以“传承红色基因,推动绿色发
展”为主题的合唱比赛,每队均由20名队员组成.其中两队队员的平均身高为x
甲
=x =160 cm.身高的方差分别为s2 =10.5,s2 =1.2.如果单从队员的身高考虑,你
乙 甲 乙
认为演出形象效果较好的队是 .(填“甲队”或“乙队”)
13.(2022湖南郴州,13,3分)如图,点A、B、C在☉O上,∠AOB=62°,则∠ACB=
度.
14.(2022湖南郴州,14,3分)如图,圆锥的母线长AB=12 cm,底面圆的直径
BC=10 cm,则该圆锥的侧面积等于 cm2.(结果用含π的式子表示)
15.(2022湖南郴州,15,3分)科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流
U
I(A)、电阻R(Ω)三者之间的关系:I= ,测得数据如下:
R
R(Ω
100200220 400
)
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
那么,当电阻R=55 Ω时,电流I= A.
16.(2022湖南郴州,16,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,
1
以任意长为半径作弧分别交AB,AC于D,E两点;分别以点D,E为圆心,以大于
2
DE长为半径作弧,在∠BAC 内两弧相交于点P;作射线AP交BC于点F.过点F作
FG⊥AB ,垂足为G.若AB= 8 cm,则△BFG的周长等于 cm.三、解答题(17~19题每题6分,20~23题每题8分,24~25题每题10分,26题
12分,共82分)
(1)
17.(2022湖南郴州,17,6分)计算:(-1)2 022-2cos 30°+|1-√3|+ -1.
3
ab ( 1 2b )
18.(2022湖南郴州,18,6分)先化简,再求值: ÷ + ,其中a=√5
a-b a+b a2-b2
+1, b=√5-1.
19.(2022湖南郴州,19,6分)如图,四边形ABCD是菱形,E、F是对角线AC上的
两点,且AE=CF,连接BF,FD,DE,EB.
求证:四边形DEBF是菱形.
20.(2022湖南郴州,20,8分)某校为落实“双减”工作,增强课后服务的吸引力,
充分用好课后服务时间,为学有余力的学生拓展学习空间,成立了5个活动小组
(每位学生只能参加一个活动小组):A.音乐;B.体育;C.美术;D.阅读;E.人工智能.
为了解学生对以上活动的参与情况,随机抽取部分学生进行了调查统计,并根据
统计结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)①此次调查一共随机抽取了 名学生;
②补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数);
③扇形统计图中圆心角α= 度;
(2)若该校有3 200名学生,估计该校参加D组(阅读)的学生人数;(3)刘老师计划从E组(人工智能)的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参
加市青少年机器人竞赛,请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率.
21.(2022湖南郴州,21,8分)如图是某水库大坝的横截面,坝高CD=20 m,背水
坡BC的坡度为i=1∶1.为了对水库大坝进行升级加固,降低背水坡的倾斜程度,
1
设计人员准备把背水坡的坡度改为i=1∶√3,求背水坡新起点A与原起点B之间
2
的距离.
(参考数据:√2 ≈1.41,√3≈1.73.结果精确到0.1 m)
22.(2022湖南郴州,22,8分)为响应乡村振兴号召,在外地创业成功的大学毕业
生小姣毅然返乡当起了新农人,创办了果蔬生态种植基地,最近,为给基地蔬菜施
肥,她准备购买甲、乙两种有机肥,已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每
吨的价格多100元,购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1 700元.
(1)甲、乙两种有机肥每吨各多少元?
(2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨,且总费用不能超过5 600元,则
小姣最多能购买甲种有机肥多少吨?
23.(2022湖南郴州,23,8分)如图,在△ABC中,AB=AC.以AB为直径的☉O与线
段BC交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点
P.
(1)求证:直线PE是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为6,∠P=30°,求CE的长.
24.(2022湖南郴州,24,10分)如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AB= 4
cm.点D从A点出发,沿线段AB向终点B运动,过点D作AB的垂线,与△ABC的
直角边AC(或BC)相交于点E,设线段AD的长为a(cm),线段DE的长为h(cm).图1
(1)为了探究变量a与h之间的关系,对点D在运动过程中不同时刻AD,DE的长
度进行测量,得出以下几组数据:
变量a
00.511.522.533.54
(cm)
变量
h 00.511.521.510.50
(cm)
在平面直角坐标系中,以变量a的值为横坐标,变量h的值为纵坐标,描点如图2-
1;以变量h的值为横坐标,变量a的值为纵坐标,描点如图2-2.
根据探究的结果,解答下列问题:
①当a=1.5时,h= ;当h=1时,a= .
②将图2-1,图2-2中描出的点顺次连接起来.
图2-1
图2-2
③下列说法正确的是 .(填“A”或“B”)
A.变量h是以a为自变量的函数
B.变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3,记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形(即阴影部分)的
面积(cm2)为s.
①分别求出当0≤a≤2和2<a≤4时,s关于a的函数表达式;
1
②当s= 时,求a的值.
2
图325.(2022湖南郴州,25,10分)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6.点E是线段
AD上的动点(点E不与点A,D重合),连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F.
(1)求证:△AEF∽△DCE;
(2)如图2,连接CF,过点B作BG⊥CF,垂足为G,连接AG.点M是线段BC的中点,
连接GM.
①求AG+GM的最小值;
②当AG+GM取最小值时,求线段 DE的长.
图1
图2
26.(2022湖南郴州,26,12分)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点
A(-1,0),B(3,0),与y轴相交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1 ,将直线BC向上平移,得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任
意一点.
①当点D在抛物线的对称轴l上时,连接CD,与x轴相交于点E,求线段OE的长;
②如图2,在抛物线的对称轴l上是否存在点F,使得以B,C,D,F为顶点的四边形
是平行四边形?若存在,求出点F与点D的坐标;若不存在,请说明理由.
图1图2
备用图2022 年郴州市初中学业水平考试
1.考点:实数的相关概念.
| 1| 1 |3| 3 3 1
A |-2|=2, - = ,|0|=0, = ,∵2> > >0,
2 2 2 2 2 2
∴-2的绝对值最大.
2.考点:图形的旋转;图形的轴对称.
B A中图形为轴对称图形,不是中心对称图形;B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形;C
中图形是中心对称图形,不是轴对称图形;D中图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形.
3.考点:整式及其运算法则;二次根式的运算.
D a3+a2=a3+a2,a6÷a3=a3,(a+b)2=a2+2ab+b2,√(-5) 2=√25=5.
4.考点:根的判别式、根与系数之间的关系.
A ∵Δ=b2-4ac=12-4×2×(-1)>0,∴一元二次方程有两个不相等的实数根.
5.考点:数据的处理.
C 评分从低到高排列:85,88,90,92,93,93,95.93出现次数最多,所以众数为93,第4个数为
92,所以中位数是92.
6.考点:二次函数的图象与性质.
D y=(x-1)2+5=x2-2x+6,∵a=1>0,∴函数图象的开口向上,顶点坐标为(1,5),∴该函数有最小
值,最小值为5,当x>1时,y随x的增大而增大.
7.考点:相交线与平行线.
C ∵∠3=∠4,∴c∥d(内错角相等,两直线平行);∵∠1+∠5=180°,∴c∥d(同旁内角互补,两
直线平行);∵a∥b,∴∠1=∠2,∵∠1=∠4,∴∠2=∠4,∴c∥d(同位角相等,两直线平行);
∠1=∠2与直线d无关,∴选项C中条件不能判定c∥d.
8.考点:反比例函数的图象与性质.
2 ( 2 ) 8
B ∵点A在y= (x>0)的图象上,∴可设A ,y ,∵AB∥x轴,且点B在y=- (x<0)的图象
x y 1 x
1
( 8 ) 2 ( 8 ) 10 1 10
上,∴B - ,y ,∴AB= - - = ,∴S = × ×y=5.
y 1 y y y △AOB 2 y 1
1 1 1 1 1
9.考点:二次根式的有关概念和性质.
答案 x≥5
解析 若使√x-5有意义,则x-5≥0,则x≥5.
10.考点:分式的运算.
5
答案
3
a-b 2 a 5
解析 ∵ = ,∴3(a-b)=2b,∴3a-3b=2b,∴3a=5b,∴ = .
b 3 b 3
11.考点:平面直角坐标系内点的坐标特征.
答案 (-3,-2)
解析 ∵关于x轴对称的两点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,∴A(-3,2)关于x轴对称的点的
坐标为(-3,-2).12.考点:数据的处理.
答案 乙队
解析 ∵x =x =160 cm,s2 >s2 ,∴乙队队员的身高差距小,队伍更整齐,形象效果较好.
甲 乙 甲 乙
13.考点:圆周角定理
答案 31
1
解析 A´B所对的圆周角是圆心角的一半,∴∠ACB= ∠AOB=31°.
2
14.考点:圆锥的侧面展开图.
答案 60π
解析 ∵圆锥的母线长AB=12 cm,底面半径BC=5 cm.∴圆锥的侧面积S=π×5×12==60π cm2.
深度解析
①圆锥的侧面展开图为扇形;②圆锥侧面展开图扇形的弧长=底面圆的周
长.
15.考点:反比例函数的实际应用.
答案 4
U 220 220
解析 ∵I= ,∴U=IR,∴U=100×2.2=220 V,∴I= ,当电阻R=55 Ω时,I= =4 A.
R R 55
16.考点:角平分线;等腰三角形;解直角三角形; 相似三角形.
答案 8
解析 由题意得AF平分∠CAB,∵∠C=90°,∴FC⊥AC,又∵FG⊥AB,∴FC=FG,∵AF为公共边,
∴△ACF≌△AGF(HL),∴AC=AG,设BG=x,∵AB=8,∴AG=AB-BG=8-x,∴AC=8-
x,∵AC=BC,∴BC=8-x,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴(8-x)2+(8-x)2=82,∴x=8+4√2(舍去),
1
x=8-4√2,∴BG=8-4√2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∴∠B=∠CAB=45°,在Rt△BGF中,
2
∠BGF=90°,∠B=45°,∴∠BFG=45°,∴BG=GF=8-4√2,∴BF=√2BG=√2×(8-4√2)=8√2
-8,∴C =BG+GF+BF=2×(8-4√2)+(8√2-8)=8.
△BFG
一题多解
由解析可得BG=8-4√2,∴AG=AC=BC=AB-BG=8-(8-4√2)=4√2.∵∠C=∠BGF=90°,∠B
AB AC BC 8 4√2 4√2 4√2
为公共角,∴△ABC∽△FBG,∴ = = ,∴ = = = ,∴FG=8-4√2
FB FG BG FB FG BG 8-4√2
,FB=8√2-8,∴C =BG+GF+BF=(8-4√2)+(8-4√2)+(8√2-8)=8.
△BFG
17.考点:锐角三角函数;实数的运算.
√3
解析 原式=1-2× +(√3-1)+3
2
=1-√3+√3-1+3=3.
18.考点:分式的化简求值.
ab [ a-b 2b ]
+
解析 原式 = ÷
a-b (a+b)(a-b) (a+b)(a-b)
ab a+b ab
= ÷ = ×(a-b)=ab,
a-b (a+b)(a-b) a-b
当a=√5+1,b=√5-1时,
原式=ab=(√5+1)×(√5-1)=5-1=4.
19.考点:菱形.
证明 连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO,
BO=DO,
AC⊥BD,
又∵AE=CF,
EO=AO-AE,
FO=CO-CF,
∴EO=FO,
∵EO=FO,BO=DO,
∴四边形BEDF是平行四边形,
又∵BD⊥EF,
∴▱DEBF是菱形.
20.考点:数据的统计;用列举法求概率.
解析 (1)①200.
∵B组有50人,且B组人数占抽取人数的25%,
50
∴共抽取了 =200(人).
25%
②由①得共抽取了200人,
∴C组有200-30-50-70-20=30(人),补全的条形统计图如下.
③54.
∵共抽取了200人,C组有30人,30
∴C组占比为 ×100%=15%,
200
∴α=360×15%=54.
70
(2)3 200× =1 120(人),
200
答:估计该校参加D组(阅读)的学生有1 120人.
(3)画树状图如下:
共有12种等可能的情况,其中抽中甲、乙两人有2种可能的情况,
1
∴恰好抽中甲、乙两人的概率是 .
6
一题多解
列表法:
甲 乙 丙 丁
(乙、 (丙、 (丁、
甲 —
甲) 甲) 甲)
(甲、 (丙、 (丁、
乙 —
乙) 乙) 乙)
(甲、 (乙、 (丁、
丙 —
丙) 丙) 丙)
(甲、 (乙、 (丙、
丁 —
丁) 丁) 丁)
共有12种等可能的情况,其中抽中甲、乙两人有2种可能的情
况,
1
∴恰好抽中甲、乙两人的概率是 .
6
21.考点:锐角三角函数.
解析 ∵i=1∶1,CD⊥BD,
1
CD
∴tan ∠CBD= =1,
BD
∴CD=BD,
∵i=1∶√3,CD⊥AD,
2
CD 1
∴tan∠CAD= = ,
AD √3
∴AD=√3CD,
∵CD=20 m,
∴BD=20 m,AD=20√3 m,∴AB=AD-BD=20√3-20≈14.6 m.
即背水坡新起点A与原起点B之间的距离是14.6 m.
深度解析
坡度为坡面与水平面夹角的正切
值.
22.考点:二元一次方程组的应用;一元一次不等式(组)的应用.
解析 (1)设甲、乙两种有机肥每吨分别为x元、y元.
由题意得,
{ x- y=100, {x=600,
解得
2x+ y=1 700, y=500.
答:甲、乙两种有机肥每吨分别为600元、500元.
(2)设购买甲种有机肥m吨,则购买乙种有机肥(10-m)吨.
则600m+500(10-m)≤5 600,
解得m≤6.
答:最多能购买甲种有机肥6吨.
23.考点:切线的判定与性质;相似三角形的判定与性质.
解析 (1)证明:连接OD,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.
∵AB=AC,∴∠OBD=∠C,∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,∴∠ODP=∠AEP.
∵DE⊥AC,∴∠AEP=90°,∴∠ODP=90°,∴OD⊥PE,
又∵OD为☉O的半径,∴直线PE是☉O的切线.
(2)由(1)得∠ODP=90°,
1
又∵∠P=30°,∴OD= OP.
2
∵☉O的半径为6,∴OD=OA=OB=6,
∴OP=2OD=12,AB=OB+OA=12,
∴AP=OP+OA=18,
∵∠P=30°,∠AEP=90°,
1
∴AE= AP=9,
2
∵AB=AC,∴AC=12,
∴CE=AC-AE=3.24.考点:一次函数的应用问题;函数的概念及三种表示方法.
解析 (1)①1.5;1或3.由表可得.
②
③A,对于a的每一个值,都有唯一确定的h的值与其对应,所以称a是自变量,h是a的函数.
(2)①当0≤a≤2时,AD=DE,即a=h,
1 1
则s= ah= a2.
2 2
当2<a≤4时,BD=AB-AD=(4-a)cm.
∵AC=BC,∠C=90°,
∴∠B=45°,
又∵∠BDE=90°,
∴DE=BDtan∠B=(4-a)cm.
1 1
∴s= (4-a)2= a2-4a+8.
2 2
1
{ a2 (0≤a≤2),
2
∴s=
1
a2-4a+8(2<a≤4).
2
1 1 1
②当0≤a≤2时,∵S= ,∴ a2= ,解得a=1,a=-1(舍去),
2 2 2 1 2
1 1
当2<a≤4时,则 a2-4a+8= ,解得a=3,a=5(舍去).∴a=1或a=3.
2 2 3 4
25.考点:矩形;相似三角形的性质与判定;直角三角形.
解析 (1)证明:在矩形ABCD中,
∠A=∠D=90°,
在Rt△CDE中,
∠DCE+∠DEC=90°,
∵EF⊥CE,
∴∠CEF=90°,
∴∠DEC+∠AEF=90°,∴∠DCE=∠AEF,
∴△AEF∽△DCE.
(2)①当点A、G、M在同一直线上时,
AG+GM最短,
此时AG+GM=AM.
在Rt△ABM中,
AM=√AB2+BM2,
∵M是BC的中点,BC=6,
1
∴BM= BC=3,
2
又∵AB=4,
∴AM=√42+32=5.
∴AG+GM的最小值为5.
②在①的情况下,过点G作GP⊥AB交AB于点P,作GQ⊥BC交BC于点Q,
在Rt△BGC中,∠BGC=90°,M为BC中点,
1
∴GM= BC=3,
2
∴AG=AM-GM=5-3=2,
在矩形ABCD中,
AD=BC=6,AB=CD=4,
∠BAD=∠ABC=∠D=90°,
∵∠APG=∠ABM,
∠PAG=∠BAM,
∴△AGP∽△AMB,
AG PG
∴ = ,
AM BM
2 PG
∴ = ,
5 3
6
∴PG= ,
5
∵∠MQG=∠MBA,
∠QMG=∠BMA,
∴△MQG∽△MBA,
GM GQ
∴ = ,
AM AB3 GQ
∴ = ,
5 4
12
∴GQ= ,
5
6
又∵PG=BQ= ,
5
∴在Rt△BQG中,∠BGC=90°,
BG=√BQ2+GQ2
√ (6) 2 (12) 2
= +
5 5
6√5
= .
5
在Rt△BCG中,∠BGC=90°,
CG=√BC2-BG2
=
√
62-
(6√5) 2
5
12√5
= ,
5
在Rt△CQG中,
CQ=√CG2-GQ2
√ (12√5) 2 (12) 2
= -
5 5
24
= .
5
∵∠CQG=∠CBF,
∠QCG=∠BCF,
∴△CQG∽△CBF,
CQ GQ
∴ = ,
CB FB
24 12
∴ 5 = 5 ,
6 BF
∴BF=3,∴AF=AB-BF=1,
设DE=x,则AE=AD-DE=6-x,
由(1)得△AEF∽△DCE,
AF AE
∴ = ,
DE DC1 6-x
∴ = ,
x 4
∴x=3-√5,x=3+√5,
1 2
∴DE=3-√5或3+√5.
26.考点:抛物线与特殊三角形、特殊四边形.
解析 (1)∵点A(-1,0),B(3,0)在抛物线y=x2+bx+c上,
{(-1) 2-b+c=0,
∴
32+3b+c=0,
{b=-2,
解得
c=-3,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
b
(2)①由(1)得抛物线的解析式为y=x2-2x-3,∴对称轴l为直线x=- =1,
2a
∵点C为抛物线与y轴的交点,
∴C(0,-3),
设BC的函数解析式为y=kx+m,
1 1
{ m =-3, { k =1,
1 1
则 解得
3k +m =0, m =-3.
1 1 1
∵MN∥BC且MN过原点O,
∴MN的函数解析式为y=x,
∵点D为直线MN与直线l的交点,
当x=1时,y=1,∴D(1,1),
设CD的函数解析式为y=kx+m,
2 2
{k +m =1, { k =4,
2 2 2
∴ 解得
m =-3, m =-3.
2 2
∴CD的函数解析式为y=4x-3,
令y=0,则4x-3=0,
3
∴x= ,
4
(3 ) 3
∴E ,0 ,∴OE= ,
4 4
3
∴线段OE的长为 .
4
②当BC∥FD时,
则F为直线MN与直线l的交点,
∴F(1,1),
∵四边形BCDF或四边形BCFD为平行四边形,
∴FD=BC.
∵B(3,0),C(0,-3),∴BC=√(3-0) 2+[0-(-3)] 2
=3√2,
∴FD=3√2,
∵点D在直线MN上,
∴可设D(x,x),
D D
∴√(x -1) 2+(x -1) 2=3√2,
D D
∴x=-2或4,
D
∴D(-2,-2)或D(4,4);
当BC,DF为▱CFBD的对角线时,
设BC,DF相交于点P,
则BP=CP,FP=DP,
∵B(3,0),C(0,-3),
(3 3)
∴P ,- ,
2 2
∵点D在直线MN上,
∴可设D(x,x),
D D
∵点F在直线l上,
∴可设F(1,y),
F
∵P为DF的中点,
{ x D +1 = 3 ,
2 2
∴
x + y 3
D F =- ,
2 2
{x =2,
∴ D
y =-5.
F
∴D(2,2),F(1,-5).
综上,存在以B,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形,
当F(1,1),D(4,4)时,
1 1
四边形BCFD是平行四边形;
1 1当F(1,1),D(-2,-2)时,
1 2
四边形BCDF是平行四边形;
2 1
当F(1,-5),D(2,2)时,
2 3
四边形BFCD是平行四边形.
2 3
