2022 年湘潭市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的4个选项中,
只有一项是符合题目要求,请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上)
1.(2022湖南湘潭,1,3分)如图,点A、B表示的实数互为相反数,则点B表示的
实数是 ( )
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
2.(2022湖南湘潭,2,3分)下列整式与ab2为同类项的是 ( )
A.a2b B.-2ab2 C.ab D.ab2c
3.(2022湖南湘潭,3,3分)“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物.该吉
祥物以熊猫为原型进行设计创作,将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,
体现了冬季冰雪运动和现代科技特点,冰墩墩玩具也很受欢迎.某玩具店一个星
期销售冰墩墩玩具数量如下:
星期
星期一 星期三星期四星期五星期六星期日
二
玩具
数量 35 47 50 48 42 60 68
(件)
则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是 ( )
A.48,47B.50,47C.50,48D.48,50
4.(2022湖南湘潭,4,3分)下列几何体中,主视图为三角形的是 ( )
A B C D
5.(2022湖南湘潭,5,3分)为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变
能力和团队精神,湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场
地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个,若桌子腿数与凳子腿数的和为
40条,则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子?设有x张桌子,有y条凳子,根据
题意所列方程组正确的是 ( ){ x+ y=40 { x+ y=12
A. B.
4x+3 y=12 4x+3 y=40
{ x+ y=40 { x+ y=12
C. D.
3x+4 y=12 3x+4 y=40
6.(2022湖南湘潭,6,3分)在▱ABCD中(如图),连接AC,已知
∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD= ( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
7.(2022湖南湘潭,7,3分)在△ABC中(如图),点D、E分别为AB、AC的中点,
则S ∶S = ( )
△ADE △ABC
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4
8.(2022湖南湘潭,8,3分)中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时,用4
个全等的直角三角形拼成正方形(如图),并用它证明了勾股定理,这个图被称为
“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,α为直角三
角形中的一个锐角,则tan α= ( )
3 1 √5
A.2 B. C. D.
2 2 5
二、选择题(本题共4小题,每小题3分,共12分.在每小题给出的4个选项中,有
多项符合题目要求,全部选对的得3分,部分选对的得2分,有选错的得0分,请
将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上)
9.(2022湖南湘潭,9,3分)若a>b,则下列四个选项中一定成立的是 ( )
A.a+2>b+2 B.-3a>-3b
a b
C. > D.a-1<b-1
4 410.(2022湖南湘潭,10,3分)依据“双减”政策要求,初中学生书面作业每天完
成时间不超过90分钟.某中学为了解学生作业管理情况,抽查了七年级(一)班全
体同学某天完成作业时长情况,绘制出如图所示的频数直方图(数据分成3组:
0<x≤30,30<x≤60,60<x≤90),则下列说法正确的是 ( )
A.该班有40名学生
B.该班学生当天完成作业时长在30<x≤60分钟的人数最多
C.该班学生当天完成作业时长在0<x≤30分钟的频数是5
D.该班学生当天完成作业时长在0<x≤60分钟的人数占全班人数的80%
11.(2022湖南湘潭,11,3分)下列计算正确的是 ( )
A.4a-2a=2 B.a3·a2=a5
C. =6a4 D.a6÷a2=a4
(3a2
)
2
12.(2022湖南湘潭,12,3分)如图,小明在学了尺规作图后,作了一个图形,其作
图步骤是:①作线段AB=2,分别以点A、B为圆心,以AB长为半径画弧,两弧相
交于点C、D;②连接AC、BC,作直线CD,且CD与AB相交于点H,则下列说法
正确的是 ( )
A.△ABC是等边三角形
B.AB⊥CDC.AH=BH
D.∠ACD=45°
三、填空题(本题共4个小题,每小题3分,共12分.请将答案写在答题卡相应的
位置上)
1
13.(2022湖南湘潭,13,3分)四个数-1,0, ,√3中,为无理数的是 .
2
14.(2022湖南湘潭,14,3分)请写出一个y随x增大而增大的一次函数表达式:
.
15.(2022湖南湘潭,15,3分)2022年6月5日,神舟十四号载人飞船在酒泉卫星
发射中心发射成功,飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400 000米的天宫空
间站进行对接.请将400 000米用科学记数法表示为 米.
16.(2022湖南湘潭,16,3分)如图,一束光沿CD方向,先后经过平面镜OB、OA
反射后,沿EF方向射出,已知∠AOB=120°,∠CDB=20°,则∠AEF= .
四、解答题(本大题共10个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤,请将解答过程写在答题卡相应位置上)
17.(2022湖南湘潭,17,6分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点
的坐标分别为A(-1,1),B(-4,0),C(-2,2).将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后
得到△ABC.
1 1 1
(1)请写出A、B、C三点的坐标:
1 1 1
A ,B ,C ;
1 1 1
(2)求点B旋转到点B的弧长.
118.(2022湖南湘潭,18,6分)先化简,再求值: 1 ÷ 1 - x ·x2+x,其中x=2.
x-3 x2-9 x+1 x2
19.(2022湖南湘潭,19,6分)如图,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接
AC、BD.
(1)求证:△AEC∽△DEB;
(2)连接AD,若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.
20.(2022湖南湘潭,20,6分)5月30日是全国科技工作者日,某校准备举办“走
近科技英雄,讲好中国故事”的主题比赛活动.八年级(一)班由A、A、A三名
1 2 3
同学在班上进行初赛,推荐排名前两位的同学参加学校决赛.
(1)请写出在班上初赛时,这三名同学讲故事顺序的所有可能结果;
(2)若A、A两名同学参加学校决赛,学校制作了编号为A、B、C的3张卡片
1 2
(如图,除编号和内容外,其余完全相同),放在一个不透明的盒子里.先由A随机
1
摸取1张卡片记下编号,然后放回,再由A随机摸取1张卡片记下编号,根据摸取
2
的卡片内容讲述相关英雄的故事.求A、A两人恰好讲述同一名科技英雄故事的
1 2
概率(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程).
A“杂交水稻之父”袁隆平
B“天眼之父”南仁东
C“航天之父”钱学森
21.(2022湖南湘潭,21,6分)湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴,已成为
石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后,进行了设计
伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念,设计了中截面如图所示的伞
骨结构:伞柄AH始终平分∠BAC,AB=AC=20 cm,当∠BAC=120°时,伞完全打开,
DH
此时∠BDC=90°, ≈0.618.请问最少需要准备多长的伞柄?(结果保留整数,参
AH
考数据:√3≈1.732)22.(2022湖南湘潭,22,6分)百年青春百年梦,初心献党向未来.为热烈庆祝中国
共产主义青年团成立100周年,继承先烈遗志,传承“五四”精神,某中学在“做
新时代好少年,强国有我”的系列活动中,开展了“好书伴我成长”的读书活动.
为了解5月份八年级学生的读书情况,随机调查了八年级20名学生读书数量(单
位:本),并进行了以下数据的整理与分析:
数据收集: 2 5 3 5 4 6 1 5 3 4 3 6 7 5 8
3 4 7 3 4
数据整理:
0<x≤ 2<x≤ 4<x≤ 6<x≤
本数
2 4 6 8
组别 A B C D
频数 2 m 6 3
数据分析:绘制成不完整的扇形统计图:
依据统计信息回答问题:
(1)在统计表中,m= ;
(2)在扇形统计图中,C部分对应的圆心角的度数为 ;
(3)若该校八年级学生人数为200人,请根据上述调查结果,估计该校八年级学生
读书在4本以上的人数.
23.(2022湖南湘潭,23,8分)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教
育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙,围成
Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线
部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的
水池且需保证总种植面积为32 m2,试分别确定CG、DG的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长?
此时最大面积为多少?
图①图②
24.(2022湖南湘潭,24,8分)已知A(3,0)、B(0,4)是平面直角坐标系中两点,连
接AB.
(1)如图①,点P在线段AB上,以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切,求过点P
的反比例函数表达式;
(2)如图②,点N是线段OB上一点,连接AN,将△AON沿AN翻折,使得点O与
线段AB上的点M重合,求经过A、N两点的一次函数表达式.
图① 图②
25.(2022湖南湘潭,25,10分)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,
过点B、C分别作l的垂线,垂足分别为点D、E.
(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC=√2,分别求出线段BD、CE和DE的
长;
(2)规律探究:
(Ⅰ)如图②,若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0°<α<45°),请探究线段
BD、CE和DE的数量关系并说明理由;
(Ⅱ)如图③,若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段
BC相交于点H,请再探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由;
(3)尝试应用:在图③中,延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S .
△BFC
图①
图②图③
26.(2022湖南湘潭,26,10分)已知抛物线y=x2+bx+c.
(1)如图①,若抛物线与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,-3).连接AB.
(Ⅰ)求该抛物线所表示的二次函数表达式;
(Ⅱ)若点P是抛物线上一动点(与点A不重合),过点P作PH⊥x轴于点H,与线
段AB交于点M.是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点?若存在,请求出
点P的坐标;若不存在,请说明理由.
4
(2)如图②,直线y= x+n与y轴交于点C,同时与抛物线y=x2+bx+c交于点
3
D(-3,0),以线段CD为边作菱形CDFE,使点F落在x轴的正半轴上,若该抛物线
与线段CE没有交点,求b的取值范围.
图①
图②2022 年湘潭市初中学业水平考试
1.
A 因为互为相反的两个数相加得0,所以点B表示的实数为0-(-2)=2.
2.
B 由同类项的概念“所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项称为同类项”,知与ab2为
同类项的是-2ab2.
3.
35+47+50+48+42+60+68
C 这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数= =50;
7
将这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的数量按照从小到大的顺序排列为
35,42,47,48,50,60,68,处在最中间位置的数为48,故中位数为48.
4.
A 主视图需从正面看,易知选项A中的图形,即圆锥的主视图是三角形.
5.
B 根据题意知,桌子与凳子的数量之和为12,桌子腿与凳子腿的条数之和为40,故可列出方程
{ x+ y=12,
组
4x+3 y=40.
易错警示
在解决这类问题时,先找准等量关系,再列方程,一定要注意量的对应关系,切勿因为对应关
系不正确而出错.
6.
C ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD.
∵∠BAC=40°,∴∠DCA=∠BAC=40°,
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=80°+40°=120°.
7.
D ∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC 的中位线,
1
∴DE∥BC,DE= BC,
2
∴△ADE∽△ABC,且相似比为1∶2,
∴S ∶S =1∶4.
△ADE △ABC
8.
A 如图,因为小正方形面积为1,所以CD=1.
因为小正方形与每个直角三角形的面积均为1,所以大正方形的面积为5,所以AB=√5.
在Rt△ACB中,设AC=x,则BC=1+x.
因为AC2+BC2=AB2,即x2+(1+x)2=(√5)2,
所以x=1(负值舍去),
BC 1+x
所以tan α= = =2.
AC x疑难突破
本题的受阻点是如何把所求与已知联系起来,由面积关系可求出大、小正方形的边长,然后
利用弦图的特殊结构,结合勾股定理求出α所在的直角三角形的各边长,进而求出正切值.
9.
AC 由不等式的性质1,可知选项A正确,D错误;由不等式的性质3,知B错误;由不等式的性质
2,知C正确.
10.
AB 由频数分布直方图知该班共有10+25+5=40名学生,故A正确;该班学生当天完成作业时长
在30<x≤60分钟的人数为25,人数最多,故B正确;该班学生当天完成作业时长在0<x≤30分钟
的频数为10,故C错误;该班学生当天完成作业时长在0<x≤60分钟的人数为10+25=35,因为
35
×100%=87.5%,所以D错误.
40
11.
BD ∵4a-2a=2a,∴A错误;根据同底数幂的乘法,知B正确;∵(3a2)2=9a4,∴C错误;由同底数
幂的除法,知D正确.
12.
ABC 由作图轨迹知,CD为线段AB的垂直平分线,所以AB⊥CD;又以AB长为半径画弧,所以
1
AB=AC=BC,所以△ABC是等边三角形;由“三线合一”可知,AH=BH,∠ACD= ∠ACB=30°,故
2
ABC中说法正确,D中说法错误.
13.
答案 √3
14.
答案 y=x(答案不唯一)
解析 因为y随x增大而增大,所以一次函数中x的系数为正数即可.
15.
答案 4×105
16.
答案 40°
解析 由题意知∠CDB=∠EDO,∠AEF=∠DEO.
∵∠CDB=20°,∴∠EDO=20°.
在△DEO中,∵∠EDO=20°,∠AOB=120°,
∴∠OED =180°-∠EDO-∠AOB=40°,∴∠AEF=40°.
17.
解析 (1)(1,1);(0,4);(2,2).90π×4
(2)弧BB的长= =2π.
1
180
18.
解析 原式= 1 ·(x2-9)- x ·x(x+1)=x+3-1=x+2.
x-3 x+1 x2
当x=2时,原式=2+2=4.
19.
解析 (1)证明:如图,∵∠C,∠B都是弧AD所对的圆周角,∴∠C=∠B.
又∵∠1=∠2,∴△AEC∽△DEB.
(2)∵∠C=30°,∴∠B=30°.∵AB为直径,∴∠ADB=90°.
在Rt△ADB中,∵AD=3,∴AB=2AD=6,∴☉O的半径为3.
20.
解析 (1)三名同学讲故事顺序的所有可能结果如下:
①A,A,A;②A,A,A;③A,A,A;④A,A,A;⑤A,A,A;⑥A,A,A.
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
(2)画树状图如下:
所有可能出现的等可能的结果有9种,其中两人讲述同一名科技英雄故事的结果有3种,所以两
3 1
人讲述同一名科技英雄故事的概率为 = .
9 3
21.
解析 如图,∵AH平分∠BAC,∴∠1=∠2.
{AB=AC,
在△ABD与△ACD中, ∠1=∠2,∴△ABD≌△ACD,∴∠4=∠5.
AD=AD,
如图,过点B作BE⊥AD于点E.
∵∠BAC=120°,∠BDC=90°,∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1=60°,∠4=45°.
在Rt△ABE中,∵AB=20 cm,∠1=60°,∴∠3=30°,∴AE=10 cm,
∴BE=10√3 cm.
在Rt△BED中,∵∠4=45°,∴△BED是等腰直角三角形,
∴DE=BE=10√3 cm.∴AD=AE+DE=10(1+√3)cm.
DH AH-AD AD
∵ = =1- ≈0.618,
AH AH AH
AD
∴ ≈0.382.
AH
AD 10(1+√3)
∴AH= = ≈72(cm).
0.382 0.382
答:最少需要准备72 cm的伞柄.
22.
解析 (1)9.提示:m=20-2-3-6=9.
6
(2)108°.提示:C部分对应的圆心角的度数为 ×360°=108°.
20
6+3
(3)∵200× =90(人),∴估计该校八年级学生读书在4本以上的人数为90.
20
23.
解析 (1)由题意知,DC=AB=12 m,
21-12
∴AD= =3(m).
3
∵总种植面积为32 m2,∴3×12-1×DG=32,
∴DG=4 m,∴CG=8 m.
(2)设BC=x m,则DC=(21-3x)m,设总种植面积为y m2,
则y=x(21-3x)=-3( 7) 2 +147.
x-
2 4
∵0<21-3x≤12,∴3≤x<7.
7 147
∵-3<0,∴当x= 时,y = .
max
2 4
7 147
答:BC长为 m时,围成的两块矩形总种植面积最大,最大面积为 m2.
2 4
24.
解析 (1)如图,过点P作PE垂直x轴于点E,PF垂直y轴于点F,
则四边形PFOE为正方形.
设正方形PFOE的边长为x.
BF PF
∵PF∥OA,∴△BFP∽△BOA,∴ = .
OB OA
∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,
4-x x 12
∴ = ,∴x= .
4 3 7∴P点坐标为(12 12).
,
7 7
144
∴过P点的反比例函数表达式为y= .
49x
(2)∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5.
由折叠,知AM=AO=3,NM=NO,NM⊥AB,∴BM=2.
设N(0,a),则NM=ON=a,BN=4-a.
3
在Rt△BNM中,a2+22=(4-a)2,解得a= .
2
∴N( 3).
0,
2
设过A,N两点的一次函数表达式为y=kx+b,
1
{3k+b=0, {k=- ,
将A(3,0),N( 3)代入,得 解得 2
0, 3
2 b= . 3
2 b= .
2
1 3
∴过A,N两点的一次函数表达式为y=- x+ .
2 2
一题多解
本题第2问还可以根据三角形面积求N点坐标.
∵将△AON沿AN翻折,使得点O与线段AB上的点M重
合,
∴ON=NM,MN⊥AB.
∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5.
∵S =S +S ,
△AOB △AON △ABN
1 1 1
∴ ×3×4= ×3×ON+ ×5×MN,
2 2 2
3 ( 3)
解得ON= ,∴N 0, .
2 2
设过A,N两点的一次函数表达式为y=kx+b,
{3k+b=0,
( 3)
将A(3,0),N 0, 代入,得 3
2 b= .
21
{k=- ,
2 1
解得 ∴过A,N两点的一次函数表达式为y=- x+
3 2
b= .
2
3
.
2
25.
解析 (1)∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵l∥BC,∴∠DAB=∠ABC=45°,∠EAC=∠ACB=45°.
∵BD,CE均垂直于l,∴△ADB与△AEC均为等腰直角三角形.∵AB=AC=√2,
∴AD=BD=1,AE=CE=1,∴DE=AD+AE=2.
(2)(Ⅰ)DE=CE+BD.理由,如图,
∵∠BAC=90°,∴∠1+∠2=90°.∵BD⊥l,∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3.在△ABD与△CAE中,
{∠ADB=∠CEA=90°,
∠3=∠2,
AB=CA,
∴△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AD+AE=CE+BD.
(Ⅱ)DE=BD-CE.
理由:如图,∵∠BAC=90°,∴∠1+∠2=90°.
∵BD⊥l,∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3.
{∠ADB=∠CEA=90°,
在△ABD与△CAE中, ∠3=∠2,
AB=CA,
∴△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,
∴DE=AE-AD=BD-CE.
(3)如图,由(Ⅱ)知,BD=AE,AD=CE,DE=BD-CE.
又CE=3,DE=1,∴AD=3,BD=4,∴AB=5.
∵∠3=∠3,∠ADB=∠BAF,∴△BAD∽△BFA,BD AD 4 3 15
∴ = ,即 = ,解得FA= .
AB FA 5 FA 4
1 1 15 25
∴S =S -S = ×52- ×5× = .
△BFC △ABC △ABF
2 2 4 8
方法总结
类比思想的运用:在解决本题时,先从特殊情况出发,然后类比特殊情况下的解题思路,解决
一般情况.在类比的过程中,注意类比字母,类比辅助线、类比思路,通过类比,找出变化过程中
的“变”与“不变”.
26.
解析 (1)(Ⅰ)∵y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,-3),∴
{ c=-3, {c=-3,
解得
9+3b+c=0, b=-2,
∴y=x2-2x-3.
(Ⅱ)存在点P,使得点M是线段PH的三等分点.理由如下:
∵B(0,-3),A(3,0),
∴直线AB的解析式为y=x-3.
设点P(m,m2-2m-3),则M(m,m-3),
∴PH=-m2+2m+3,HM=3-m.
当PH=3HM时,-m2+2m+3=3(3-m),
解得m=2,m=3(舍去).
1 2
当m=2时,y=22-2×2-3=-3,
∴P(2,-3).
3 3
当PH= HM时,-m2+2m+3= (3-m),
2 2
1
解得m=3(舍去),m= ,
3 4
2
当m=1时,y=(1) 2 -2×1-3=-15,
2 2 2 4
∴P(1 15).
,-
2 4
综上所述,满足条件的点P的坐标为(2,-3)或(1 15).
,-
2 4
(2)∵抛物线y=x2+bx+c过点D(-3,0),
∴(-3)2-3b+c=0,∴c=3b-9,∴y=x2+bx+(3b-9).
4 4
∵直线y= x+n过点D(-3,0),∴0= ×(-3)+n,∴n=4,
3 3
∴OC=4.∵∠COD=90°,OD=3,OC=4,∴CD=5.
∵四边形CDFE是菱形,∴CE=CD=5,∴E(5,4).
b
如图,当- <0,即b>0时,
2
当x=0时,y=3b-9,∴G(0,3b-9),
∵该抛物线与线段CE没有交点,
13
∴3b-9>4,∴b> ;
3
b
当- >0,即b<0时,
2
当x=5时,y=25+5b+3b-9=8b+16,∴H(5,8b+16),
∵抛物线与线段CE没有交点,
3
∴8b+16<4,∴b<- .
2
13 3
综上,当抛物线与线段CE没有交点时,b> 或b<- .
3 2
疑难突破
(1)(Ⅰ)将A,B两点坐标代入抛物线的解析式求得b,c,从而得出结果;
(Ⅱ)求出直线AB的解析式,设出点P的坐标,表示出点M的坐标,从而表示出PH和HM的长,
3
分别列出PH=3HM和PH= HM时的方程,从而求得m的值,进而求得P点坐标;
2
(2)分为b>0和b<0两种情形.当b>0时,抛物线对称轴在y轴左侧,此时求得抛物线与y轴交
点,只需交点在点C的上方,就满足抛物线与线段CE没有交点,进一步求得结果,当b<0时,用
类似的方法求得b的范围.
