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2017 年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1.如图所示，点 到直线 的距离是（ ）
A．线段 的长度 B． 线段 的长度
C．线段 的长度 D．线段 的长度
2.若代数式 有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3. 右图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）
A． 三棱柱 B． 圆锥 C．四棱柱 D． 圆柱
4. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C. D．
5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．C. D．
6.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A． 6 B． 12 C. 16 D．18
7. 如果 ，那么代数式 的值是（ ）
A． -3 B． -1 C. 1 D．3
8.下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.
2011-2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图
（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）
根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）
A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B．2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C. 2011-2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9.小苏和小林在右图所示的跑道上进行4×50米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 （单位： ）与跑步时间 （单位： ）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（ ）
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C. 小苏前15 跑过的路程大于小林前15 跑过的路程
D．小林在跑最后100 的过程中，与小苏相遇2次
10. 下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.
下面有三个推断：
① 当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
② 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计
“钉尖向上”的概率是0.618；③ 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是（ ）
A．① B．② C. ①② D．①③
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：______________．
12. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，
求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为 元，足球的单价为 元，依题意，可列方程组为
____________．
13.如图，在 中， 分别为 的中点.若 ，则 ．
14.如图， 为 的直径， 为 上的点， .若 ，则
．
15.如图，在平面直角坐标系 中， 可以看作是 经过若干次图形的变化（平移、轴对
称、旋转）得到的，写出一中由 得到 的过程： ．16.下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知： ，求作 的外接圆.
作法：如图．
（1）分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点；
（2）作直线 ，交 于点 ；
（3）以 为圆心， 为半径作 .
即为所求作的圆.
请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题 （本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第
29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算： .
18. 解不等式组：
19.如图，在 中， ， 平分 交 于点 .
求证： .
20. 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两
邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相
补”原理复原了《海岛算经》九题古证.
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）
请根据上图完成这个推论的证明过程．
证明： ， （____________+____________）．
易知， ，_____________=______________，______________=_____________．可得 ．
21.关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求 的取值范围.
22. 如图，在四边形 中， 为一条对角线， ， 为
的中点，连接 .
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）连接 ，若 平分 ，求 的长.
23. 如图，在平面直角坐标系 中，函数 的图象与直线 交于点 .
（1）求 的值；
（2）已知点 ，过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，过点 作平行
于 轴的直线，交函数 的图象于点 .
①当 时，判断线段 与 的数量关系，并说明理由；
②若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围.24.如图， 是 的一条弦， 是 的中点，过点 作 于点 ，过点 作 的切线
交 的延长线于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径.
25.某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，
过程如下，请补充完整.
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90
75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83
80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩
人数
部门
甲 0 0 1 11 7 1
乙
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70--79分为生产技能良好，60--69分为生产技能合格，60
分以下为生产技能不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门 平均数 中位数 众数
甲 78.3 77.5 75
乙 78 80.5 81
得出结论：
.估计乙部门生产技能优秀的员工人数为____________；
.可以推断出_____________部门员工的生产技能水平较高，理由为_____________.（至少从两个不同
的角度说明推断的合理性）
26.如图， 是 所对弦 上一动点，过点 作 交 于点 ，连接 ，过点 作
于点 .已知 ，设 两点间的距离为 ， 两点间的距离为 .
（当点 与点 或点 重合时， 的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
0 2.0 2.3 2.1 0.9 0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 为等腰三角形时， 的长度约为____________ .
27.在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 （点 在点 的左侧），与
轴交于点 .
（1）求直线 的表达式；
（2）垂直于 轴的直线 与抛物线交于点 ，与直线 交于点 ，若
，结合函数的图象，求 的取值范围.
28.在等腰直角 中， ， 是线段 上一动点（与点 不重合），连接 ，
延长 至点 ，使得 ，过点 作 于点 ，交 于点 .
（1）若 ，求 的大小（用含 的式子表示）.
（2）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明.29．在平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在一点 ，使得
两点间的距离小于或等于1，则称 为图形 的关联点．
（1）当 的半径为2时，
①在点 中， 的关联点是_______________．
②点 在直线 上，若 为 的关联点，求点 的横坐标的取值范围．
（2） 的圆心在 轴上，半径为2，直线 与 轴、 轴交于点 ．若线段 上的所
有点都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5: BDACA 6-10: BCBDB
二、填空题
113. （答案不唯一）
12.
13. 3 14.25°
三、解答题
