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2018 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是正确的）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】∵ ，∴ 的倒数是 .
故选C
2.已知苹果每千克m元，则2千克苹果共多少元？
A. m-2 B. m+2 C. D. 2m
【答案】D
【解析】
【分析】
根据单价×数量=钱数列代数式即可.
【详解】每千克m元，则2千克苹果共2m元.
故选D.
【点睛】考查了列代数式表示实际问题，解题的关键是掌握单价×数量=钱数.
3.下列图形中，哪一个是圆锥 侧面展开图？
A. B. C. D.
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 1【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图的特点作答．
【详解】A选项：是长方体展开图．
B选项：是圆锥展开图.
C选项：是棱锥展开图.
D选项：是正方体展开图.
故选B.
【点睛】考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形．
4.一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A. y=-2x B. y=2x C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设该正比例函数的解析式为 ，再把点 代入求出 的值即可．
【详解】设该正比例函数的解析式为 ，
正比例函数的图象经过点 ，
，解得 ，
这个正比例函数的表达式是 ．
故选 ．
【点睛】考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数
的解析式是解答此题的关键．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 25.下列命题中，假命题是
A. 一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 三个角是直角的四边形是矩形
C. 四边相等的四边形是菱形
D. 有一个角是直角的菱形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形、正方形、平行四边形、菱形 判定即可求出答案．
【详解】A:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B:三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
C:四边相等的四边形是菱形，是真命题；
D:有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
故选A．
【点睛】考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正方形、平行四边
形、菱形的判定解答．
6.已知a为整数，且 <a< ，则a等于
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用 ， 接近的整数是2，进而得出答案．
【详解】∵a为整数，且 <a< ，
∴a=2．
故选 ．
【点睛】考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
7.如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 3A. 76° B. 56° C. 54° D. 52°
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用切线的性质得 ，则可计算出 ，再利用等腰三角形的性质得到
，然后根据圆周角定理得 的度数.
【详解】解：∵MN是⊙O的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为A.
【点睛】考查了圆周角定理和切线的性质.关键是利用圆的切线垂直于经过切点的半径解题.
8.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为
1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读
出sin∠AOB的值是
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 4A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 ．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO= .
【详解】如图，连接AD．
∵OD是直径，
∴∠OAD=90o，
∵∠AOB+∠AOD=90o,∠AOD+∠ADO=90o，
∴∠AOB=∠ADO，
∴sin∠AOB=sin∠ADO= .
故选D．
【点睛】考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问
题.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接写
在答题卡相应位置上）
9.计算：|-3|-1=__．
【答案】2
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 5【解析】
【分析】
根据有理数的加减混合运算法则计算.
【详解】解：|﹣3|﹣1=3-1=2.
故答案为2.
【点睛】考查的是有理数的加减运算、乘除运算，掌握它们的运算法则是解题的关键.
10.化简： =__．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可得出答案．
【详解】解：
=1．
故答案是：1.
【点睛】考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.分解因式：3x2-6x+3=__．
【答案】3(x-1)2
【解析】
【分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【详解】 .
故答案是：3(x-1)2.
【点睛】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其
他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__．
【答案】(-2,-1)
【解析】
【分析】
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 6根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1），
故答案是：（﹣2，﹣1）．
【点睛】考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题
关键．
13.地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km．
【答案】3.84 105
【解析】 ×
【分析】
根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示 的形式．
【详解】384000=3.84×105.
故答案是：3.84×105.
【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.中华文化源远流长，如图是中国古代文化符号的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对
称．在圆内随机取一点，则此点取黑色部分的概率是__．
【答案】
【解析】
【分析】
根据中心对称图形 性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等， 根据概率公式计算即可 ．
【详解】∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称，
∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等，
∴在圆内随机取一点， 则此点取黑色部分的概率是 ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 7故答案为 ．
【点睛】考查的是概率公式、 中心对称图形， 掌握概率公式是解题的关键 ．
15.如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__．
【答案】40°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形 性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°,
∵DC=DB,
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°-70°-70°=40°.
故答案是：40°．
【点睛】考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识.
16.如图， ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°， 的长是 ，则⊙O的半径是__．
△
【答案】2
【解析】
【分析】
连接OB、OC，利用弧长公式转化为方程求解即可；
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 8【详解】连接OB、OC．
∵∠BOC=2∠BAC=120°， 的长是 ，
∴ = ，
∴r=2．
故答案为2． ．
【点睛】考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算等知识，解题的关键是熟练掌握弧长公
式．
17.下面是按一定规律排列的代数式：a2，3a4，5a6，7a8， 则第8个代数式是__．
【答案】15a16
【解析】
【分析】
根据单项式的系数与次数的规律即可求出答案
【详解】系数的规律为：1、3、5、7……、2n﹣1，
次数的规律为：2、4、6、8……、2n，
∴第8个代数式为：15a16，
故答案为15a16
【点睛】考查数字规律，解题的关键是找出题意给出的规律
18.如图，在 ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与 ABC相似
的小三角形纸△板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__． △
【答案】3 AP 4
【解析】 ≤ <
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 9【分析】
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到 的长的取值范围．
【详解】如图所示，过 P 作 PD∥AB 交 BC 于 D 或 PE∥BC 交 AB 于 E，则△PCD∽△ACB 或
△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案是：3≤AP＜4．
【点睛】考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
三、解答题（本大题共10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答
应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19.计算： ．
【答案】0
【解析】
【分析】
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 10直接利用特殊角 三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20.解方程组和不等式组：
（1）
（2）
【答案】(1) ;(2)x 3.
>
【解析】
【分析】
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】解：（1） ，
① ②得： ，
把 代入②得： ，
所以方程组的解为： ；
（2） ，
解不等式①得： ；
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 11解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为： ．
【点睛】考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.如图，把 ABC沿BC翻折得 DBC．
（1）连接AD△，则BC与AD的位△置关系是 ．
（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，写出添加的条件，并说
明理由．
【答案】(1)BC垂直平分AD;(2)AB=AC
【解析】
【分析】
（1）先由折叠知， ， ，进而判断出 ，最后用平角的定义即可
得出结论；
（2）由折叠得出 ， ，再判断出 ，进而得出
，最后用两边分别平行的四边形是平行四边形．
【详解】解：（1）如图，
连接 交 于 ，
由折叠知， ， ，
，
，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 12，
，
，
，
故答案为 垂直平分 ；
（2）添加的条件是 ，
理由：由折叠知， ， ，
，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形．
【点睛】考查了折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断
出 是解本题的关键．
22.为了解某市初中学生课外阅读情况，调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书籍的册数进行了抽样
调查，并根据调查结果绘制成如下统计图．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 13根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）补全条形统计图；
（3）该市共有12000名初中生，估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数．
【答案】（1）100；（2）补图见解析；（3）3600人.
【解析】
【分析】
（1）根据2册的人数除以占的百分比即可得到总人数；
（2）求出1册的人数是100 人，4册的人数是100-30-40=10人，再画出即可；
（3）先列出算式，再求出即可．
【详解】解：（1） （册 ，
即本次抽样调查的样本容量是100，
故答案为100；
（2）如图： ；
（3） （人 ，
答：估计该市初中学生这学期课外阅读超过2册的人数是3600人．
【点睛】考查了条形统计图、扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体等知识点，两
图结合是解题的关键．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 1423.将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3
个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是 型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的
纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概
率公式计算可得．
【详解】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是 型矩形纸片的概率为 ；
（2）画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 ．
【点睛】考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
24.如图，已知点A在反比例函数 (x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 15函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．
【答案】（1）（2，2）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数k值的几何意义可求点A的坐标；
（2）根据梯形的面积公式可求点B的坐标，再根据待定系数法可求一次函数y=kx+b的表达式．
【详解】解：（1） 点 在反比例函数 的图象上， 轴， ，
，
，
点 的坐标为 ；
（2） 四边形 的面积是3，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 16依题意有 ，
解得 ．
故一次函数 的表达式为 ．
【点睛】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是熟练掌握反比例函数 值的几何意义、梯形的
面积、待定系数法求一次函数解析式．
25.京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，
在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得
∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．
【答案】该段运河的河宽为 ．
【解析】
【分析】
过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形
ACH 与直角三角形 BDE 中，设 CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出 AH 与 BE，由
AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：过 作 ，可得四边形 为矩形，
，
设 ，
在 中， ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 17，
在 中， ，
，
由 ，得到 ，
解得： ，即 ，
则该段运河的河宽为 ．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
26.阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增
根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，
把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解
把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x=0,x= ， x= ；
1 2 3
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固
定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC
走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 18【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【解析】
【分析】
（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理
方程转化为整式方程，求解，
【详解】解：（1） ，
，
所以 或 或
， ， ；
故答案为 ，1；
（2） ，
方程的两边平方，得
即
或
， ，
当 时， ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 19所以 不是原方程的解．
所以方程 的解是 ；
（3）因为四边形 是矩形，
所以 ，
设 ，则
因为 ，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以 ．
经检验， 是方程的解．
答： 的长为 ．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根
据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
27.（1）如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接CF．求证：
∠AFE=∠CFD．
（2）如图2，在Rt GMN中，∠M=90°，P为MN的中点．
△
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 20①用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得∠GQM=∠PQN（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点吗？为什么？
【答案】(1)证明见解析；（2）①作图见解析；②结论： 是 的中点．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）只要证明FC=FB即可解决问题；
（2）①作点P关于GN的对称点P′，连接P′M交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
②结论：Q是GN的中点．想办法证明∠N=∠QMN=30°，∠G=∠GMQ=60°，可得QM=QN，QM=QG；
【详解】（1）证明：如图1中，
垂直平分线段 ，
，
，
，
．
（2）①作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，点 即为所求．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 21理由： 垂直平分 ，
， ，
，
，
点 即为所求．
②结论： 是 的中点．
理由：设 交 于 ．
， ，
，
，
，
，
，
，
，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 22， ，
， ，
，
是 的中点．
【点睛】考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题.
28.如图，二次函数 的图象与 轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为
(-4,0)，P是抛物线上一点 （点P与点A、B、C不重合）．
（1）b= ，点B的坐标是 ；
（2）设直线PB直线AC交于点M，是否存在这样的点P，使得PM:MB=1:2？若存在，求出点P的横坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（ ，0）；（2）存在点 P 的横坐标为 或 ．（3）
∠CBA=2∠CAB.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由点A的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，代入y=0求出x值，进而可得出点
B的坐标；
（2）（解法一）代入x=0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 23线AC的解析式，假设存在，设点M的坐标为（m， m+2），分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况
考虑，由点B、M的坐标结合PM：MB=1：2即可得出点P的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征
可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论；
（解法二）代入x=0求出y值，进而可得出点C的坐标，由点A、C的坐标利用待定系数法可求出直线AC
的解析式，过点B作BB′∥y轴交直线AC于点B′，过点P作PP′∥y轴交直线AC于点P′，由点B的
坐标可得出BB′的值，结合相似三角形的性质可得出PP′的值，设点P的坐标为（x，- x2- x+2），则
点P′的坐标为（x， x+2），结合PP′的值可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得
出结论；
（3）作∠CBA的角平分线，交y轴于点E，过点E作EF⊥BC于点F，设OE=n，则CE=2-n，EF=n，利用
面积法可求出n值，进而可得出 ，结合∠AOC=90°=∠BOE可证出△AOC∽△BOE，根据
相似三角形的性质可得出∠CAO=∠EBO，再根据角平分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB，此题
得解．
【详解】（1） 点 在二次函数 的图象上，
，
．
当 时， 有 ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 24解得： ， ，
点 的坐标为 ， ．
故答案为 ； ， ．
（2） （方 法一） 当 时， ，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入 中，
得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ．
假设存在， 设点 的坐标为 ．
①当点 、 在直线 的异侧时， 点 的坐标为 ， ，
点 在抛物线 上，
，
整理， 得： ．
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 25△ ，
方程无解， 即不存在符合题意得点 ；
②当点 、 在直线 的同侧时， 点 的坐标为 ， ，
点 在抛物线 上，
，
整理， 得： ，
解得： ， ，
点 的横坐标为 或 ．
综上所述： 存在点 ，使得 ，点 的横坐标为 或 ．
（3） ，理由如下：
作 的角平分线， 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图 2 所示 ．
点 ， ，点 ，
， ， ．
设 ，则 ， ，
由面积法， 可知： ，即 ，
汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ 26解得： ．
， ，
，
，
．
【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股
定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质
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