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2014 年重庆市初中毕业暨高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 ) b
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 - , ,对称轴为x=- .
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共48分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的.
1.实数-17的相反数是( )
1 1
A.17 B. C.-17 D.-
17 17
2.计算2x6÷x4的结果是( )
A.x2 B.2x2 C.2x4 D.2x10
3.在√a中,a的取值范围是( )
A.a≥0 B.a≤0 C.a>0 D.a<0
4.五边形的内角和是( )
A.180° B.360° C.540° D.600°
5.2014年1月1日零点,北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是-4 ℃、5 ℃、6 ℃、-8 ℃,
当时这四个城市中,气温最低的是( )
A.北京 B.上海 C.重庆 D.宁夏
2
6.关于x的方程 =1的解是( )
x-1
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1
7.2014年8月26日,第二届青奥会将在南京举行,甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运
动会积极准备.在某天“110米跨栏”训练中,每人各跑5次,据统计,他们的平均成绩都是13.2
秒,甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.11、0.03、0.05、0.02.则当天这四位运动员“110
米跨栏”的训练成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.如图,直线AB∥CD,直线EF分别交直线AB、CD于点E、F,过点F作FG⊥FE,交直线AB于
点G.若∠1=42°,则∠2的大小是( )
A.56° B.48° C.46° D.40°
9.如图,△ABC的顶点A、B、C均在☉O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是( )A.30° B.45° C.60° D.70°
10.2014年5月10日上午,小华同学接到通知,她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔,需尽
快上交该作文的电子文稿.接到通知后,小华立即在电脑上打字录入这篇文稿,录入一段时间
后因事暂停,过了一会儿,小华继续录入并加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始
所经过的时间为x,录入字数为y,下面能反映y与x的函数关系的大致图象是( )
11.如图,下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1
的正方形有2个,第(2)个图形中面积为1的正方形有5个,第(3)个图形中面积为1的正方形有
9个,…,按此规律,则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )
A.20 B.27 C.35 D.40
6
12.如图,反比例函数y=- 在第二象限的图象上有两点A、B,它们的横坐标分别为-1、-3,直
x
线AB与x轴交于点C,则△AOC的面积为( )
A.8 B.10 C.12 D.24
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)
{ x=3,
13.方程组 的解是 .
x+ y=5
14.据有关部门统计,截止到2014年5月1日,重庆市私家小轿车已达到563 000辆,将563
000这个数用科学记数法表示为 .
15.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为 .16.如图,△OAB中,OA=OB=4,∠A=30°,AB与☉O相切于点C,则图中阴影部分的面积为
.(结果保留π)
17.从-1,1,2这三个数字中,随机抽取一个数,记为a.那么,使关于x的一次函数y=2x+a的图象
1 {x+2≤a,
与x轴、y轴围成的三角形面积为 ,且使关于x的不等式组
有解
的概率为
4 1-x≤2a ··
.
18.如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,
连结BE.过点C作CF⊥BE,垂足是F,连结OF,则OF的长为 .
三、解答题(本大题共2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题都必须写出必要的演算过
程或推理步骤.
(1) -1
19.计算:√4+(-3)2-2 0140×|-4|+ .
6
3
20.如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD= ,求sin C的值.
4四、解答题(本大题共4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题都必须写出必要的演算
过程或推理步骤.
1 (x2+1 2 ) 1
21.先化简,再求值: ÷ - + ,其中x的值为方程2x=5x-1的解.
x x2-x x-1 x+1
22.为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生.某镇统计了该镇
今年1~5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图:
(1)该镇今年1~5月新注册小型企业一共有 家,请将折线统计图补充完整;
(2)该镇今年3月新注册的小型企业中,只有2家是餐饮企业.现从3月新注册的小型企业中随
机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都
是餐饮企业的概率.23.为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅
览室.经预算,一共需要筹资30 000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于
购买书刊.
(1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资
金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,
赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20 000元.经筹委会进一步宣传,自愿
参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0),则每户平均集资的资金在150元的基础
10
上减少了 a%,求a的值.
924.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是 D,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E.在
△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连结MC,交AD于点N,连结ME.
求证:①ME⊥BC;②DE=DN.
五、解答题(本大题共2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题都必须写出必要的演算
过程或推理步骤.
25.如图,抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点
C,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点
··
E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,若点P在
点Q左边,当矩形PMNQ的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连结DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线,
与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2√2DQ,求点F的坐标.20
26.已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD= ,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对
3
称点,连结AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过
的线段长度),当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值;
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A'BF',在旋
转过程中,设A'F'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q
两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.答案全解全析：
一、选择题
1.A 根据相反数的定义知,-17的相反数为-(-17)=17.故选A.
2.B 2x6÷x4=2x2,故选B.
3.A 二次根式的被开方数为非负数,即a≥0,故选A.
4.C 五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,故选C.
5.D 根据正数都大于 0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数绝对值大的反而小
得-8<-4<5<6,∴气温最低的是宁夏,故选D.
6.B 去分母,得x-1=2,解得x=3.经检验,x=3是原分式方程的根,故选B.
7.D 方差是描述一组数据波动大小的量,方差越大,数据的波动就越大,甲、乙、丙、丁的成
绩的方差最小的是丁,则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是丁.故选D.
8.B ∵AB∥CD,∠1=42°,∴∠EFD=42°.
∵FG⊥EF,∴∠EFG=90°,则∠2=180°-∠EFD-∠EFG=48°,∴选B.
1
9.C 根据圆周角定理知,∠ABC= ∠AOC,∵∠ABC+∠AOC=90°,∴∠AOC=60°.故选C.
2
10.C 接到通知后,小华立即在电脑上打字录入这篇文稿,所以函数图象平缓上升;录入一段
时间后因事暂停,录入字数不变;过了一会儿,小华继续录入并加快了录入速度,函数图象上升,
且比开始时上升得快.综合这些信息可知答案为C.
11.B 第(1)个图形中面积为1的正方形有2个,第(2)个图形中面积为1的正方形有2+3=5个,
第(3)个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个,…,按此规律,第n个图形中面积为1的正方形
n(n+3) 6×(6+3)
有2+3+4+…+(n+1)= 个,则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为
2 2
=27.故选B.
评析 本题考查了图形的变化规律.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.
解决这类问题的基本思路是通过观察、分析若干特殊情形,归纳总结出一般性结论,然后验证结论的正确性.
12.C 由题意知A(-1,6),B(-3,2),
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
{-k+b=6, {k=2,
则 解得
-3k+b=2, b=8,
∴y=2x+8,当y=0时,x=-4,即CO=4,
1
∴△AOC的面积为 ×6×4=12.故选C.
2
二、填空题
{x=3
13.答案
y=2
{ x=3, {x=3,
解析 把x=3代入x+y=5得y=2,所以方程组 的解是
x+ y=5 y=2.
14.答案 5.63×105
解析 563 000是一个6位整数,所以563 000用科学记数法可表示为5.63×105.
评析 科学记数法是将一个数写成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.
15.答案 28
解析 ∵菱形ABCD中,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形.
∴ BADB==77,,∵则菱形ABCD的周长为7×4=28.
4
16.答案 4√3- π
3
解 析 设 OA,OB 分 别 与 ☉ O 交 于 D,E 两 点 ,∵AB 与 ☉ O 相 切 于 点
C,∴OC⊥AB.∵OA=OB=4,∠A=30°,∴∠B=∠A=30°,OC=2.∴∠AOB=120°,AB=4√3.则题图中阴
1 120×π×22 4
影部分的面积=S -S = ×4√3×2- =4√3- π.
△AOB 扇形ODE 2 360 3
1
17.答案
3
解析 一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为( a )、(0,a).一次函数的
- ,0
2
1 1 1
图象与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积为 ,即 a2= ,解得 a=±1.使关于 x 的不等式组
4 4 4
{x+2≤a, 1
有解的a值为1.所以所求概率为 .
1-x≤2a 3
6
18.答案 √5
5
解析 如图,在BE上截取BG=CF,连结OG,
∵CF⊥BE,∴∠EBC+∠BCF=90°.
又∵∠ECF+∠BCF=90°,
∴∠EBC=∠ECF,∵∠OBC=∠OCD=45°,∴∠OBG=∠OCF.
在△OBG与△OCF中,
{
OB=OC,
∠OBG=∠OCF,
BG=CF,
∴△OBG≌△OCF(SAS),
∴OG=OF,∠BOG=∠COF,∴OG⊥OF.
∴ BECC==2D,C=6,DE=2EC,∵
∴BE= = =2 ,
√BC2+CE2 √62+22 √10
∵BC2=BF·BE,
∴62=BF·2√10,
9√10
解得BF= ,
5
√10
∴EF=BE-BF= ,
5
∵CF2=BF·EF,
3√10
∴CF= ,
5
6√10
∴GF=BF-BG=BF-CF= .
5
1
在等腰直角△OGF中,OF2= GF2,
2
6√5
∴OF= .
5
三、解答题
19.解析 原式=2+9-1×4+6(5分)
=13.(7分)
BD
20.解析 ∵AD⊥BC,∴tan∠BAD= ,(1分)
AD
3
∵tan∠BAD= ,AD=12,
4
3 BD
∴ = ,(2分)
4 12
∴BD=9.(3分)
∴CD=BC-BD=14-9=5,(4分)
∴在Rt△ADC中,AC= = =13,(6分)
√AD2+CD2 √122+52
AD 12
∴sin C= = .(7分)
AC 13
四、解答题
21.解析 原式=1÷[ x2+1 2 ]+ 1 (1分)
-
x x(x-1) x-1 x+11 x2+1-2x 1
= ÷ + (2分)
x x(x-1) x+1
1 x(x-1) 1
= · + (4分)
x (x-1)2 x+1
1 1
= + (6分)
x-1 x+1
x+1 x-1 2x
= + = .(7分)
(x+1)(x-1) (x+1)(x-1) x2-1
1
解方程2x=5x-1得x= ,(9分)
3
1
2×
1 3 3
当x= 时,原式= =- .(10分)
3 (1) 2 4
-1
3
22.解析 (1)16.(2分)
补图如下:
今年1~5月各月新注册小型企业数量折线统计图
(5分)
(2)用A,A 表示餐饮企业,B ,B 表示非餐饮企业,画树状图如下:
1 2 1 2
(8分)
或列表如下:
A A B B
1 2 1 2
A (A ,A ) (A ,B ) (A ,B )
1 1 2 1 1 1 2
A (A ,A ) (A ,B ) (A ,B )
2 2 1 2 1 2 2
B (B ,A ) (B ,A ) (B ,B )
1 1 1 1 2 1 2
B (B ,A ) (B ,A ) (B ,B )
2 2 1 2 2 2 1
(8分)
由树状图或列表可知,共有12种等可能情况,其中所抽取的企业恰好都是餐饮企业的有2种.
2 1
所以,所抽取的企业恰好都是餐饮企业的概率为P= = .(10分)
12 6
23.解析 (1)设用于购买书桌、书架等设施的资金为x元,由题意,得30 000-x≥3x,(3分)
解得,x≤7 500.
答:最多花7 500元资金购买书桌、书架等设施.(5分)(2)由题意,得200(1+a%)·150( 10 )=20 000.(8分)
1- a%
9
设x=a%,则3(1+x)( 10 )=2,整理得,10x2+x-3=0,
1- x
9
解得x=-0.6(舍),x =0.5,(9分)
1 2
∴a%=0.5,∴a=50.(10分)
24.证明 如图.
(1)∵∠BAC=90°,AF⊥AE,
∴∠1+∠EAC=90°,∠2+∠EAC=90°,
∴∠1=∠2.(1分)
又∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°.
∵FC⊥BC,
∴∠FCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°,
∴∠B=∠FCA,(2分)
∴△ABE≌△ACF(ASA).(3分)
∴BE=CF.(4分)
(2)①过E作EG⊥AB于点G.
∵∠B=45°,∴△GBE是等腰直角三角形,
∴BG=EG,∠3=45°.(5分)
∵AD⊥BC,AE平分∠BAD,∴EG=ED,∴BG=ED.
∴ BBMM==22EBDG,,∵即G是BM的中点.(6分)
∴EG是BM的垂直平分线,∴EB=EM,∴∠4=∠3=45°,
∴∠MEB=∠4+∠3=45°+45°=90°,即ME⊥BC.(7分)
②AD⊥BC,∴ME∥AD,∴∠5=∠6.
∵∠1=∠5,∴∠1=∠6,∴AM=EM.
∵MC=MC,∴Rt△AMC≌Rt△EMC(HL),(8分)
∴∠7=∠8.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ACB=45°,∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠5=∠7=22.5°,AD=CD.
∵∠ADE=∠CDN=90°,∴△ADE≌△CDN(ASA),(9分)
∴DE=DN.(10分)
评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,角平分线的性质
定理,构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键.
五、解答题
25.解析 (1)对y=-x2-2x+3,
令x=0,得y=3,则C(0,3).(1分)
令y=0,得-x2-2x+3=0,解得x=-3,x=1,
1 2
∴A(-3,0),B(1,0).(3分)-2
(2)由x=- =-1得抛物线的对称轴为直线x=-1.(4分)
2×(-1)
设点M(x,0),P(x,-x2-2x+3),其中-3
