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江苏省盐城市 2018 年中考数学试卷
一、选择题
1.﹣2018的相反数是（ ）
A. ﹣2018 B. 2018 C. ±2018 D. ﹣
【答案】B
【解析】
分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
详解：-2018的相反数是2018．
故选B．
点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转 180°，如果
旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解
答本题的关键.
3.下列运算正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法则进行计算即可.
详解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C． ，故C符合题意；
D． ，故D不符合题意；
故选：C
点睛：本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算，解答本题的关键是熟悉并灵活运用各
法则进行计算．
4.盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝
对值＜1时，n是负数．
详解：将146000用科学记数法表示为：1.46×105．
故选A．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示
时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.如图是由5个大小相同 小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
详解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层有1个正方形，如图所示： ．
故选B．
点睛：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的图形．
6.一组数据2，4，6，4，8的中位数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
详解：一共5个数据，从小到大排列此数据为：2，4，4，6，8，
故这组数据的中位数是4．
故选B．
点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，
然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则
找中间两位数的平均数．
7.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
A. 35° B. 45° C. 55° D. 65°
【答案】C
【解析】
分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由
∠CAB=90°-∠B即可求得.详解：∵∠ADC=35°，∠ADC与∠B所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
8.已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A. −2 B. 2 C. −4 D. 4
【答案】B
【解析】
分析：根据一元二次方程 解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即
可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题
9.根据如图所示的车票信息，车票的价格为________元．
【答案】77.5
【解析】
分析：根据图片得出价格即可．
详解：根据如图所示的车票信息，车票的价格为77.5元，
故答案为77.5．
点睛：本题考查了数字表示事件，能正确读出信息是解此题的关键，培养了学生的观察图形的能力．
10.如果分式 有意义，那么实数x的取值范围是______．
【答案】x≠2【解析】
分析：根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
详解：由题意得，x−2≠0，
解得x≠2.
故答案为x≠2.
点睛：此题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于0，分式无意义的条件是分母等于
0.
11.分解因式：x2-2x+1=__________．
【答案】（x-1）2．
【解析】
【详解】由完全平方公式可得：
故答案为 ．
【点睛】错因分析 容易题.失分原因是：①因式分解的方法掌握不熟练；②因式分解不彻底.
12.一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板
中阴影部分的概率为________．
【答案】
【解析】
分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 ，故答案为 ．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2=________．
【答案】85°
【解析】
分析：直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．
详解：如图，
∵∠1=40°，∠4=45°，
∴∠3=∠1+∠4=85°，
∵矩形对边平行，
∴∠2=∠3=85°．
故答案为85°．
点睛：此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
14.如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数 的图象经过点D，交BC边于点E.
若 BDE的面积为1，则k =________
△
【答案】4
【解析】分析：设D（a， ），利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B（2a， ），则E（2a， ），然
后利用三角形面积公式得到 •a•（ - ）=1，最后解方程即可．
详解：设D（a， ），
∵点D为矩形OABC的AB边的中点，
∴B（2a， ），
∴E（2a， ），
∵△BDE的面积为1，
∴ •a•（ - ）=1，解得k=4．
故答案为4．
点睛：本题考查了反比例函数解析式的应用，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角
坐标系中点的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值．
15.如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径
OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为_____cm（结果保留π）．
【答案】
【解析】分析：先根据图1确定：图2的周长=2个 的长，根据弧长公式可得结论．
详解：由图1得： 的长+ 的长= 的长，
∵半径OA=2cm，∠AOB=120°
则图2的周长为： .
故答案为 ．
点睛：本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．
16.如图，在直角 ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使
APQ是等腰三角△形且 BPQ是直角三角形，则AQ =________．
△ △
【答案】 或
【解析】
分析：分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；
详解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCA，∴ ，
∴ ，
∴x= ，
∴AQ= ．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y．
∵△BQP∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∴y= ．
综上所述，满足条件的AQ的值为 或 ．
点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分
类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题17.计算：
【答案】0
【解析】
分析：先分别计算0次幂、负整数指数幂和立方根，然后再进行加减运算即可.
详解：原式=1-2+2=0
点睛：任何非零数的0次幂结果为1；负整数次幂法则： （a≠0，p为正整数）.
18.解不等式：3x-1≥2(x-1)，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】x≥-1，在数轴上表示见解析.
【解析】
分析：不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
详解：3x-1≥2（x-1），
3x-1≥2x-2，
3x-2x≥-2+1，
x≥-1；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
点睛：此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求
出解集．
19.先化简，再求值： ，其中 .
【答案】原式=x-1=
【解析】
分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=x-1，然后再把x的值代入x-1计算即
可．详解：原式=
=
=x-1;
当x= 时，原式= -1=
点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式
或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
20.端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、
一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.
（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；
（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.
【答案】（1）树状图见解析；（2）
【解析】
分析：（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；
（2）根据（1）中的树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．
详解：（1）肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得，
（2）由（1）可得，
小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是： ，
即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是 ．
点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．21.在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）菱形
【解析】
分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在 ABE与 ADF中
△ △
，
∴△ABE≌△ADF.
（2）如图，连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识．
22.“安全教育平台”是中国教育学会为方便学长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件.某
校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据
分为以下4类情形：A.仅学生自己参与；B.家长和学生一起参与；
C.仅家长自己参与； D.家长和学生都未参与.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数.
【答案】（1）400；（2）补全条形图见解析；C类所对应扇形的圆心角的度数为54°；（3）该校2000名
学生中“家长和学生都未参与”有100人.
【解析】
分析：（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调
查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得．
详解：（1）本次调查的总人数为80÷20%=400人；
（2）B类别人数为400-（80+60+20）=240，补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°× =54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000× =100人．
点睛：本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进
一步解题的信息．
23.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降
价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多
售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【解析】
分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出
2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，
解得：x=10，x=20．
1 2
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x=20应舍去，
2
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销
售的利润是解题关键．
24.学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且
同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示.
（1）根据图象信息，当t=________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为________米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式.
【答案】（1）24；40；（2）线段AB 表达式为：y=40t（40≤t≤60）
【解析】
分析：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间
可得甲的速度；
（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出
乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵
坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式．
详解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲 速度为2400÷60=40米/分钟．
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两
人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，∴乙的速度为100-40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，
40×40=1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴ ，解得 ，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t（40≤t≤60）．
点睛：本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中
考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
25.如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点，连接AC、BC，将 ABC沿AB翻折后得到 ABD
△ △
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC·AE，求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=
【解析】
分析：（1）由翻折知 ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；
△
（2）由AB=AD知AB2=AD•AE，即 ，据此可得 ABD∽△AEB，即可得出
△∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；
（3）由 知DE=1、BE= ，证 FBE∽△FAB得 ，据此知FB=2FE，在Rt ACF中
△ △
根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
详解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵将 ABC沿AB翻折后得到 ABD，
∴△△ABC≌△ABD， △
∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC=AD，
∵AB2=AC•AE，
∴AB2=AD•AE，即 ，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
解得：DE=1，
∴BE= ，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC，
又∠BAC=∠BAD，
∴∠FBE=∠BAD，
∴△FBE∽△FAB，
∴ ，即 ，
∴FB=2FE，
在Rt ACF中，∵AF2=AC2+CF2，
∴（5△+EF）2=42+（2+2EF）2，
整理，得：3EF2-2EF-5=0，
解得：EF=-1（舍）或EF= ，
∴EF= ．
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及
相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
26.（1）【发现】如图①，已知等边 ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点
B、C重合），使两边分别交线段AB△、AC于点E、F.
①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF =________；
②求证： EBD∽△DCF.
△（2）【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F
都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
（3）【探索】如图③，在等腰 ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点
放在点O处（其中∠MON=∠B△），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与 ABC的顶点
重合），连接EF.设∠B=α，则 AEF与 ABC的周长之比为________（用含α的表达式表示△）
△ △
.
【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.
【解析】
分析：（1）①先求出 BE 的长度后发现 BE=BD，又∠B=60°，可知 BDE 是等边三角形，可得
∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得 CDF是等边三角形，从而CF=CD=B△C-BD；
②证明 EBD∽△DCF，这个模型可称为△“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；
（2）【△思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作
DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明 BDM CDN可得BD=CD；
（3）【探索】由已知不难求得C
ABC
=AB+BC+CA=2AB+2OB=2(△m+mco≅sα△)，则需要用m和α的三角函数
△
表示出C ，C =AE+EF+AF；题中直接已知O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作
AEF AEF
△ △
OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则C =AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而AG=AB-
AEF
△
OB，从而可求得.
详解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，∵AE=4，
∴BE=2，则BE=BD，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；
②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°
∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠B=∠C，
∴ EBD∽△DCF
（△2）存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，
∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，
∴DM=DG=DN，
又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°，
∴△BDM CDN，
∴BD=CD≅，△
即点D是BC的中点，
∴ ;
（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，则∠BGO=∠CHO=90°，
∵AB=AC，O是BC的中点
∴∠B=∠C，OB=OC，
∴△OBG OCH，
∴OG=OH≅，△GB=CH，∠BOG=∠COH=90°−α，
则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，
∵∠EOF=∠B=α，
则∠GOH=2∠EOF=2α，
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH，
则 C =AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，
AEF
△
设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,
.
点睛：本题考查了角平分线的定义，等边三角形的性质，全等三角形以及相似三角形的判定和性质等知识
点．难度较大.
27.如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y轴交于
点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、 Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接
DP、DQ.
①若点P的横坐标为 ，求 DPQ面积的最大值，并求此时点D 的坐标；
△
②直尺在平移过程中， DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
△
【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3；（2）①点D（ ）；② PQD面积的最大值为8
△
【解析】
分析：（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作
DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+ ），进而即可
得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S =-2x2+6x+ ，再利用二次函数的性质即可解决最值
DPQ
△
问题；
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系
数法可求出直线 PQ 的表达式，设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-2（t+1）
x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S =-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利
DPQ
△
用二次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为- 时，点Q的横坐标为 ，∴此时点P的坐标为（- ， ），点Q的坐标为（ ，- ）．
设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（- ， ）、Q（ ，- ）代入y=mx+n，得：
，解得： ，
∴直线PQ的表达式为y=-x+ ．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+ ），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+ ）=-x2+3x+ ，
∴S = DE•（x -x ）=-2x2+6x+ =-2（x- ）2+8．
DPQ Q P
△
∵-2＜0，∴当x= 时， DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（ ， ）．
△
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S = DE•（x -x ）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
DPQ Q P
△
∵-2＜0，
∴当x=t+2时， DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即△直尺在平移过程中， DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
点睛：本题考查了待定系数法求二次△（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角
形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达
式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S =-2x2+6x+ ；（II）利用三角形的面积公式找出
DPQ
△
S =-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．
DPQ
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