2014 年安徽省普通高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(-2)×3的结果是( )
A.-5 B.1 C.-6 D.6
2.x2·x3=( )
A.x5 B.x6 C.x8 D.x9
3.如图,图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的,则该几何体的俯视图是( )
4.下列四个多项式中,能因式分解的是( )
A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量,其长度x(单
位:mm)的数据分布如下表,则棉花纤维长度的数据在8≤x<32这个范围的频率为( )
棉花纤维长度x 频数
0≤x<8 1
8≤x<16 2
16≤x<24 8
24≤x<32 6
32≤x<40 3
A.0.8 B.0.7 C.0.4 D.0.2
6.设n为正整数,且n<√65<n+1,则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为( )
A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30
8.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为
MN,则线段BN的长为( )
5 5
A. B. C.4 D.5
3 2
9.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移
动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( )10.如图,正方形ABCD的对角线BD长为2√2,若直线l满足:①点D到直线l的距离为√3
;②A、C两点到直线l的距离相等,则符合题意的直线l的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.据报载,2014年我国将发展固定宽带接入新用户25 000 000户,其中25 000 000用科学
记数法表示为 .
12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率
都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y= .
4x-12
13.方程 =3的解是x= .
x-2
14.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连结EF、
CF.则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
1
①∠DCF= ∠BCD; ②EF=CF;
2
③S =2S ; ④∠DFE=3∠AEF.
△BEC △CEF
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:√25-|-3|-(-π)0+2 013.
16.观察下列关于自然数的等式:
32-4×12=5 ①
52-4×22=9 ②
72-4×32=13 ③… …
根据上述规律解决下列问题:
(1)完成第四个等式:92-4×( )2=( );
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线
的交点).
(1)将△ABC向上平移3个单位得到△AB C ,请画出△AB C ;
1 1 1 1 1 1
(2)请画一个格点△AB C ,使△AB C ∽△ABC,且相似比不为1.
2 2 2 2 2 2
18.如图,在同一平面内,两条平行高速公路l 和l 间有一条“Z”型道路连通,其中AB段与高速
1 2
公路l 成30°角,长为20 km;BC段与AB、CD段都垂直,长为10 km;CD段长为30 km,求两
1
高速公路间的距离(结果保留根号).五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为
F,D是CF延长线与☉O的交点.若OE=4,OF=6.求☉O的半径和CD的长.
20.2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付
餐厨和建筑垃圾处理费5 200元.从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100
元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨,若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有
变化,就要多支付垃圾处理费8 800元.
(1)该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨?
(2)该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐
厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?
六、(本题满分12分)
21.如图,管中放置着三根同样的绳子AA 、BB 、CC .
1 1 1
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA 的概率是多少?
1
(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A 、B 、C 三个绳头
1 1 1
中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.七、(本题满分12分)
22.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y=2x2-4mx+2m2+1和y=ax2+bx+5,其中y 的图象经过点A(1,1),若
1 2 1
y+y 与y 为“同簇二次函数”,求函数y 的表达式,并求出当0≤x≤3时,y 的最大值.
1 2 1 2 2
八、(本题满分14分)
23.如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PM∥AB交AF于M,作
PN∥CD交DE于N.
(1)①∠MPN= °;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,连结OM、ON.求证:OM=ON;
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形,并说明
理由.
图1图2
图3
答案全解全析：
一、选择题
1.C 原式=-2×3=-6,故选C.
评析 本题考查有理数的乘法,属容易题.
2.A x2·x3=x2+3=x5.故选A.
评析 本题主要考查同底数幂的乘法法则,属容易题.
3.D 从几何体的上面看是半圆,故选D.
4.B A、C、D中的多项式都不能转化成几个整式积的形式,故A、C、D不能因式分解;B
是完全平方式的形式,故B能因式分解.故选B.
评析 本题考查因式分解,属容易题.
16
5.A 在8≤x<32这个范围的频数是2+8+6=16,则在8≤x<32这个范围的频率是 =0.8.故选
20
A.
评析 本题考查了频数分布表和频率的计算方法,属容易题.
6.D ∵√64<√65<√81,∴8<√65<9,∵n<√65<n+1,∴n=8,故选D.
评析 本题主要考查了无理数的估算,属容易题.
7.B ∵x2-2x-3=0,∴x2-2x=3,∴2x2-4x=2(x2-2x)=6,故选B.
8.C 设 BN=x,由折叠的性质可得 DN=AN=9-x,∵D 是 BC 的中点,∴BD=3.在 Rt△BND
中,x2+32=(9-x)2,解得x=4.故线段BN的长为4.故选C.
评析 本题考查了折叠问题,利用勾股定理构造方程求线段长,综合性较强.
9.B ①点P在AB上时,0≤x≤3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4.②当点P在BC(不包括端点B)上时,3<x≤5,设点E为垂足.如图,
∵AD∥BC,∴∠APB=∠PAD,
又∵∠B=∠DEA=90°,
∴△ABP∽△DEA,
AB AP 3 x
∴ = ,即 = .
DE AD y 4
12
∴y= .故选B.
x
评析 本题考查动点问题、相似三角形的判定与性质、函数图象和分类讨论思想,属中等难
度题.
10.B 连结AC交BD于O点,则OD=OB=√2.在直线BD上找一点E,使得DE=√3,过点E作
AC的平行线即可,可知满足条件的直线有两条,故选B.
二、填空题
11.答案 2.5×107
解析 25 000 000用科学记数法可表示为2.5×107.
评析 本题考查用科学记数法表示数.科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,
表示的关键是要正确确定a的值以及n的值,属容易题.
12.答案 a(1+x)2
解析 ∵一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长
率都是x,
∴二月份新产品的研发资金为a(1+x)元,
∴三月份新产品的研发资金为a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元,
即y=a(1+x)2.
评析 此题是平均增长率问题,属容易题.
13.答案 6
解析 去分母得4x-12=3(x-2),解得x=6,
经检验,x=6是原分式方程的解.
评析 本题考查了分式方程的解法,注意解分式方程时要验根,属容易题.
14.答案 ①②④
解析 ①∵F是AD的中点,∴AF=FD,
∵在▱ABCD中,AD=2AB,
∴AF=FD=CD,
∴∠DFC=∠DCF,
∵AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB,
∴∠DCF=∠BCF,
1
∴∠DCF= ∠BCD,故①正确;
2
②延长EF,交CD的延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠A=∠MDF,
{
∠A=∠FDM,
在△AEF和△DMF中, AF=DF,
∠AFE=∠DFM,∴△AEF≌△DMF(ASA),
∴EF=MF,
∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,
∴∠ECD=∠AEC=90°,
∴EF=CF,故②正确;
③∵EF=FM,∴S =2S ,
△ECM △EFC
∵MC>BE,∴S >S ,∴S <2S ,故③错误;
△ECM △BEC △BEC △EFC
④由①得∠A=∠BCD=2∠MCF,又易证∠AEF=∠M=∠MCF,∴∠DFE=∠A+∠AEF=3∠AEF,故④
正确.
评析 本题主要考查了平行四边形、等腰三角形、直角三角形的性质,利用点F是AD的中
点构造全等三角形是解答本题的关键,属难题.
三、解答题
15.解析 原式=5-3-1+2 013=2 014.(8分)
16.解析 (1)4;17.(4分)
(2)第n个等式为(2n+1)2-4×n2=4n+1.
∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,∴第n个等式成立.(8分)
评析 本题考查归纳数字之间的变化规律,利用规律解决问题,属容易题.
四、解答题
17.解析 (1)作出△AB C ,如图所示.
1 1 1
(4分)
(2)本题是开放题,答案不唯一,只要作出的△AB C 满足条件即可.如图.(8分)
2 2 2
评析 本题主要考查了相似和平移变换,找出变换后图形对应点的位置是解题关键,属容易题.
18.解析 如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作l 的垂线与l 、l 分别
1 1 2
交于点H、F,则HF⊥l.
2
由题意知AB⊥BC,BC⊥CD,又AE⊥AB,
∴四边形ABCE为矩形,
∴AE=BC,AB=EC.(2分)
∴DE=DC+CE=DC+AB=50.
又AB与l 成30°角,
1
∴∠EDF=30°,∠EAH=60°.1
在Rt△DEF中,EF=DE·sin 30°=50× =25,(5分)
2
√3
在Rt△AEH中,EH=AE·sin 60°=10× =5√3,
2
所以HF=EF+HE=25+5√3.
答:两高速公路间的距离为(25+5√3)km.(8分)
评析 本题考查了解直角三角形的应用,属容易题.
五、解答题
19.解析 ∵OC为小圆的直径,∴∠OFC=90°,∴CF=DF.(2分)
∵OE⊥AB,∴∠OEF=∠OFC=90°.
OE OF
又∠FOE=∠COF,∴△OEF∽△OFC,则 = ,
OF OC
OF2 62
∴OC= = =9.(7分)
OE 4
又CF= = =3 ,∴CD=2CF=6 .(10分)
√OC2-OF2 √92-62 √5 √5
评析 本题考查了垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,属中等难度题.
20.解析 (1)设 2013 年该企业处理的餐厨垃圾为 x 吨,建筑垃圾为 y 吨,根据题意,得
{ 25x+16 y=5 200,
(3分)
100x+30 y=5 200+8 800.
{ x=80,
解得
y=200.
答:2013年该企业处理的餐厨垃圾为80吨,建筑垃圾为200吨.(5分)
(2)设2014年该企业处理的餐厨垃圾为x吨,建筑垃圾为y吨,需要支付的这两种垃圾处理费
是z元.
根据题意,得x+y=240且y≤3x,解得x≥60.
z=100x+30y=100x+30(240-x)=70x+7 200.(7分)
由于z的值随x的增大而增大,所以当x=60时,z最小,
最小值=70×60+7 200=11 400.
答:2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元.(10分)
评析 本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用,找准等量关系、正确地列出方程是解
决本题的关键,属中等难度题.
六、解答题
21.解析 (1)小明可选择的情况有三种,每种发生的可能性相等,恰好选中绳子AA 的情况有
1
1
一种,所以小明恰好选中绳子AA 的概率P= .(4分)
1
3
(2)依题意,分别在两端随机选两个绳头打结,总共有9种情况,列表或画树状图表示如下,每种
情况发生的可能性相等.
右端
AB B C AC
1 1 1 1 1 1
左端
AB AB,AB AB,B C AB,AC
1 1 1 1 1 1
BC BC,A B BC,B C BC,A C
1 1 1 1 1 1
AC AC,AB AC,B C AC,AC
1 1 1 1 1 1(9分)
其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况不可能连接成一根长绳.
所以能连接成一根长绳的情况有6种:
①左端连AB,右端连AC 或B C ;
1 1 1 1
②左端连BC,右端连AB 或AC ;
1 1 1 1
③左端连AC,右端连AB 或B C .
1 1 1 1
6 2
故这三根绳子能连接成一根长绳的概率P= = .(12分)
9 3
评析 本题考查了列表法与画树状图法.
七、解答题
22.解析 (1)本题是开放题,答案不唯一,符合题意即可,如:y =2x2,y=x2.(4分)
1 2
(2)∵函数y 的图象经过点A(1,1),则2-4m+2m2+1=1,解得m=1.
1
∴y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.(7分)
1
解法一:∵y +y 与y 为“同簇二次函数”,
1 2 1
∴可设y+y=k(x-1)2+1(k>0),
1 2
则y=k(x-1)2+1-y =(k-2)(x-1)2.
2 1
由题可知函数y 的图象经过点(0,5),则(k-2)×(0-1)2=5,
2
∴k-2=5.∴y =5(x-1)2=5x2-10x+5.
2
当0≤x≤3时,根据y 的函数图象可知,y 的最大值=5×(3-1)2=20.(12分)
2 2
解法二:∵y +y 与y 是“同簇二次函数”,
1 2 1
且y+y=(a+2)x2+(b-4)x+8(a+2>0),
1 2
b-4 32(a+2)-(b-4)2
∴- =1,化简得b=-2a.又 =1,
2(a+2) 4(a+2)
将b=-2a代入,解得a=5,b=-10,
所以y=5x2-10x+5.
2
当0≤x≤3时,根据y 的函数图象可知,y 的最大值=5×32-10×3+5=20.(12分)
2 2
评析 本题考查了求二次函数的表达式,二次函数的性质(开口方向、增减性),属难题.
八、解答题
23.解析 (1)①60.(2分)
②证明:如图1,连结BE交MP于H点.
在正六边形ABCDEF中,PN∥CD,又BE∥CD∥AF,所以BE∥PN∥AF.
又PM∥AB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,△BPH为等边三角形.
所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分)
图1
(2)证明:如图2,连结BE,由(1)知AM=EN.
又AO=EO,∠MAO=∠NEO=60°,
所以△MAO≌△NEO.所以OM=ON.(9分)图2
(3)四边形OMGN是菱形.理由如下:
如图3,连结OE、OF,由(2)知∠MOA=∠NOE.
因为∠AOE=120°,
所以∠MON=∠AOE-∠MOA+∠NOE=120°.(11分)
由于OG平分∠MON,所以∠MOG=60°,
又∠FOA=60°,
所以∠MOA=∠GOF.
又AO=FO,∠MAO=∠GFO=60°,
所以△MAO≌△GFO.所以MO=GO.
又∠MOG=60°,所以△MGO为等边三角形.
同理可证△NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.(14分)
图3
评析 本题是一道综合题,解题的关键是恰当地作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段,
属难题.
