2022 年娄底市初中学业水平考试
一、选择题(本大题共12 小题,每小题3 分,满分36 分,每小题给出的四个选项
中,只有一个选项是符合题目要求的.请把你认为符合题目要求的选项填涂在答
题卡上相应题号下的方框里)
1.(2022 湖南娄底,1,3 分)2 022 的倒数是
( )
A.2 022 B.-2 022
C.
1
2 022
D.-
1
2 022
2.(2022 湖南娄底,2,3 分)下列式子正确的是
( )
A.a3·a2=a5
B.(a2)3=a5
C.(ab)2=ab2
D.a3+a2=a5
3.(2022 湖南娄底,3,3 分)一个小组10 名同学的出生月份(单位:月)如下表所示:
编
号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月
份2 6 8 6 10 4 7 8 8 7
这组数据(月份)的众数是
( )
A.10
B.8 C.7 D.6
4.(2022 湖南娄底,4,3 分)下列与2022 年冬奥会相关的图案中,是中心对称图形
的是
( )
A.
B.
C.
D.
5.(2022 湖南娄底,5,3 分)截至2022 年6 月2 日,世界第四大水电站——云南昭
通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5 000 亿千瓦时,相当于替代标准煤约
1.52 亿吨,减排二氧化碳约4.16 亿吨.5 000 亿用科学记数法表示为 ( )
A.50×1010
B.5×1011
C.0.5×1012
D.5×1012
6.(2022 湖南娄底,6,3 分)一条古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=80°,则
∠2=
( )
A.20°
B.80°
C.100° D.120°
7.(2022 湖南娄底,7,3 分)不等式组{
3- x ≥1,
2 x>-2 的解集在数轴上表示正确的是
(
)
8.(2022 湖南娄底,8,3 分)将直线y=2x+1 向上平移2 个单位,相当于( )
A.向左平移2 个单位
B.向左平移1 个单位
C.向右平移2 个单位
D.向右平移1 个单位
9.(2022 湖南娄底,9,3 分)在古代,人们通过在绳子上打结来计数,即“结绳计数”.
当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数,在粗细不同的绳子上打结(如图),
由细到粗(右细左粗),满七进一,那么孩子已经出生了
( )
A.1 335 天
B.516 天
C.435 天
D.54 天
10.(2022 湖南娄底,10,3 分)如图,等边△ABC 内切的图形来自我国古代的太极
图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC 的内心成中心对
称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是( )
A.√3 π
18
B.√3
18
C.√3 π
9
D.√3
9
11.(2022 湖南娄底,11,3 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知点
P(m,1)、Q(1,m)(m>0 且m≠1),过点P、Q 的直线与两坐标轴相交于A、B
两点,连接OP、OQ,则下列结论中成立的有( )
①点P、Q 在反比例函数y=m
x
的图象上;
②△AOB 为等腰直角三角形;
③0°<∠POQ<90°;
④∠POQ 的值随m 的增大而增大.
A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③
12.(2022 湖南娄底,12,3 分)若10x=N,则称x 是以10 为底N 的对数.记作:x=lg
N.
例如:102=100,则2=lg 100;100=1,则0=lg 1.
对数运算满足:当M>0,N>0 时,lg M+lg N=lg(MN).
例如:lg 3+lg 5=lg 15,则(lg 5)2+lg 5×lg 2+lg 2 的值为
( )
A.5 B.2 C.1 D.0
二、填空题(本大题共6 小题,每小题3 分,满分18 分)
13.(2022 湖南娄底,13,3 分)函数y=
1
√x -1的自变量x 的取值范围是 .
14.(2022 湖南娄底,14,3 分)已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0 的两根,则x1x2=
.
15.(2022 湖南娄底,15,3 分)黑色袋子中装有质地均匀,大小相同的编号为1~15
号台球共15 个,搅拌均匀后,从袋中随机摸出1 个球,则摸出的球编号为偶数的
概率是 .
16.(2022 湖南娄底,16,3 分)九年级融融陪同父母选购家装木地板,她感觉某品
牌木地板拼接图(如实物图)比较美观,通过手绘(如图)、测量、计算发现点E 是
AD 的黄金分割点,即DE≈0.618AD,延长HF 与AD 相交于点G,则EG≈
DE.(精确到0.001)
17.(2022 湖南娄底,17,3 分)菱形ABCD 的边长为2,∠ABC=45°,点P、Q 分别是
BC、BD 上的动点,CQ+PQ 的最小值为 .
18.(2022 湖南娄底,18,3 分)如图,已知等腰△ABC 的顶角∠BAC 的大小为θ,点
D 为边BC 上的动点(与B、C 不重合),将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ 角度时
点D 落在D'处,连接BD'.给出下列结论:
①△ACD≌△ABD';
②△ACB∽△ADD';
③当BD=CD 时,△ADD'的面积取得最小值.
其中正确的结论有 (填结论对应的序号).
三、解答题(本大题共2 小题,每小题6 分,共12 分)
19.(2022 湖南娄底,19,6 分)计算:(2 022-π)0+(
1
2)
-1+|1-√3|-2sin 60°.
20.(2022 湖南娄底,20,6 分)先化简,再求值:(x +2+
4
x -2)
÷
x
3
x
2- 4 x + 4
,其中x 是
满足条件x≤2 的合适的非负整数.
四、解答题(本大题共2 小题,每小题8 分,共16 分)
21.(2022 湖南娄底,21,8 分)按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织
责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求,各中小学校积极行动,取得了良好
的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(A:10 h 以上,
B:8 h~10 h,C:6 h~8 h,D:6 h 以下)进行问卷调查,将所得数据进行分类,统计
绘制了如下不完整的统计图.
请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共 名;
(2)a= ,b= ;
(3)补全条形统计图.
22.(2022 湖南娄底,22,8 分)“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用
握力器(如实物图所示)锻炼手部肌肉.如图,握力器弹簧的一端固定在点P 处,在
无外力作用下,弹簧的长度为3 cm,即PQ=3 cm.开始训练时,将弹簧的端点Q 调
在点B 处,此时弹簧长PB=4 cm,弹力大小是100 N,经过一段时间的锻炼后,他
手部的力量大大提高,需增加训练强度,于是将弹簧端点Q 调到C 处,使弹力大
小变为300 N,已知∠PBC=120°,求BC 的长.注:弹簧的弹力与形变成正比,即
F=k·Δx,k 是劲度系数,Δx 是弹簧的形变量,在无外力作用下,弹簧的长度为x0,在
外力作用下,弹簧的长度为x,则Δx=x-x0.
五、解答题(本大题共2 小题,每小题9 分,共18 分)
23.(2022 湖南娄底,23,9 分)“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明:树叶在光
合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.
已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2 倍
少4 mg,若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg.
(1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银
杏树共有约50 000 片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克?
24.(2022 湖南娄底,24,9 分)如图,以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG(点
C,D,F 共线),动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上,连接EF 交
BC 于点O.设∠G=θ.
(1)求证:无论θ 为何值,EF 与BC 相互平分, 并请直接写出使EF⊥BC 成立的θ
值;
(2)当θ=90°时,试给出tan∠ABC 的值,使得EF 垂直平分AC,请说明理由.
(1)
(2)
六、综合题(本大题共2 小题,每小题10 分,共20 分)
25.(2022 湖南娄底,25,10 分)如图,已知BD 是Rt△ABC 的角平分线,点O 是斜
边AB 上的动点,以点O 为圆心,OB 长为半径的☉O 经过点D,与OA 相交于点E.
(1)判断AC 与☉O 的位置关系,为什么?
(2)若BC=3,CD=3
2.
①求sin∠DBC、sin∠ABC 的值;
②试用sin∠DBC 和cos∠DBC 表示sin∠ABC,猜测sin 2α 与sin α、cos α 的关
系,并用α=30°给予验证.
26.(2022 湖南娄底,26,10 分)如图,抛物线y=1
2x2-2x-6 与x 轴相交于点A、点
B,与y 轴相交于点C.
(1)请直接写出点A,B,C 的坐标;
(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上,当m 取何值时,△PBC 的面积最大?并求出
△PBC 面积的最大值;
(3)点F 是抛物线上的动点,作FE∥AC 交x 轴于点E,是否存在点F,使得以A、
C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请写出所有符合条件的点F 的
坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
2022 年娄底市初中学业水平考试
1.
C
2.
A 选项B,(a2)3=a6;选项C,(ab)2=a2b2;选项D,a3与a2不是同类项,不能合并.
3.
B 8 出现了3 次,出现的次数最多,则众数是8.
4.
D 把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就
叫做中心对称图形,故选D.
5.
B 5 000 亿=5×103×108=5×1011.
6.
C 由题图中的平行关系可得∠2 等于∠1 的补角,故∠2+∠1=180°,所以∠2=100°.
7.
C 解不等式3-x≥1,得x≤2,
解不等式2x>-2,得x>-1,
在数轴上表示x≤2 和x>-1,易知C 选项正确.
8.
B 直线y=2x+1 向上平移2 个单位后所得直线方程为y=2x+1+2,即y=2x+3.
因为y=2x+3=2(x+1)+1,
所以直线y=2x+1 向上平移2 个单位相当于向左平移了1 个单位.
故选B.
9.
B 1×73+3×72+3×7+5=516(天),
故孩子已经出生了516 天.
故选B.
10.
A 设等边三角形的内心为点O,过点O 作OD⊥BC 于D,且OD=r,
∵O 是△ABC 的内心,∴∠OBD=30°,
Rt△OBD 中,∠OBD=30°,OD=r,
∴OB=2r,BD=√3r,∴BC=2√3r.
∴S△ABC=3×1
2
×2√3r×r=3√3r2,
∵S☉O=πr2,
∴黑色部分与△ABC 面积之比为
1
2 S☉O
S△ABC
=√3 π
18
.
11.
D 由点P(m,1)和点Q(1,m)都满足反比例函数表达式y=m
x
,所以点P、Q 在这个反比例函数
的图象上,所以结论①成立.
设直线PQ 的解析式为y=kx+b(k≠0),则有
{
km+b=1,
k +b=m,
解得{
k =-1,
b=m+1,
∴y=-x+m+1,
令x=0,得到y=m+1,∴B(0,m+1),
令y=0,得到x=m+1,∴A(m+1,0),
∴OA=OB,
∵∠AOB=90°,
∴△AOB 为等腰直角三角形.
所以结论②成立.
如图,∠POQ 位于第一象限,∴0°<∠POQ<90°,所以结论③成立.
当0<m<1 时,∠POQ 的值随m 的增大而减小.
当m>1 时,∠POQ 的值随m 的增大而增大.所以结论④不成立.
解题关键
本题考查一次函数、反比例函数的表达式,矩形的性质,待定系数法,全等三角形的判定和
性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.
12.
C ∵101=10,∴lg 10=1,
∴(lg 5)2+lg 5×lg 2+lg 2
=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2
=lg 5×lg 10+lg 2
=lg 5+lg 2
=lg 10
=1.
故选C.
解题关键
本题考查了学生对新定义的“对数”材料的阅读理解和运用的能力,正确理解新定义及其
运算法则是解题的关键.
13.
答案 x>1
解析 由题意得x-1>0,解得x>1,
故答案为x>1.
14.
答案 -1
解析 由根与系数的关系可知x1x2=c
a
,即x1x2=-1.
15.
答案 7
15
解析 15 个数字中有8 个奇数,7 个偶数,所以摸到偶数的概率是7
15
.
16.
答案 0.618
解析 ∵点E 是AD 的黄金分割点(AE<ED),
∴ED2=AE·AD,即AE
DE
= DE
AD
,
又AE=EG,∴EG
DE
= AE
DE
≈0.618,∴EG≈0.618DE.
17.
答案 √2
解析 ∵四边形ABCD 为菱形,
∴A、C 关于BD 对称,
过点A 作AP⊥BC 于点P,交BD 于点Q,连接CQ,
则CQ+PQ=AQ+PQ=AP,
∴AP 的长即为CQ+PQ 的最小值.
∵∠ABC=45°,
∴△ABP 为等腰直角三角形,
∵AB=2,∴AP=√2,∴CQ+PQ 的最小值为√2.
方法技巧
本题考查了轴对称——最短路径问题,利用菱形的对称性转化为点到直线的距离来求
解.
18.
答案 ①②③
解析 ①由旋转知AD=AD',∠CAB=∠DAD',
∴∠CAB-∠BAD=∠DAD'-∠BAD,
∴∠DAC=∠D'AB,
又AB=AC,
∴△ACD≌△ABD'(SAS),故①正确.
②由①得AD=AD',∴AD
AD'
= AC
AB
=1,
又∠CAB=∠DAD',
∴△ACB∽△ADD',故②正确.
③由②得S△ACB
S△ADD'
= A C
2
A D
2
,
∴S△ADD'=AD2·S△ACB
A C
2
,
即当AD 取最小值时,S△ADD'取得最小值,
此时AD 为△ABC 中BC 边上的高,
∵△ABC 为等腰三角形,
∴BD=CD,故③正确.
综上,正确的结论为①②③.
19.
解析 原式=1+2+√3-1-2×√3
2
=2.
20.
解析 原式=( x +2)( x -2)+ 4
x -2
×( x -2)
2
x
3
= x
2- 4+ 4
x -2
×( x -2)
2
x
3
= x -2
x
,
∵x 是满足条件x≤2 的非负整数,且x≠2,x≠0,∴取x=1,
∴原式=1-2
1
=-1.
21.
解析 (1)本次调查的学生有10÷5%=200(名).
(2)60÷200×100%=30%,100÷200×100%=50%,故a=30,b=50.
(3)如图所示.
解题关键
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映
部分占总体的百分比大小.
22.
解析 如图,根据F=k·Δx 可得{
100=k(4 -3),
300=k( PC -3),
解得{
k =100,
PC =6.
在Rt△PAB 中,∠A=90°,∠PBA=180°-120°=60°,PB=4 cm,
∴AB=2 cm,PA=2√3 cm.
在Rt△PAC 中,∠A=90°,PC=6 cm,PA=2√3 cm,
∴AC=2√6 cm,
∴BC=AC-AB=(2√6-2)cm.
解题关键
先根据弹簧的弹力与形变所成的正比例函数关系式求出PC 的长,再利用勾股定理求相应线
段的长进而得解.
23.
解析 (1)设一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别是x mg、y mg,依题意得
{
x + y =62,
y =2 x - 4 ,
解得{
x =22,
y = 40.
答:一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别是22 mg、40 mg.
(2)50 000×40=2 000 000 mg=2 kg.
答:这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约是2 kg.
解后反思
本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关
键,随后1 kg=1 000 g=1 000 000 mg 的单位换算很重要.
24.
解析 (1)证明:如图,连接CE、BF,
由菱形BCDE 和菱形BCFG 可知BC=BE,BC=CF,BE∥CF,∴BE=CF.
∴四边形BECF 是平行四边形,
∴EF 与BC 相互平分,
∴无论θ 为何值,EF 与BC 相互平分.
当EF⊥BC 时,平行四边形BECF 是菱形,
∴BF=CF,
在菱形BCFG 中,CF=FG=GB,
∴BF=BG=GF,
∴△BGF 是等边三角形,
∴θ=60°,即当θ=60°时,EF⊥BC.
(2)当θ=90°时,菱形BCFG 是正方形,
∴∠ACB+∠ACF=90°,
又∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠ACF,
当EF 垂直平分AC 时,设垂足为H,则有∠CHF=90°,
在△ABC 和△HCF 中,{
∠BAC =∠CHF ,
∠ABC =∠HCF ,
BC =CF ,
∴△ABC ≌ △HCF,∴AB=CH,
∵EF 垂直平分AC,∴AC=2HC,∴AC=2AB,
∴tan∠ABC=2.
解题关键
本题主要考查平行四边形的判定方法,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性
质,菱形的判定与性质等知识点,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合
理、灵活地选择方法.第(2)问中暗含弦图,试着找找看.
25.
解析 (1)直线AC 与☉O 相切.理由如下:
连接OD,如图,
∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠1=∠2,
∵OB=OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OD∥BC,
∵∠C=90°,∴∠ODA=90°,
∴AC 是☉O 的切线.
(2)①在Rt△BCD 中,∠C=90°,BC=3,CD=3
2
,
∴BD=3√5
2
,∴sin∠DBC=√5
5
,cos∠DBC=2√5
5
.
过O 作OG⊥BC 于点G,
∵OG⊥BC,OD⊥AC,∠C=90°,
∴四边形CDOG 是矩形.
设☉O 的半径是r,∵BC=3,CD=3
2
,
∴BG=BC-CG=3-r,OG=CD=3
2
,
在Rt△OBG 中,OB2=BG2+OG2,
∴r2=(3-r)2+(
3
2)
2,解得r=15
8
,
∴sin∠ABC=4
5
.
②sin∠ABC=2sin∠DBC·cos∠DBC,
猜测sin 2α=2sin α·cos α,
当α=30°时,sin 60°=√3
2
,2sin 30°·cos 30°=2×1
2
×√3
2
=√3
2
,
∴sin 60°=2sin 30°·cos 30°.
解题关键
此题考查了切线的判定,等腰三角形的性质,矩形的判定与性质,勾股定理及锐角三角函数,
熟练掌握切线的判定方法,理解“双平+等腰”是解本题第(1)问的关键,第(2)问主要是解直角
三角形,求出待求三角函数的角所在的直角三角形各边长是关键.
另解:
sin∠ABC=OG
OB
=
OG
BD
OB
BD
=
CD
BD
OB
BD
=
sin∠DBC
1
2 · 2OB
BD
=
2sin∠DBC
BE
BD
=
2sin∠DBC
1
cos∠DBE
=2sin∠DBC·cos∠
DBE=2sin∠DBC·cos∠DBC.
26.
解析 (1)A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-6).
(2)设直线BC 的表达式为y=kx+b(k≠0),
则有{
b=-6,
0=6 k +b,解得{
k =1,
b=-6,∴y=x-6,
如图,过P 点作PQ⊥x 轴交BC 于Q,
由已知可得P(m, 1
2 m
2-2m-6)
,Q(m,m-6),
∴S△PBC=1
2
×6×(m-6- 1
2 m
2+2m+6)
=3(- 1
2 m
2+3m)
=-3
2
(m2-6m)=-3
2
(m-3)2+27
2
,
∴当m=3 时,S△PBC有最大值,最大值为27
2
.
(3)存在.
∵点C 到x 轴的距离是6,AE 在x 轴上,∴无论AE 是平行四边形的边,还是对角线,所求平行四
边形的顶点F 到x 轴的距离都是6.
设抛物线上一点F 的横坐标为n,由抛物线y=1
2
x2-2x-6 可得1
2
n2-2n-6=6 或1
2
n2-2n-6=-6,
解得n1=0(舍去),n2=4,n3=2+2√7,n4=2-2√7.
∴符合条件的点F 的坐标为(4,-6)、(2+2√7,6)、(2-2√7,6).
难点突破
第(3)问,因为EF∥AC,所以EF 一定是AC 的对边,又因为点E 在x 轴上,所以点F 到AE 边
的距离等于点C 到AE 边的距离.此题即为求到x 轴的距离为6 的抛物线上的点的坐标,一定要注
意分类讨论,距离为6,那么函数值可以是6 或-6.
