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2014 年安徽省普通高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(-2)×3的结果是( )
A.-5 B.1 C.-6 D.6
2.x2·x3=( )
A.x5 B.x6 C.x8 D.x9
3.如图,图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的,则该几何体的俯视图是( )
4.下列四个多项式中,能因式分解的是( )
A.a2+1 B.a2-6a+9 C.x2+5y D.x2-5y
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量,其长度x(单
位:mm)的数据分布如下表,则棉花纤维长度的数据在8≤x<32这个范围的频率为( )
棉花纤维长度x 频数
0≤x<8 1
8≤x<16 2
16≤x<24 8
24≤x<32 6
32≤x<40 3
A.0.8 B.0.7 C.0.4 D.0.2
6.设n为正整数,且n<√65BE,∴S >S ,∴S <2S ,故③错误;
△ECM △BEC △BEC △EFC
④由①得∠A=∠BCD=2∠MCF,又易证∠AEF=∠M=∠MCF,∴∠DFE=∠A+∠AEF=3∠AEF,故④
正确.
评析 本题主要考查了平行四边形、等腰三角形、直角三角形的性质,利用点F是AD的中
点构造全等三角形是解答本题的关键,属难题.
三、解答题
15.解析 原式=5-3-1+2 013=2 014.(8分)
16.解析 (1)4;17.(4分)
(2)第n个等式为(2n+1)2-4×n2=4n+1.
∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边,∴第n个等式成立.(8分)
评析 本题考查归纳数字之间的变化规律,利用规律解决问题,属容易题.
四、解答题
17.解析 (1)作出△AB C ,如图所示.
1 1 1
(4分)
(2)本题是开放题,答案不唯一,只要作出的△AB C 满足条件即可.如图.(8分)
2 2 2
评析 本题主要考查了相似和平移变换,找出变换后图形对应点的位置是解题关键,属容易题.
18.解析 如图,过点A作AB的垂线交DC的延长线于点E,过点E作l 的垂线与l 、l 分别
1 1 2
交于点H、F,则HF⊥l.
2
由题意知AB⊥BC,BC⊥CD,又AE⊥AB,
∴四边形ABCE为矩形,
∴AE=BC,AB=EC.(2分)
∴DE=DC+CE=DC+AB=50.
又AB与l 成30°角,
1
∴∠EDF=30°,∠EAH=60°.1
在Rt△DEF中,EF=DE·sin 30°=50× =25,(5分)
2
√3
在Rt△AEH中,EH=AE·sin 60°=10× =5√3,
2
所以HF=EF+HE=25+5√3.
答:两高速公路间的距离为(25+5√3)km.(8分)
评析 本题考查了解直角三角形的应用,属容易题.
五、解答题
19.解析 ∵OC为小圆的直径,∴∠OFC=90°,∴CF=DF.(2分)
∵OE⊥AB,∴∠OEF=∠OFC=90°.
OE OF
又∠FOE=∠COF,∴△OEF∽△OFC,则 = ,
OF OC
OF2 62
∴OC= = =9.(7分)
OE 4
又CF= = =3 ,∴CD=2CF=6 .(10分)
√OC2-OF2 √92-62 √5 √5
评析 本题考查了垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,属中等难度题.
20.解析 (1)设 2013 年该企业处理的餐厨垃圾为 x 吨,建筑垃圾为 y 吨,根据题意,得
{ 25x+16 y=5 200,
(3分)
100x+30 y=5 200+8 800.
{ x=80,
解得
y=200.
答:2013年该企业处理的餐厨垃圾为80吨,建筑垃圾为200吨.(5分)
(2)设2014年该企业处理的餐厨垃圾为x吨,建筑垃圾为y吨,需要支付的这两种垃圾处理费
是z元.
根据题意,得x+y=240且y≤3x,解得x≥60.
z=100x+30y=100x+30(240-x)=70x+7 200.(7分)
由于z的值随x的增大而增大,所以当x=60时,z最小,
最小值=70×60+7 200=11 400.
答:2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11 400元.(10分)
评析 本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用,找准等量关系、正确地列出方程是解
决本题的关键,属中等难度题.
六、解答题
21.解析 (1)小明可选择的情况有三种,每种发生的可能性相等,恰好选中绳子AA 的情况有
1
1
一种,所以小明恰好选中绳子AA 的概率P= .(4分)
1
3
(2)依题意,分别在两端随机选两个绳头打结,总共有9种情况,列表或画树状图表示如下,每种
情况发生的可能性相等.
右端
AB B C AC
1 1 1 1 1 1
左端
AB AB,AB AB,B C AB,AC
1 1 1 1 1 1
BC BC,A B BC,B C BC,A C
1 1 1 1 1 1
AC AC,AB AC,B C AC,AC
1 1 1 1 1 1(9分)
其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况不可能连接成一根长绳.
所以能连接成一根长绳的情况有6种:
①左端连AB,右端连AC 或B C ;
1 1 1 1
②左端连BC,右端连AB 或AC ;
1 1 1 1
③左端连AC,右端连AB 或B C .
1 1 1 1
6 2
故这三根绳子能连接成一根长绳的概率P= = .(12分)
9 3
评析 本题考查了列表法与画树状图法.
七、解答题
22.解析 (1)本题是开放题,答案不唯一,符合题意即可,如:y =2x2,y=x2.(4分)
1 2
(2)∵函数y 的图象经过点A(1,1),则2-4m+2m2+1=1,解得m=1.
1
∴y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.(7分)
1
解法一:∵y +y 与y 为“同簇二次函数”,
1 2 1
∴可设y+y=k(x-1)2+1(k>0),
1 2
则y=k(x-1)2+1-y =(k-2)(x-1)2.
2 1
由题可知函数y 的图象经过点(0,5),则(k-2)×(0-1)2=5,
2
∴k-2=5.∴y =5(x-1)2=5x2-10x+5.
2
当0≤x≤3时,根据y 的函数图象可知,y 的最大值=5×(3-1)2=20.(12分)
2 2
解法二:∵y +y 与y 是“同簇二次函数”,
1 2 1
且y+y=(a+2)x2+(b-4)x+8(a+2>0),
1 2
b-4 32(a+2)-(b-4)2
∴- =1,化简得b=-2a.又 =1,
2(a+2) 4(a+2)
将b=-2a代入,解得a=5,b=-10,
所以y=5x2-10x+5.
2
当0≤x≤3时,根据y 的函数图象可知,y 的最大值=5×32-10×3+5=20.(12分)
2 2
评析 本题考查了求二次函数的表达式,二次函数的性质(开口方向、增减性),属难题.
八、解答题
23.解析 (1)①60.(2分)
②证明:如图1,连结BE交MP于H点.
在正六边形ABCDEF中,PN∥CD,又BE∥CD∥AF,所以BE∥PN∥AF.
又PM∥AB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,△BPH为等边三角形.
所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分)
图1
(2)证明:如图2,连结BE,由(1)知AM=EN.
又AO=EO,∠MAO=∠NEO=60°,
所以△MAO≌△NEO.所以OM=ON.(9分)图2
(3)四边形OMGN是菱形.理由如下:
如图3,连结OE、OF,由(2)知∠MOA=∠NOE.
因为∠AOE=120°,
所以∠MON=∠AOE-∠MOA+∠NOE=120°.(11分)
由于OG平分∠MON,所以∠MOG=60°,
又∠FOA=60°,
所以∠MOA=∠GOF.
又AO=FO,∠MAO=∠GFO=60°,
所以△MAO≌△GFO.所以MO=GO.
又∠MOG=60°,所以△MGO为等边三角形.
同理可证△NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形.(14分)
图3
评析 本题是一道综合题,解题的关键是恰当地作出辅助线,根据三角形全等找出相等的线段,
属难题.
