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南通市2014年中考数学试卷最后一题解析
【试题】如图，抛物线y=－x +2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C，顶点为D，对称轴与BC交于E.
（1） 求DE的长，
（2） 设过E的直线与抛物线y=－x +2x+3与x轴相交于M（x ，y ），N（x ，y ）试判断当 的值最
小时，直线MN与x轴的位置关系，
（3） 设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求P的坐标.
【解析】（1）略
（2）∵E的坐标为（1,2）∴用待定系数法得直线MN的解析式为y=（2－b）x+b
点M，N的坐标是方程组 的解，用代入法将方程组化为关于x的一元二次方程，得x
－bx+b－3=0，由韦达定理得，x + x =b，x x = b－3，
∵ = = = = ，
∴当b=2时， 最小值=2 .∵b=2，∴直线MN的解析式为y=2，∴直线MN∥x轴.
（4） 有三种解法：
① 如图1，这里数学机智灵活的同学易发现tan∠DOH=4，又∵tan∠α=4，∴∠DOH=∠α，应用三角形外角
定理与∠DAO+∠DPO=∠α，得∠DPO=∠ADO，显然△ADP∽△AOD，从而得AD =AO·AP ，而AD =20，AO=1，
因此AP =20，∴OP =19，由对称性OP =17，∴P （19,0） P （－17,0）
②③如图2，应用三角形外角定理转化出∠α.延长AD，过P 作P F⊥AF于F，显然∠FD P =∠α，AD=2 ，
∵tan∠α=4，设DF=m，则P F=4m，△ADH∽△A P F，则
解得m=2 ，∴AF=4 ，P F=8 ，在直角三角形AF P 中由勾股定理得，AP =20，
以下与方法①相同.③如图3，如果高中生来解很简单，应用三角公式tan（β+γ）=
∵∠α=∠β+∠γ，tan∠α=4，tan∠β=2 tan∠γ= ，将以上条件代入三角公式tan（β+γ）=
，可解得H P =18，以下与方法①相同.
