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2013 年中考数学试题（江苏南通卷）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，小于－3的数是【 】
A．2 B．1 C．－2 D．－4
【答案】D。
2．某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为【 】
A． B． C． D．
【答案】A。
3．下列计算，正确的是【 】
A． B． C． D．
【答案】C。
4．下面的几何体中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是【 】
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C。
5．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成
三角形的个数为【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C。
6．函数 中，自变量x的取值范围是【 】
A．x＞1 B．x≥1 C．x＞－2 D．x≥―2
【答案】A。7．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹 是【 】
A．以点B为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DC为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DC为半径的弧
【答案】D。
8．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，
则扇形的半径为【 】
A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】B。
9．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：
km）和行驶时间（t 单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了20 km；
（2）小陆全程共用了1.5h；
（3）小李和小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度
（4）小李在途中停留了0.5h。
其中正确的有【 】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A。
10．如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是 的中点，CD与AB的交点
为E，则 等于【 】
A．4 B．3.5 C．3 D．2.5
【答案】C。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．反比例函数 的图象经过点（1，2），则k= ▲ 。
【答案】2。
12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=200，则∠COE等于 ▲ 度。
【答案】70。
13．一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是 ▲ ．【答案】球。
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是 ▲
。
【答案】 。
15．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是 ▲ 。
[来源:学+科+网Z+X+X+K]
【答案】 。
16．如图，经过点B（－2，0）的直线 与直线 相交于点A（－1，－2），则不
等式 的解集为 ▲ 。
【答案】 。
17．如图，在 ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长
线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG= cm，则EF＋CF的长为 ▲ cm。
【答案】5。
18．已知 和 时，多项式 的值相等，且 ，则当时，多项式 的值等于 ▲ 。
【答案】3。
三、解答题（本大题共10小题，满分96分）
19．
（1）计算： 。
【答案】解：原式=2＋1－3=0。
（2）先化简，再求代数式的值： ，其中m＝1。
【答案】解：原式= 。
当m＝1时，原式= 。
20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（－1，5），B（4，2），C（－1，0）三点。
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为 ▲ ，点B关于x轴对称点B′的坐标为
▲ ，点C关于y轴对称点C′的坐标为 ▲ ；
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积。
【答案】解：（1）（1，－5）；（4，－2）；（1，0）。
（2）如图，△A′B′C′的面积 。21．某水果批发市场将一批苹果分为A，B，C，D四个等级，统计后将结果绘成条形图，已知A
等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%。回答下列问题：
（1）这批苹果总重量为 ▲ kg；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形圆心角为 ▲ 度。
【答案】解：（1）4000。
（2）条形图补充完整如下：（3）90。
22．在不透明的袋子中有四张标有数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩
抽卡片游戏。
小明画出树形图如下：
小华列出表格如下：
第 1 2 3 4
一次
第二次
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） ① （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
回答下列问题：
（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是：随机抽出一张卡片后 ▲ （填“放
回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；
（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为 ▲ ；
（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为淮获胜的可能性大？为什么？
【答案】解：（1）放回。
（2）（3，2）。
（3）理由如下：∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为： 。
∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
∴概率为： 。
∵ ，∴小明获胜的可能性大。
23．若关于x的不等式组 恰有三个整数解，求实数a的取值范围。
【答案】解：解 得： ；
解 得： 。
∴不等式组的解为 。
∵关于x的不等式组 恰有三个整数解，
∴ ，解得 。
∴实数a的取值范围为 。
24．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE。
求证：四边形BCDE是矩形。
【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD。
在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴BE=CD。
又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形。
如图，连接BD,AC,
在△ACE和△ABD中，
∵AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD。
∴四边形BCED为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长
线相交于点P。若 ，求AC的长。
【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900。
又∵∠BAC=2∠B，∴∠B=300，∠BAC=600。
又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形。∴∠AOC=600。
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=900。
在 中， ，∠AOP=600，∴ 。
∴AC=OA=6。
26．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系
。
当x＝1时，ｙ＝1.4；当x＝3时，ｙ＝3.6。
信息2：销售B种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系
。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数解析式；（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得
的利润之和最大，最大利润是多少？
【答案】解：（1）将（1，1.4），（3，3.6）代入 ，得
，解得 。
∴二次函数解析式为 。
（2）设购进A产品m吨，购进B产品10－m吨，销售A，B两种产品获得的利润之
和为W万元。则
∵ ，∴当m＝6时，W有最大值6.6。
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最
大，最大利润是6.6万元。
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC= ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）
的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重
叠部分的周长为T。
（1）求证：点E到AC的距离为一常数；
（2）若AD= ，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T。
【答案】解：（1）证明：如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH即为点E到
AC的距离。∵在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC= ，BC=3，
∴ 。∴∠A=600。
∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=600。
∵DE=a（a为小于3的常数），
∴ （常数）。
∴点E到AC的距离为一常数。
（2）当a=2时， 。
∵AD= ，∴AH= 。∴此时，点H在在线段AC上。
∴此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DEF。
∴ 。
（3）当点D运动到AC的中点处时， ，
由 得， ，解得 。
∴分两种情况：
①当 时，点H在线段AC上，此时，△DEF与
△ABC重叠部分就是△DEF。
∴ 。
②当 时，点H在线段AC的延长线上，如图，
此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DCG。
根据三角形中位线定理，点G是BC的中点，
∴CD= ，CG= ,DG= 。
∴ 。综上所述， 。
28．如图，直线 与抛物线 相交于A ，B 两点，与x
轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且 。
（1）求b的值；
（2）求证：点 在反比例函数 的图象上；
（3）求证： 。
【答案】解：（1）∵直线 与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得 ；令y=0，得 。∴OC= ，OD= 。
∴△OCD的面积 。
∵ ，∴ ，解得 。
∵ ，∴ 。
（2）证明：由（1），直线解析式为 ，即 ，代入 ，得，
整理，得 。
∵直线 与抛物线 相交于A ，B ，
∴ ， 是方程 的两个根。
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得 。
∴点 在反比例函数 的图象上。
（ 3 ） 证 明 ： 由 勾 股 定 理 ， 得
，
由（2）得 。
同理，将 代入 ，得 ，即 ，
∴ 。
∴ 。
又 ，∴ 。
∴ △ OAB 是 直 角 三 角 形 ， 即
∠AOB=900。
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B
作BF⊥x轴于点F，
∵∠AOB=900，
∴∠AOE=900-∠BOF=∠OBF。
又∵∠AEO =∠OFB=900，
∴△AEO∽△OFB。∴ 。∵OE= ，BF= ，∴ 。
∴ 。
