2022 年湖南益阳初中学业水平考试
一、选择题(本题共10个小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1
1.(2022湖南益阳,1,4分)四个实数-√2,1,2, 中,比0小的数是 ( )
3
1
A.-√2 B.1 C.2 D.
3
2.(2022湖南益阳,2,4分)下列各式中,运算结果等于a2的是 ( )
A.a3-a B.a+a C.a·a D.a6÷a3
3.(2022湖南益阳,3,4分)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,
则这个不等式组是 ( )
{ x<1 { x<1
A. B.
x<-1 x>-1
{ x>1 { x>1
C. D.
x<-1 x>-1
4.(2022湖南益阳,4,4分)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一
个根是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.(2022湖南益阳,5,4分)已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如
下表,则这个函数的表达式可以是 ( )
x…-1012…
y…-2024…
2
A.y=2x B.y=x-1C.y= D.y=x2
x
6.(2022湖南益阳,6,4分)在某市组织的物理实验操作考试中,考试所用实验室
共有24个测试位,分成6组,同组4个测试位各有一道相同试题,各组的试题不
同,分别标记为A,B,C,D,E,F,考生从中随机抽取一道试题,则某个考生抽到试
题A的概率为 ( )
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 6 24
7.(2022湖南益阳,7,4分)如图1所示,将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形,
其中左右两侧矩形的宽相等,若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体,则图中
a的值可以是 ( )图1
图2
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(2022湖南益阳,8,4分)如图,在▱ABCD中,AB=8,点E是AB上一点,AE=3,连
接DE,过点C作CF∥DE,交AB的延长线于点F,则BF的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
9.(2022湖南益阳,9,4分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,以点A为圆心,以任
意长为半径画弧交射线AB,AC于两点,分别以这两点为圆心,以适当的定长为半
径画弧,两弧交于点E,作射线AE,交BD于点I、连接CI,以下说法错误的是 (
)
A.I到AB,AC边的距离相等
B.CI平分∠ACB
C.I是△ABC的内心
D.I到A,B,C三点的距离相等
10.(2022湖南益阳,10,4分)如图,已知△ABC中,∠CAB=20°,∠ABC=30°,将
△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C',以下结论:
①BC=B'C',②AC∥C'B',③C'B'⊥BB',④∠ABB'=∠ACC',正确的有 ( )A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
二、填空题(本题共8个小题,每小题4分,共32分,请将答案填在答题卡中对应
题号的横线上)
1
11.(2022湖南益阳,11,4分)- 的绝对值是 .
3
2a 2
12.(2022湖南益阳,12,4分)计算: - = .
a-1 a-1
13.(2022湖南益阳,13,4分)已知m,n同时满足2m+n=3与2m-n=1,则4m2-n2
的值是 .
k-2
14.(2022湖南益阳,14,4分)反比例函数y= 的图象分布情况如图所示,则k
x
的值可以是 (写出一个符合条件的k值即可).
15.(2022湖南益阳,15,4分)如图,PA,PB 表示以P为起点的两条公路,其中公路
PA 的走向是南偏西34°,公路PB的走向是南偏东56°,则这两条公路的夹角
∠APB= °.
16.(2022湖南益阳,16,4分)近年来,洞庭湖区环境保护效果显著,南迁的候鸟种
群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况,从中捕捉40只,戴
上识别卡并放回;经过一段时间后观察发现,200只A种候鸟中有10只佩有识别
卡,由此估计该湿地有 只A种候鸟.
4
17.(2022湖南益阳,17,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A= ,则cos
5
B= .18.(2022湖南益阳,18,4分)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平
1
移,使A的对应点A'满足AA'= AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是
3
.
三、解答题(本题共8个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤)
19.(2022湖南益阳,19,8分)计算:(-2 022)0+6×( 1)+ ÷ .
- √8 √2
2
20.(2022湖南益阳,20,8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CD∥AB,DE⊥AC于
点E,且CE=AB.
求证:△CED≌△ABC.
1
21.(2022湖南益阳,21,8分)如图,直线y= x+1与x轴交于点A,点A关于y轴
2
的对称点为A',经过点A'和y轴上的点B(0,2)的直线设为y=kx+b.
(1)求点A'的坐标;
(2)确定直线A'B对应的函数表达式.22.(2022湖南益阳,22,10分)为了加强心理健康教育,某校组织七年级(1)(2)两
班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数,满分为10分),已知两班学生人数
相同,根据测试成绩绘制了如下所示的统计图.
(1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数;
(2)请确定下表中a,b,c的值(只要求写出求a的计算过程);
平均
统计量 众数中位数方差
数
(1)班 8 8 c 1.16
(2)班 a b 8 1.56
(3)从上表中选择合适的统计量,说明哪个班的成绩更均匀.
23.(2022湖南益阳,23,10分)如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点
C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.
(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
24.(2022湖南益阳,24,10分)在某市组织的农机推广活动中,甲、乙两人分别操
控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛.已知乙每小时收割的亩数比甲少
40%,两人各收割6亩水稻,乙则比甲多用0.4小时完成任务;甲、乙在收割过程
中对应收稻谷有一定的遗落或破损,损失率分别为3%,2%.
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻?(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻,邀请甲、乙两人操
控原收割机一同前去完成收割任务,要求平均损失率不超过2.4%,则最多安排甲
收割多少小时?
25.(2022湖南益阳,25,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:y=-(x-
m)2+2m2(m<0)的顶点P在抛物线F:y=ax2上,直线x=t与抛物线E,F分别交于
点A,B.
(1)求a的值;
(2)将A,B的纵坐标分别记为y,y,设s=y-y,若s的最大值为4,则m的值是多
A B A B
少?
(3)Q是x轴的正半轴上一点,且PQ的中点M恰好在抛物线F上,试探究:此时
无论m为何负值,在y轴的负半轴上是否存在定点G,使∠PQG总为直角?若存
在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
26.(2022湖南益阳,26,12分)如图,矩形ABCD中,AB=15,BC=9,E是CD边上一
点(不与点C重合),作AF⊥BE于F,CG⊥BE于G,延长CG至点C',使C'G=CG,连
接CF,AC'.
(1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形;
(2)若四边形AFCC'是平行四边形,求CE的长;
(3)当CE的长为多少时,以C',F,B为顶点的三角形是以C'F为腰的等腰三角形?
备用图1
备用图22022年湖南益阳初中学业水平考试
1.A 比0小的数是负数,故选A.
2.C A.a3与-a不是同类项不能合并,故A不正确;
B.a+a=2a,故B不正确;
C.a·a=a2,故C正确;
D.a6÷a3=a3,故D不正确.
3.D 各不等式组的解集如下:
A.x<-1,B.-1<x<1,C.无解,D.x>1,
∴x=2是x>1的一个解,故选D.
4.B ∵x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,
∴(-1)2+(-1)+m=0,解得m=0,
∴方程为x2+x=0,易知另一个根为x=0,故选B.
一题多解
设另一个根为a,由根与系数的关系可知方程x2+x+m=0的两根之和为-1,∴-1+a=-1,∴a=0,
故选B.
5.A 由表可知y随x的增大而增大,且x每增加1,y增加2,故这是一个一次函数,其中一次项系
数为2,
又函数图象经过(0,0)点,∴这个函数为正比例函数.故选A.
A试题数量 4 1
6.C P(抽到A)= = = .故选C.
总试题数量 24 6
7.B 设中间矩形的宽为b,由题图可知2a+b=6,∴b=6-2a>0,解得a<3.由三角形三边关系可得
3 3
2a>b,即2a>6-2a,∴a> .综上所述, <a<3.故选B.
2 2
8.C 在▱ABCD中,AD=BC,AD∥BC,
∴∠A=∠CBF,
又∵DE∥CF,∴∠DEA=∠F.∴△ADE≌△BCF,
∴BF=AE=3.故选C.
9.D 由题可知AI平分∠BAC,
∵BI平分∠ABC,
∴点I是△ABC的内心,CI平分∠ACB,
∴点I到△ABC三边的距离相等.故选D.
10.B 由 旋 转 得
AC=AC',AB=AB',BC=B'C',∠ABC=∠AB'C'=30°,∠CAC'=∠BAB'=50°,∠C'AB'=∠CAB=20°,故①正
确,
180°-∠CAC' 180°-∠BAB'
∴∠ACC'=∠AC'C= =65°,∠AC'B'=130°,∠ABB'=∠AB'B= =65°,∴
2 2
∠ACC'=∠ABB',故④正确,
∠C'B'B=∠AB'B+∠AB'C'=65°+30°=95°,故③错误,∵∠AC'B'=130°,∠AC'C=65°,
∴∠B'C'C=∠AC'B'-∠AC'C=65°,
∵∠ACC'=65°,
∴∠ACC'=∠B'C'C=65°,
∴AC∥C'B',故②正确.
综上所述,正确的有①②④,故选B.
解题关键
能熟练利用旋转的性质解
题.
1
11.答案
3
解析 负数的绝对值等于它的相反数.
12.答案 2
2a 2 2a-2 2(a-1)
解析 - = = =2.
a-1 a-1 a-1 a-1
13.答案 3
解析 4m2-n2=(2m+n)(2m-n),
∵2m+n=3,2m-n=1,
∴4m2-n2=3.
14.答案 1(答案不唯一)
解析 由图可知k-2<0,∴k<2.
15.答案 90
解析 如图,由题意知∠APC=34°,∠CPB=56°,
∴∠APB=∠APC+∠CPB=90°.
16.答案 800
10 40
解析 设该湿地约有x只A种候鸟,依题意得 = ,解得x=800,
200 x
经检验,x=800是所列方程的解,且符合题意,
∴该湿地约有800只A种候鸟.
4
17.答案
5
BC 4
解析 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A= = ,
AB 5
BC 4
∴cos B= = .
AB 518.答案 4
解析 如图,由平移得AB∥A'B',∴△A'CE∽△ACB,
∵AA'=1AC,∴A'C=2,∴ S
△A'CE
=4,
3 AC 3 S 9
△ACB
1 9
∵S = S = ,
△ACB
2
正方形ABCD
2
∴S =2,
△A'CE
∴S =2S =4.
阴影 △A'CE
解题关键
由平移得到“A型”相似,根据相似三角形面积比等于相似比的平方解
题.
19.解析 原式=1+(-3)+2=0. (8分)
20.证明 ∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,
又∵∠B=90°,∴∠DEC=∠B. (3分)
∵CD∥AB,∴∠DCE=∠A. (6分)
又∵CE=AB,∴△CED≌△ABC. (8分)
1
21.解析 (1)在函数y= x+1中,当y=0时,x=-2,
2
∴点A的坐标为(-2,0). (2分)
∵点A与A'关于y轴对称,∴点A'的坐标为(2,0). (4分)
(2)由于点A'(2,0),点B(0,2)在直线y=k+b上,
{2k+b=0, {k=-1,
∴ 解得 (7分)
b=2, b=2.
∴直线A'B对应的函数表达式为y=-x+2. (8分)
22.解析 (1)(1)班人数为5+10+19+12+4=50.
(2)班学生中测试成绩为10分的占比为1-(14%+24%+22%+28%)=12%,
所以(2)班学生中测试成绩为10分的人数为50×12%=6. (2分)
(2)a=6×14%+7×24%+8×22%+9×28%+10×12%=8. (4分)
b=9,c=8. (8分)
(3)因为(1)班比(2)班测试成绩的方差小,
所以(1)班的测试成绩更均匀. (10分)
23.解析 (1)证明:∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°,
∵PC为圆O的切线,∴∠OCP=90°,即∠BCP+∠OCB=90°.
∴∠ACO=∠BCP. (3分)(2)∵OC=OB,∴∠ABC=∠OCB,
∵∠ABC=2∠BCP,∴∠BCP+2∠BCP=90°,解得∠BCP=30°,∴∠ABC=60°.
∴∠P=∠ABC-∠BCP=30°.(7分)
(3)在Rt△ABC中,由(2)知∠ABC=60°,则∠BAC=30°.
若AB=4,则BC=2,AC=AB·sin∠ABC=2√3.
∴S
阴影
=1S
圆O
-S
△ABC
=1×π×(4) 2 -1×2×2
√3
=2π-2
√3
. (10分)
2 2 2 2
方法总结
求圆中阴影部分的面积,特别是不规则几何图形的面积时,可以直接计算求解的就直接求
解;此外常常通过平移、旋转或者割补法进行求解,把不规则图形面积转化成规则图形面积的和
或者差来求解,本题就是把阴影部分面积转化成半圆面积减去直角三角形面积进行计算.
24.解析 (1)设甲操控A型收割机每小时能收割x亩水稻,
6 6
由题意,得 +0.4= , (3分)
x (1-40%)x
解得x=10.经检验,x=10是方程的根且符合题意.
乙每小时收割水稻的亩数为(1-40%)×10=6.
答:甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时分别能收割10亩,6亩水稻. (5分)
(2)设安排甲收割a小时,其他任务由乙完成.
3 2 2.4
由题意,得 ×10a+ ×(100-10a)≤ ×100, (8分)
100 100 100
解得a≤4.
答:最多安排甲收割水稻4小时. (10分)
25.解析 (1)抛物线y=-(x-m)2+2m2的顶点P的坐标为(m,2m2),
将(m,2m2)代入y=ax2中,得2m2=am2,∵m<0,∴a=2. (2分)
(2)由题意知y =-(t-m)2+2m2,y =2t2,
A B
∴s=y
A
-y
B
=-(t-m)2+2m2-2t2=-3(
t-
m) 2 +4m2.(4分)
3 3
4
∵s的最大值为4,∴ m2=4,又∵m<0,∴m=-√3. (6分)
3
(3)在y轴的负半轴上存在一定点G,使∠PQG总为直角.理由如下:
如图,过点P作PC⊥x轴于点C,则C点坐标为(m,0),作MD⊥x轴于点D,则PC∥MD.
设Q点坐标为(n,0)(n>0),D点坐标为(x,0).
1
1
∵PC∥MD,PM=QM,∴DC=QD,MD= PC=m2,
2
m+n
∴x-m=n-x,∴x= .
1 1 1
2
∴点M的坐标为(m+n ,m2),
2
∵点M在抛物线y=2x2上,∴m2=2×(m+n) 2,
2
整理得(m+n)2=2m2,∴m+n=±√2m,
即n=-(√2+1)m或n=(√2-1)m,
∵m<0,n>0,∴n=-(√2+1)m. (9分)
∴OQ=-(√2+1)m,CQ=-(√2+1)m-m=-(√2+2)m.
∵∠PQG=90°,∴∠OGQ=∠PQO.∴tan∠OGQ=tan∠PQO,
∴PC=OQ,即OG=OQ·CQ=[-(√2+1)m]×[-(√2+2)m]=4+3√2.
CQ OG PC 2m2 2
因此,G点坐标为( 4+3√2). (12分)
0,-
2
26.解析 (1)图中与△AFB相似的三角形有△BCE、△BGC、△CGE等(写出一个即可). (2分)
(2)在矩形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠ABE=∠CEB,
又∵∠AFB=∠CGE=90°,∴△AFB∽△CGE,
CE CG
∴ = . (4分)
AB AF
若四边形AFCC'是平行四边形,则AF=CC'=2CG,
CE CG 1
∴ = = ,
AB AF 2
15
∵AB=15,∴CE= .(6分)
2
(3)①当C'F=C'B时,如图1.
∵CC'⊥BE,C'F=C'B,∴FG=GB,设GB=m,则FB=2m.
∵∠FAB+∠ABF=∠CBG+∠ABF=90°,∴∠FAB=∠CBG.BG BC 5
又∵∠AFB=∠BGC=90°,∴△AFB∽△BGC,∴ = .∵AB=15,BC=9,∴AF= m.
AF AB 3
∵∠FAB=∠EBC,∴tan∠FAB=tan∠EBC,
2m
FB EC EC 54
∴ = ,即5 = ,解得EC= . (9分)
AF BC m 9 5
3
②当C'F=FB时,如图2,
∵BE垂直平分CC',∴C'F=CF,又∵C'F=FB,∴CF=FB,∴∠FBC=∠FCB.
∵∠FBC+∠CEB=∠FCB+∠ECF=90°,∴∠CEB=∠ECF,∴EF=CF=FB.
∵∠FAB=∠CBE,∠AFB=∠BCE=90°,∴△CEB∽△FBA,
EC EB 1
∴ = ,设EC=n,由于FB= EB,则EB2=30n.
FB BA 2
又EB2=EC2+BC2,∴30n=n2+92,
解得n=3,n=27(不合题意,舍去).
1 2
∴EC=3.
54
综上,当CE的长为 或3时,以C',F,B为顶点的三角形是以C'F为腰的等腰三角形. (12分)
5
图1
图2
解题关键
(1)先分析得出△AFB是直角三角形,因此与△AFB相似的三角形也必定是直角三角形,所以
通过找一对锐角相等或者互余的直角三角形即可.
(2)先找出边CE所在的直角三角形CGE,由(1)可知△AFB与△CGE相似,根据已知条件建立比
例关系,即可求出CE的长.
(3)要使得△C'FB是以C'F为腰的等腰三角形,需分C'F=C'B及C'F=FB两类进行计算.
