2017年安徽省初中学业水平考试
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.
1
1. 的相反数是( )
2
1 1
A. B.- C.2 D.-2
2 2
2.计算(-a3)2的结果是( )
A.a6 B.-a6 C.-a5 D.a5
3.如图,一个放置在水平实验台上的锥形瓶,它的俯视图为( )
4.截至2016年年底,国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1 600亿美元.其中1 600亿用科学记数法表示为( )
A.16×1010 B.1.6×1010
C.1.6×1011 D.0.16×1012
5.不等式4-2x>0的解集在数轴上表示为( )
6.直角三角板和直尺如图放置.若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
7.为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况,随机抽查了其中100名学生进行统计,并绘成如图所示的频数直方图.已知该校共有1 000名学生,据此估计,该校五一期间参加社团活动时间在8~10小时之间的学生数大约是( )
A.280 B.240 C.300 D.260
8.一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足( )
A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16
C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16b
9.已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1.则一次函数y=bx+ac的图象可能是( )
x
1
10.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足S = S .则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为( )
△PAB
3
矩形ABCD
A.√29 B.√34 C.5√2 D.√41
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.27的立方根是 .
12.因式分解:a2b-4ab+4b= .
13.如图,已知等边△ABC的边长为6,以AB为直径的☉O与边AC,BC分别交于D,E两点,则劣弧 的长为 .
DE
⏜
14.在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30 cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图
形中有一个是平行四边形.则所得平行四边形的周长为 cm.
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.计算:|-2|×cos 60°-(1) -1 .
316.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:
今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数,物价各几何?
译文为:
现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问共有多少人?这个物品的价格是多少?
请解答上述问题.
四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A→B→D的路线可至山顶D处.假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的长.
(参考数据:sin 75°≈0.97,cos 75°≈0.26,√2≈1.41)
18.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点),以及过格点的直线l.
(1)将△ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形;
(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形;
(3)填空:∠C+∠E= °.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.【阅读理解】
n(n+1)
我们知道,1+2+3+…+n= ,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
2
⏟n+n+…+n n(n+1)
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;……;第n行n个圆圈中数的和为 ,即n2.这样,该三角形数阵中共有 个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.
2
n个n图1
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中
数的总和为:3(12+22+32+…+n2)= .因此,12+22+32+…+n2= .
图2
【解决问题】
12+22+32+…+2 0172
根据以上发现,计算 的结果为 .
1+2+3+…+2 017
20.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.
···
(1)求证:四边形AECD为平行四边形;
(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.六、(本题满分12分)
21.甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩如下:
甲:9,10,8,5,7,8,10,8,8,7;
乙:5,7,8,7,8,9,7,9,10,10;
丙:7,6,8,5,4,7,6,3,9,5.
(1)根据以上数据完成下表:
平均数 中位数 方差
甲 8 8
乙 8 8 2.2
丙 6 3
(2)依据表中数据分析,哪位运动员的成绩最稳定,并简要说明理由;
(3)比赛时三人依次出场,顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.
七、(本题满分12分)
22.某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元) 50 60 70
销售量y(千克) 100 80 60
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
八、(本题满分14分)
23.已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.
(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.
①求证:BE=CF;
②求证:BE2=BC·CE;
(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tan∠CBF的值.图1
图2
2017年安徽省初中学业水平考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B A B C D C A D B D
1 1
1.B 由相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,知 的相反数为- .
2 2
2.A (-a3)2=(-1)2·(a3)2=a6.
3.B 从上往下看只有B符合.
4.C 1 600亿=1.6×103×108=1.6×1011.
5.D 解4-2x>0得x<2,故选D.
6.C 如图所示,∠4=∠1+30°=50°,由平行线的性质可得∠5=∠4=50°,所以∠3=90°-∠5=40°,所以∠2=∠3=40°.
28
7.A 由题图可知,样本中参加社团活动的时间在8~10小时之间的有100-8-24-30-10=28(人),则该校1 000名学生中今年五一期间参加社团活动的时间在8~10小时之间的约有 ×1 000=280(人).
100
8.D 第一次降价后的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为25(1-x)2元,∴25(1-x)2=16,故选D.
9.B 因为抛物线与反比例函数的图象在第一象限有一个公共点,所以b>0,a≠0,且公共点的坐标为(1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选B.
10.D
1
如图,过P点作MN,使MN∥AB,作A点关于MN的对称点A,连接PA ,A B,则PA =PA,设点P到AB的距离为h,由AB=5,AD=3,S = S 可得h=2,则AA =4,因为PA+PB=PA +PB≥AB,所以当P为AB与MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为
1 1 1 1 △PAB
3
矩形ABCD 1 1 1 1
= ,故选D.
√42+52 √41
二、填空题
11. 答案 3
解析
由33=27知√327=3.
12. 答案 b(a-2)2
解析 a2b-4ab+4b=b(a2-4a+4)=b(a-2)2.
13. 答案 π60π×3
解析 连接OD,OE,因为在等边三角形ABC中,∠A=∠B=60°,又OA=OB=OE=OD=3,所以△OBE,△ODA都是等边三角形,所以∠AOD=∠BOE=60°,所以∠DOE=60°,所以劣弧 的长为 =π.
DE
180
⏜
80
14. 答案 40或 √3(只写出一个正确答案得3分)
3
AD x 1
解析 由已知可知△ADB≌△EDB,又∠A=90°,∠C=30°,所以∠ABD=∠EBD=∠C=30°,则CD=BD,设AD=DE=x cm,则CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin 30°= = = ,解得x=10,所以BD=20 cm,AB=10√3 cm.经分析可知满足题意的剪法有以下
BD 30-x 2
10
DE 20√3
两种:①取BD的中点F,连接EF,AF,沿EF剪开所得四边形ADEF是平行四边形,也是菱形,其边长DE为10 cm,故其周长为40 cm;②作∠EDB的平分线DM,沿DM剪开所得四边形是平行四边形,也是菱形,其边长DM= =√3= cm,故其周
cos30° 3
2
20√3 80 80
长为4× = √3 cm.综上,所求周长为40 cm或 √3 cm.
3 3 3
三、
1
15. 解析 原式=2× -3(6分)
2
=-2.(8分)
16. 解析 设共有x人.
根据题意,得8x-3=7x+4,(3分)
解得x=7.
所以这个物品的价格为8×7-3=53(元).(7分)
答:共有7人,这个物品的价格为53元.(8分)
四、
DF
17. 解析 在Rt△BDF中,由sin β= 可得,
BD
√2
DF=BD·sin β=600×sin 45°=600× =300√2≈423(m).(3分)
2
BC
在Rt△ABC中,由cos α= 可得,
AB
BC=AB·cos α=600×cos 75°≈600×0.26=156(m).(6分)
所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).(8分)
18. 解析 (1)如图所示.(3分)
(2)如图所示.(6分)
(3)45.(8分)
提示:∠AC F=∠C+∠E,连接AF,易证三角形AFC 是等腰直角三角形且∠AC F=45°.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
五、
n(n+1)(2n+1) n(n+1)(2n+1)
19. 解析 2n+1; ; .1 345.(前两空各3分,后两空各2分)(10分)
2 6
20. 证明 (1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.
∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°.
∴∠D+∠DAE=180°.∴AE∥DC.
∴四边形AECD是平行四边形.(5分)
(2)过点O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分别为M、N.
∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.
又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.(10分)
六、
21. 解析 (1)
平均数 中位数 方差
甲 8 8 2乙 8 8 2.2
丙 6 6 3
(4分)
(2)因为2<2.2<3,所以 < < .这说明甲运动员的成绩最稳定.(6分)
s2 s2 s2
甲 乙 丙
4 2
(3)三人的出场顺序有(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲乙),(丙乙甲),共6种,且每一种结果出现的可能性相等,其中,甲、乙相邻出场的结果有(甲乙丙),(乙甲丙),(丙甲乙),(丙乙甲),共4种,所以甲、乙相邻出场的概率P= = .(12分)
6 3
七、
22. 解析 (1)设y=kx+b(k≠0).
{50k+b=100, {k=-2,
由题意,得 解得
60k+b=80. b=200.
∴所求函数表达式为y=-2x+200.(4分)
(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8 000.(7分)
(3)W=-2x2+280x-8 000=-2(x-70)2+1 800,其中40≤x≤80.
∴ -当2<400,∵≤x<70时,W随x的增大而增大;
当70<x≤80时,W随x的增大而减小;
当售价为70元时,获得最大利润,最大利润为1 800元.(12分)
八、
23. 解析 (1)①证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°.
又∠AGB=90°,∴∠BAE+∠ABG=90°.
又∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF.
∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=CF.(4分)
②证明:∵∠AGB=90°,点M为AB的中点,
∴MG=MA=MB,∴∠GAM=∠AGM.
又∵∠CGE=∠AGM,从而∠CGE=∠CBG.
又∠ECG=∠GCB,∴△CGE∽△CBG.
CE CG
∴ = ,即CG2=BC·CE.
CG CB
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF,得CF=CG.
由①知,BE=CF,∴BE=CG.∴BE2=BC·CE.(9分)
图1
(2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1).
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB∥CD.
∴∠N=∠EAB.又∠CEN=∠BEA,
∴△CEN∽△BEA.
CE CN
故 = ,即BE·CN=AB·CE.
BE BA
∵AB=BC,BE2=BC·CE,∴CN=BE.
CN CG CF
由AB∥DN知, = = .
AM GM MB
又AM=MB,∴FC=CN=BE.
不妨令正方形的边长为1.
设BE=x,则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x).
√5-1 -√5-1 BE √5-1
解得x= ,x= (舍去).∴ = .
1 2 2 2 BC 2
FC BE √5-1
于是tan∠CBF= = = .(14分)
BC BC 2图2
解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x,
则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x).
√5-1 -√5-1 √5-1
解得x= ,x= (舍去),即BE= .
1 2
2 2 2
作GN∥BC交AB于N(如图2),
MN MB 1
则△MNG∽△MBC.∴ = = .
NG BC 2
设MN=y,则GN=2y,GM=√5y.
2y 1
GN AN y+
∵ = ,即√5-1= 2,
BE AB
2 1
1 1
解得y= .∴GM= .
2√5 2
从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上.
∴△AGB是直角三角形,且∠AGB=90°.
FC BE √5-1
由(1)知BE=CF,于是tan∠CBF= = = .(14分)
BC BC 2
