2014 年南京市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共12分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是
符合题目要求的)
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
2.计算(-a2)3的结果是( )
A.a5 B.-a5C.a6 D.-a6
3.若△ABC∽△A'B'C',相似比为1∶2,则△ABC与△A'B'C'的面积的比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
4.下列无理数中,在-2与1之间的是( )
A.-√5 B.-√3 C.√3 D.√5
5.8的平方根是( )
A.4 B.±4 C.2√2 D.±2√2
6.如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是(
)
(3 ) ( 2 ) (3 ) ( 1 )
A. ,3 、 - ,4 B. ,3 、 - ,4
2 3 2 2
(7 7) ( 2 ) (7 7) ( 1 )
C. , 、 - ,4 D. , 、 - ,4
4 2 3 4 2 2
第Ⅱ卷(非选择题,共108分)
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在
相应位置上)
7.-2的相反数是 ;-2的绝对值是 .
8.截止2013年底,中国高速铁路营运里程达到11 000 km,居世界首位.将11 000用科学记数
法表示为 .
9.使式子1+√x有意义的x的取值范围是 .10.2014年南京青奥会某项目6名礼仪小姐的身高如下(单位:cm):168,166,168,167,169,168,则
她们的身高的众数是 cm,极差是 cm.
k
11.已知反比例函数y= 的图象经过点A(-2,3),则当x=-3时,y= .
x
12.如图,AD是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠BAD= °.
13.如图,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连结BC.若AB=2√2 cm,∠BCD=22°30',则
☉O的半径为 cm.
14.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若圆锥的底面圆的半径r=2 cm,
扇形的圆心角θ=120°,则该圆锥的母线长l为 cm.
15.铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过 160 cm.某厂家生产符合该
规定的行李箱,已知行李箱的高为30 cm,长与宽的比为3∶2,则该行李箱的长的最大值为
cm.
16.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y<5时,x的取值范围是 .
三、解答题(本大题共11小题,共88分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
{ 3x≥x+2,
17.(6分)解不等式组
4x-2<x+4.4 1
18.(6分)先化简,再求值: - ,其中a=1.
a2-4 a-2
19.(8分)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?为什么?
20.(8分)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者.求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是甲;
(2)抽取2名,甲在其中.21.(8分)为了了解某市120 000名初中学生的视力情况,某校数学兴趣小组收集有关数据,并
进行整理分析.
(1)小明在眼镜店调查了1 000名初中学生的视力,小刚在邻居中调查了20名初中学生的视
力.他们的抽样是否合理?请说明理由;
(2)该校数学兴趣小组从该市七、八、九年级各随机抽取了1 000名学生进行调查,整理他们
的视力情况数据,得到如下的折线统计图.
请你根据抽样调查的结果,估计该市120 000名初中学生视力不良的人数是多少.22.(8分)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本,其中固定成本每年均为4万元,
可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的
百分率为x.
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元;
(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x.
23.(8分)如图,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上.当梯子位于AB位置时,它与地面所
成的角∠ABO=60°;当梯子底端向右滑动1 m(即BD=1 m)到达CD位置时,它与地面所成的
角∠CDO=51°18'.求梯子的长.
(参考数据:sin 51°18'≈0.780,cos 51°18'≈0.625,tan 51°18'≈1.248)
24.(8分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公
共点?25.(9分)从甲地到乙地,先是一段平路,然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发,到达乙地后
立即原路返回甲地,途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速
前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5 km,下坡的速度比在平路上的
速度每小时多5 km.设小明出发x h后,到达离甲地y km的地方,图中的折线OABCDE表示
y与x之间的函数关系.
(1)小明骑车在平路上的速度为 km/h;他途中休息了 h;
(2)求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式;
(3)如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15 h,那么该地点离甲地多远?
26.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,☉O为△ABC的内切圆.
(1)求☉O的半径;
(2)点P从点B沿边BA向点A以1 cm/s的速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆.设点
P运动的时间为t s.若☉P与☉O相切,求t的值.27.(11分)【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法
(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行
研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.然后,对∠B
进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图,在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道
Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图,在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E 都是钝角.求证:
△ABC≌△DEF.
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图中作出
△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接填写结论:
在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E 都是锐角,若 ,则
△ABC≌△DEF.答案全解全析：
一、选择题
1.C 选项A、D是轴对称图形,不是中心对称图形,B是中心对称图形,不是轴对称图形,只有
C符合题意.故选C.
2.D (-a2)3=-a2×3=-a6,故选D.
3.C 相似三角形的面积比等于相似比的平方,故选C.
4.B 因为-√5<-2,√5>√3>1,-2<-√3<1,故选B.
5.D 一个正数a有两个平方根,是±√a,所以8的平方根是±√8=±2√2,故选D.
6.B 过点A作AA ⊥x轴于点A,过点B作BB ⊥x轴于点B ,过点C作B B的垂线,交B B的
1 1 1 1 1 1
延长线于点D,如图所示,易知△AOA≌△BCD,故点B的纵坐标是4-1=3,从而由△AOA∽△OBB
1 1 1
得OA
1
= A A
1
,解得OB
1
=3,所以B(3
,3
),故点C的横坐标为3-2=-1,即C(
-
1
,4
),故选
BB OB 2 2 2 2 2
1 1
B.
二、填空题
7.答案 2;2
解析 a的相反数是-a,负数a的绝对值是-a.
8.答案 1.1×104
解析 由科学记数法的定义知11 000=1.1×104.
9.答案 x≥0
解析 要使式子1+√x有意义,需满足x≥0.
10.答案 168;3
解析 因为168出现了3次,次数最多,故众数是168 cm,极差是169-166=3 cm.
11.答案 2
k 6
解析 把A(-2,3)代入y= ,得k=-2×3=-6,所以y=- ,当x=-3时,y=2.
x x
12.答案 72
180°-108°
解析 正五边形的每一个内角都为 108°,∴∠EAD= =36°,故∠BAD=∠EAB-
2
∠EAD=108°-36°=72°.
13.答案 2
解 析 连 结 AC 、 AO 、 OB,∵AB⊥CD,∴∠ACB=2∠BCD=45°,∠AOB=2∠ACB=90°, 又
OA=OB,由勾股定理知OA2+OB2=AB2,得OA=OB=2 cm,∴☉O的半径为2 cm.
14.答案 6
120
解析 由题意得2π×2= πl,故l=6 cm.
18015.答案 78
解析 设行李箱的长、宽分别为 3x cm、2x cm,则由条件得3x+2x+30≤160,解得x≤26,故
3x≤78.即行李箱的长的最大值是78 cm.
16.答案 0<x<4
解析 由抛物线的对称性及题中表格可知,当x=0或4时,y=5,又抛物线开口向上,故当0<x<4
时,y<5.
三、解答题
17.解析 解不等式3x≥x+2,得x≥1.
解不等式4x-2<x+4,得x<2.
所以不等式组的解集是1≤x<2.(6分)
4 1
18.解析 -
a2-4 a-2
4 a+2
= -
(a+2)(a-2) (a+2)(a-2)
4-(a+2) 2-a
= =
(a+2)(a-2) (a+2)(a-2)
-(a-2) 1
= =- .
(a+2)(a-2) a+2
1 1
当a=1时,原式=- =- .(6分)
1+2 3
19.解析 (1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB,
∴四边形DBFE是平行四边形.(4分)
(2)答案不唯一,下列解法供参考.
当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.
理由:∵D是AB的中点,
1
∴BD= AB.
2
∵DE是△ABC的中位线,
1
∴DE= BC.
2
∴ ABDB==BDCE,.∵
又∵四边形DBFE是平行四边形,
∴四边形DBFE是菱形.(8分)
20.解析 (1)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取1名环保志愿者,每1名同学被抽到的机会相
1
等,故恰好是甲的概率是 .(3分)
3
(2)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取2名环保志愿者,所有可能出现的结果有(甲,乙)、(甲,
丙)、(乙,丙),共3种,它们出现的可能性相同.所有的结果中,满足“甲在其中”(记为事件A)
2
的结果有2种,所以P(A)= .(8分)
3
21.解析 (1)他们的抽样都不合理.
因为如果这1 000名初中学生全部在眼镜店抽取,那么该市每名初中学生被抽到的机会不相
等,样本不具有代表性;如果只抽取20名初中学生,那么样本容量过小,样本不具有广泛性.(4
分)1 000×49%+1 000×63%+1 000×68%
(2) ×120 000
1 000+1 000+1 000
=72 000(名).
答:估计该市120 000名初中学生视力不良的人数是72 000名.(8分)
22.解析 (1)2.6(1+x)2.(4分)
(2)根据题意得4+2.6(1+x)2=7.146.
解这个方程得x=0.1,x =-2.1(不合题意,舍去).
1 2
答:可变成本平均每年增长的百分率是10%.(8分)
23.解析 设梯子的长为x m.
OB
在Rt△ABO中,cos∠ABO= ,
AB
1
∴OB=AB·cos∠ABO=x·cos 60°= x.
2
OD
在Rt△CDO中,cos∠CDO= ,
CD
∴OD=CD·cos∠CDO=x·cos 51°18'≈0.625x.
1
∴ B0.D62=5OxD- -Ox=B1,∵.
2
解得x=8.
答:梯子的长约为8 m.(8分)
24.解析 (1)证法一:因为(-2m)2-4(m2+3)=-12<0,
所以方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根.
所以不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.(4分)
证法二:因为a=1>0,所以该函数的图象开口向上.
又因为y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,
所以该函数的图象在x轴的上方.
所以不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点.(4分)
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3.
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶
点坐标是(m,0),因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x
轴只有一个公共点.(8分)
25.解析 (1)15;0.1.(2分)
(2)因为小明骑车在平路上的速度为15 km/h,所以小明骑车上坡的速度为10 km/h,下坡的速
度为20 km/h.
6.5-4.5 6.5-4.5
由题图可知,小明骑车上坡所用的时间是 =0.2(h),下坡所用的时间是
10 20
=0.1(h).所以B、C两点的坐标分别是(0.5,6.5)、(0.6,4.5).
当 x=0.3 时,y=4.5,所以线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=4.5+10(x-0.3),即
y=10x+1.5(0.3≤x≤0.5);当x=0.5时,y=6.5,所以线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为
y=6.5-20(x-0.5),即y=-20x+16.5(0.5≤x≤0.6).(6分)
(3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为 0.15 h,根据题意,这个地点只能在坡路上.设小
明第一次经过该地点的时间为t h,则第二次经过该地点的时间为(t+0.15)h.
根据题意,得10t+1.5=-20(t+0.15)+16.5.
解得t=0.4.
所以y=10×0.4+1.5=5.5.
答:该地点离甲地5.5 km.(9分)26.解析 (1)如图①,设☉O与AB、BC、CA的切点分别是D、E、F,连结OD、OE、OF.
则AD=AF,BD=BE,CE=CF,
OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.
又∵∠C=90°,
∴四边形CEOF是矩形.
又∵OE=OF,
∴四边形CEOF是正方形.
设☉O的半径为r cm,则FC=EC=OE=r cm.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,
∴AB= =5 cm.
√AC2+BC2
∵AD=AF=AC-FC=(4-r)cm,BD=BE=BC-EC=(3-r)cm,
∴4-r+3-r=5.
解得r=1,即☉O的半径为1 cm.(3分)
图① 图②
(2)过点P作PG⊥BC,垂足为G.
∵∠PGB=∠C=90°,
∴PG∥AC.
∴△PBG∽△ABC.
PG BG BP
∴ = = .
AC BC BA
又∵BP=t,
4 3
∴PG= t,BG= t.
5 5
若☉P与☉O相切,则可分为两种情况:☉P与☉O外切,☉P与☉O内切.
如图②,当☉P与☉O外切时,连结OP,则OP=1+t.
过点P作PH⊥OE,垂足为H.
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,
∴四边形PHEG是矩形.
∴HE=PG,PH=GE.
4
∴OH=OE-HE=1- t,
5
3 3
PH=GE=BC-EC-BG=3-1- t=2- t.
5 5
在Rt△OPH中,由勾股定理,得( 4 ) 2 +( 3 ) 2 =(1+t)2.解得t=2.
1- t 2- t
5 5 3
如图③,当☉P与☉O内切时,连结OP,则OP=t-1.
过点O作OM⊥PG,垂足为M.
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,
∴四边形OEGM是矩形.
∴MG=OE,OM=EG.
4
∴PM=PG-MG= t-1,
5
3 3
OM=EG=BC-EC-BG=3-1- t=2- t.
5 5
在Rt△OPM中,由勾股定理,
得(4 ) 2 +( 3 ) 2 =(t-1)2,解得t=2.
t-1 2- t
5 5
图③
2
综上,若☉P与☉O相切,则t= 或2.(8分)
3
27.解析 (1)HL.(2分)
(2)证明:如图①,分别过点C、F作对边AB、DE上的高CG、FH,其中G、H为垂足.
∵∠ABC、∠DEF都是钝角,
∴G、H分别在AB、DE的延长线上.
∵CG⊥AG,FH⊥DH,
∴∠CGA=∠FHD=90°.
∵∠CBG=180°-∠ABC,∠FEH=180°-∠DEF,∠ABC=∠DEF,∴∠CBG=∠FEH.
在△BCG和△EFH中,
∵∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF,
∴△BCG≌△EFH.
∴CG=FH.
又∵AC=DF,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH.
∴∠A=∠D.
在△ABC和△DEF中,
∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF.(6分)图①
(3)如图②,△DEF就是所求作的三角形.
图②
(9分)
(4)本题答案不唯一,下列解法供参考.
∠B≥∠A.(11分)
