2022 年重庆市初中学业水平考试
一、选择题(每小题4分,共48分,下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正
确的.)
1.(2022重庆A卷,1,4分)5的相反数是 ( )
1 1
A.-5 B.5 C.- D.
5 5
2.(2022重庆A卷,2,4分)下列图形是轴对称图形的是 ( )
A
B
C
D
3.(2022重庆A卷,3,4分)如图,直线AB,CD被直线CE所截,AB∥CD,∠C=50°,
则∠1的度数为 ( )
A.40° B.50° C.130° D.150°
4.(2022重庆A卷,4,4分)如图,曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度
h(m)随飞行时间t(s)的变化情况,则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 ( )
A.5 m B.7 m C.10 m D.13 m5.(2022重庆A卷,5,4分)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比
为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是 ( )
A.4 B.6 C.9 D.16
6.(2022重庆A卷,6,4分)用正方形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案
中有5个正方形,第②个图案中有9个正方形,第③个图案中有13个正方形,第
④个图案中有17个正方形,按此规律排列下去,则第⑨个图案中正方形的个数为
( )
A.32 B.34 C.37 D.41
7.(2022重庆A卷,7,4分)估计√3×(2√3+√5)的值应在 ( )
A.10和11之间 B.9和10之间
C.8和9之间 D.7和8之间
8.(2022重庆A卷,8,4分)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽
件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是
( )
A.200(1+x)2=242 B.200(1-x)2=242
C.200(1+2x)=242 D.200(1-2x)=242
9.(2022重庆A卷,9,4分)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,
点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为 ( )
A.45° B.60° C.67.5°D.77.5°
10.(2022重庆A卷,10,4分)如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O
于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是
( )A.3 B.4 C.3√3 D.4√2
{
4x-1
x-1≥ ,
11.(2022重庆A卷,11,4分)若关于x的一元一次不等式组 3 的解集
5x-1<a
y-1 a
为x≤-2,且关于y的分式方程 = -2的解是负整数,则所有满足条件的整
y+1 y+1
数a的值之和是 ( )
A.-26 B.-24 C.-15 D.-13
12.(2022重庆A卷,12,4分)在多项式x-y-z-m-n中任意加括号,加括号后仍只
有减法运算,然后按给出的运算顺序重新运算,称此为“加算操作”.例如:(x-
y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n,x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n,…….
下列说法:
①至少存在一种“加算操作”,使其运算结果与原多项式相等;
②不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.
其中正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2022重庆A卷,13,4分)计算:|-4|+(3-π)0= .
14.(2022重庆A卷,14,4分)有三张完全一样正面分别写有字母A,B,C的卡片.
将其背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片上的字母后放回洗匀,再从中
随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是 .
15.(2022重庆A卷,15,4分)如图,菱形ABCD中,分别以点A,C为圆心,AD,CB
长为半径画弧,分别交对角线AC于点E,F.若AB=2,∠BAD=60°,则图中阴影部分
的面积为 .(结果不取近似值)
16.(2022重庆A卷,16,4分)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙
三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为
5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数
量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费
用与实际购买红枫的总费用之比为 .
三、解答题(本大题共2个小题,每小题8分,共16分)
17.(2022重庆A卷,17,8分)计算:(1)(x+2)2+x(x-4);
(a ) a2-b2
(2) -1 ÷ .
b 2b
18.(2022重庆A卷,18,8分)在学习矩形的过程中,小明遇到了一个问题:在矩形
ABCD中,E是AD边上的一点,试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的
关系.他的思路是:首先过点E作BC的垂线,将其转化为证明三角形全等,然后根
据全等三角形的面积相等使问题得到解决.请根据小明的思路完成下面的作图与
填空:
证明:用直尺和圆规,过点E作BC的垂线EF,垂足为F(只保留作图痕迹).
在△BAE和△EFB中,
∵EF⊥BC,
∴∠EFB=90°.
又∠A=90°,
∴ ①
∵AD∥BC,
∴ ②
又 ③
∴△BAE≌△EFB(AAS).
同理可得 ④
1 1 1
∴S =S +S = S + S = S .
△BCE △EFB △EFC 矩形ABFE 矩形EFCD 矩形ABCD
2 2 2
四、解答题(本大题共7个小题,每小题10分,共70分)
19.(2022重庆A卷,19,10分)公司生产A、B两种型号的扫地机器人,为了解它
们的扫地质量,工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台,
在完全相同条件下试验,记录下它们的除尘量的数据(单位:g),并进行整理、描
述和分析(除尘量用x表示,共分为三个等级:合格80≤x<85,良好85≤x<95,优
秀x≥95),下面给出了部分信息:
10台A型扫地机器人的除尘量:83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为85,90,90,90,94.
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型 众 “优秀”等级所
平均数中位数 方差
号 数 占百分比
A 90 89 a 26.6 40%
B 90 b 90 30 30%
抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ,m= ;
(2)这个月公司生产B型扫地机器人共3 000台,估计该月B型扫地机器人“优
秀”等级的台数;
(3)根据以上数据,你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好?请
说明理由(写出一条理由即可).
20.(2022重庆A卷,20,10分)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数
4
y= 的图象相交于点A(1,m),B(n,-2).
x
(1)求一次函数的表达式,并在图中画出这个一次函数的图象;
4
(2)根据函数图象,直接写出不等式kx+b> 的解集;
x
(3)若点C是点B关于y轴的对称点,连接AC,BC,求△ABC的面积.
21.(2022重庆A卷,21,10分)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、
乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑
行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲
骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲
骑行的速度.22.(2022重庆A卷,22,10分)如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是
沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200米.点E在点A
的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100米.点B在点A的北偏东30°方向,
点D在点E的北偏东45°方向.
(1)求步道DE的长度(精确到个位);
(2)点D处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,
也可以经过点E到达点D.请计算说明小红走哪一条路较近.
(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)
23.(2022重庆A卷,23,10分)若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和
恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数,则这个四位数M为“勾股和
数”.
例如:M=2 543,∵32+42=25,∴2 543是“勾股和数”.
又如:M=4 325,∵52+22=29,29≠43,
∴4 325不是“勾股和数”.
(1)判断2 022,5 055是不是“勾股和数”,并说明理由;
(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字
c+d |10(a-c)+(b-d)|
为d,记G(M)= ,P(M)= .当G(M),P(M)均是整数时,求
9 3
出所有满足条件的M.
1
24.(2022重庆A卷,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c
2
与直线AB交于点A(0,-4),B(4,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是直线AB下方拋物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,
过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标;
(3)在(2)中PC+PD取得最大值的条件下,将该抛物线沿水平方向向左平移5个
单位,点E为点P的对应点,平移后的抛物线与y轴交于点F,M为平移后的抛物
线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点E,F,M,N为顶点
的四边形是平行四边形,写出所有符合条件的点N的坐标,并写出求解点N的坐
标的其中一种情况的过程.备用图
25.(2022重庆A卷,25,10分)如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,点D,E分别是边
AB,AC上一动点,连接BE交直线CD于点F.
(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,∠BCD=∠CBE,求∠CFE的度数;
(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转
60°得到线段CM,连接MF,点N是MF的中点,连接CN.在点D,E运动过程中,猜
想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系,并证明你的猜想;
(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到
△ABP,点H是AP的中点,点K是线段PF上一点,将△PHK沿直线HK翻折至
△PHK所在平面内得到△QHK,连接PQ.在点D,E运动过程中,当线段PF取得最
PQ
小值,且QK⊥PF时,请直接写出 的值.
BC
图1
图2
备用图2022 年重庆市初中学业水平考试
1.A 根据相反数的定义可知5的相反数是-5.故选A.
2.D 将一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形,四个选项
中只有D符合,故选D.
3.C ∵AB∥CD,∴∠1+∠C=180°.
∵∠C=50°,∴∠1=130°.故选C.
4.D 题中函数图象的纵坐标表示这只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度,观察题图可知这只蝴蝶
飞行的最高高度约为13 m,故选D.
5.B 设△DEF的周长是x,
∵△ABC与△DEF位似,相似比为2∶3,△ABC的周长为4,
∴4∶x=2∶3,解得x=6,故选B.
6.C 第①个图案中有5个正方形;第②个图案中有9个正方形,即5+4=5+4×1;第③个图案中有
13个正方形,即5+4+4=5+4×2;第④个图案中有17个正方形,即5+4+4+4=5+4×3;……以此类
推,第 个图案中正方形的个数为5+4(n-1)=4n+1.
当n=9时,4n+1=4×9+1=37.故选C.
7.B √3×(2√3+√5)=6+√15.∵√9<√15<√16,∴3<√15<4,∴9<6+√15<10.故选B.
8.A ∵快递店揽件日平均增长率为x,第一天揽件200件,∴第三天的揽件量为200×(1+x)2,又
第三天揽件242件,∴可列方程200(1+x)2=242.故选A.
9.C ∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAF=∠B=∠ADC=90°,∠BAC=45°.
1
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= ∠BAC=22.5°.
2
在△DAF和△ABE中,
{
DA=AB,
∠DAF=∠B,
AF=BE,
∴△DAF≌△ABE(SAS),∴∠ADF=∠BAE=22.5°,
∴∠CDF=∠ADC-∠ADF=90°-22.5°=67.5°.故选C.
10.C 连接OB.∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,
∴∠AOB=∠OBD+∠D=2∠D.
∵AB是☉O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°.
∵∠A=∠D,∴∠A+∠AOB=∠A+2∠D=3∠A=90°,
∴∠A=30°,∴AO=2OB.
∵OB=OC,∴OB=AC=3,∴OA=6,∴AB= =3 .故选C.
√OA2-OB2 √3
{
4x-1
11.D x-1≥ ,①
3
5x-1<a,②
a+1
解不等式①得x≤-2,解不等式②得x< .
5{
4x-1
∵不等式组 x-1≥ ,的解集为x≤-2,
3
5x-1<a
a+1
∴ >-2,解得a>-11.
5
y-1 a a-1 a-1 a-1
解 = -2得y= .∵y= <0,∴a<1.∴-11<a<1.∵y= ≠-1,∴a≠-2,
y+1 y+1 3 3 3
a-1
∴-11<a<1且a≠-2.∵y= 是负整数,∴a=-8或a=-5.
3
故满足条件的整数a的值之和是-8-5=-13.故选D.
12.D (x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n,故说法①正确.
若使其结果与原多项式之和为0,则需出现-x,显然无论怎样添加括号,均无法使得x的符号为负
号,故说法②正确.
当括号中有两个字母时,共有7种情况,分别是(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n;x-(y-z)-m-n=x-y+z-
m-n;x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n;x-y-z-(m-n)=x-y-z-m+n;(x-y)-(z-m)-n=x-y-z+m-n;(x-
y)-z-(m-n)=x-y-z-m+n;x-(y-z)-(m-n)=x-y+z-m+n.
当括号中有三个字母时,共有3种情况,分别是(x-y-z)-m-n=x-y-z-m-n;x-(y-z-m)-n=x-
y+z+m-n;x-y-(z-m-n)=x-y-z+m+n.
当括号中分别有两个字母和三个字母时,共有2种情况,分别是(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n;(x-
y-z)-(m-n)=x-y-z-m+n.
当括号中有四个字母时,共有2种情况,分别是(x-y-z-m)-n=x-y-z-m-n;x-(y-z-m-n)=x-
y+z+m+n.
所有的“加算操作”共有8种不同的结果.故说法③正确.故选D.
一题多解
无论怎么添加括号,结果中一定含有x-y,则y,z,m,n之间的符号可能是“+,+,+”“+,-,
+”“+,+,-”“+,-,-”“-,+,+”“-,+,-”“-,-,+”“-,-,-”,共有8种不同的结果,所
以说法③正确.
13.答案 5
解析 |-4|+(3-π)0=4+1=5.
1
14.答案
3
解析 根据题意列表如下:
A B C
A B C
A
A A A
B
BAB CB
B
A B C
C
C C C
由表可知,共有9种等可能的结果,其中两次抽取的卡片上的字母相同的结果有3种,3 1
所以P(抽取的两张卡片上的字母相同)= = .
9 3
2π
15.答案 2√3-
3
解析 连接BD交AC于点G.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2,AC⊥BD.
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∠DAC=∠BCA=30°,
1
∴BD=2,∴BG= BD=1.
2
在Rt△ABG中,AG= = = ,∴AC=2AG=2 ,
√AB2-BG2 √22-12 √3 √3
1 30π·22 30π·22 2π
∴S =S -S -S = ×2√3×2- - =2√3- .
阴影 菱形ABCD 扇形ADE 扇形CBF 2 360 360 3
3
16.答案
5
解析 设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x.甲、乙两山各需红枫数量分别为2y、3y.
4x+2y 5 7
∴ = ,∴y=3x.∴丙山需红枫的数量为 (4x+2y)-9x=5x.
3x+3 y 6 5
设香樟和红枫的预算价格分别为m、n,根据题意可得(4x+3x+9x)m+(6x+9x+5x)n=(4x+3x+9x)
(1-6.25%)·(1-20%)m+(6x+9x+5x)·(1+25%)n,
整理得m∶n=5∶4.
∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为
(4x+3x+9x)(1-6.25%)·(1-20%)m 3
= .
(6x+9x+5x)·(1+25%)n 5
17.解析 (1)原式=x2+4x+4+x2-4x
=2x2+4. (4分)
a-b 2b
(2)原式= ·
b (a+b)(a-b)
2
= . (8分)
a+b
18.解析 作图如下. (4分)
①∠A=∠EFB.
②∠1=∠2或∠AEB=∠FBE.
③BE=EB.
④△CDE≌△EFC. (8分)
19.解析 (1)95;90;20.(3分)
详解:A型扫地机器人中除尘量为95的有3个,数量最多,∴众数a=95.
B型扫地机器人中“良好”等级包含的数据有5个,
∴所占百分比为50%,
∴m%=1-50%-30%=20%,即m=20.∵B型扫地机器人中“合格”等级所占百分比为20%,∴B型扫地机器人中“合格”的有2个,
按从小到大排序后,第5、6个数据分别为90、90,
90+90
∴B型扫地机器人的中位数b= =90.
2
(2)∵抽取的10台B型扫地机器人中,“优秀”等级的百分比是30%,
∴估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为3 000×30%=900.
答:估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为900. (6分)
(3)A型扫地机器人扫地质量更好.理由如下:
①A型扫地机器人除尘量的众数95高于B型扫地机器人除尘量的众数90;
②A、B两种扫地机器人除尘量的平均数都是90,A型扫地机器人除尘量的方差26.6低于B型扫
地机器人除尘量的方差30;
③A型扫地机器人除尘量的“优秀”等级所占百分比40%高于B型扫地机器人除尘量的“优
秀”等级所占百分比30%.
B型扫地机器人扫地质量更好.理由如下:B型扫地机器人除尘量的中位数90高于A型扫地机器
人除尘量的中位数89. (10分)
4
20.解析 (1)将点A(1,m),B(n,-2)代入y= 中,
x
4 4
得m= ,-2= ,
1 n
解得m=4,n=-2,
∴A(1,4),B(-2,-2).
∵A、B在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上,
∴{ k+b=4, 解得{k=2,
-2k+b=-2. b=2.
∴一次函数的表达式为y=2x+2.
一次函数y=2x+2的图象如图.
(4分)
(2)-2<x<0或x>1.(7分)
(3)∵点C是点B(-2,-2)关于y轴的对称点,
∴C(2,-2),∴BC=2-(-2)=4.
过点A作AH⊥BC于点H.
∵A(1,4),∴AH=4-(-2)=6,1 1
∴S = BC·AH= ×4×6=12. (10分)
△ABC
2 2
21.解析 (1)设乙骑行的速度是x千米/时,则甲骑行的速度是1.2x千米/时.
1 1
由题意,得 ×1.2x= x+2.解得x=20.
2 2
∴1.2x=1.2×20=24.
答:甲骑行的速度是24千米/时. (5分)
(2)设乙骑行的速度是y千米/时,则甲骑行的速度是1.2y千米/时.
30 20 30
由题意,得 + = .解得y=15.
1.2y 60 y
经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.
∴1.2y=18.
答:甲骑行的速度为18千米/时. (10分)
22.解析 (1)过点E作EH⊥DC于点H.
由题意,得EH=AC=200.
在Rt△EHD中,∠HDE=45°,
∴DE=√2EH=200√2≈200×1.414=282.8≈283.
答:DE的长度约为283米. (4分)
(2)在Rt△EHD中,∠D=45°,
∴DH=EH=200.
又BD=100,
∴BH=DH-BD=100.
在Rt△ACB中,∠ABC=30°,
∴AB=400,BC=200√3.
∴HC=BC-BH=200√3-100.
∴AE=HC=200√3-100.
从点A经过点B到达点D的路线长为AB+BD=400+100=500.
从点A经过点E到达点D的路线长为AE+DE=200√3-100+200√2≈200×(1.414+1.732)-
100=529.2>500.
答:小红经过点B到达点D的路线较近.(10分)
23.解析 (1)2 022不是“勾股和数”,5 055是“勾股和数”.
理由:∵22+22=8,8≠20,
∴2 022不是“勾股和数”.
∵52+52=50,
∴5 055是“勾股和数”. (4分)
(2)∵0≤c≤9,0≤d≤9,且c,d为整数,∴0≤c+d≤18.
c+d
∵G(M)= 是整数,
9
∴c+d=0或c+d=9或c+d=18.
①当c+d=0时,c=d=0,即c2+d2=0(舍去).
②当c+d=9时,
|10(a-c)+(b-d)| |(10a+b)-(10c+d)|
P(M)= =
3 3
|c2+d2-(10c+d)| |c2+(9-c) 2-10c-9+c|
= =
3 3
=|2c2 |.
-9c+24
3
|10(a-c)+(b-d)|
∵P(M)= 是整数,
3
∴|2c2 |是整数,
-9c+24
3
2c2
∴ 是整数,即c2是3的倍数.
3
∵0≤c≤9,且c为整数,
∴c=0,3,6,9.
当c=0时,d=9,M=8 109;
当c=3时,d=6,M=4 536;
当c=6时,d=3,M=4 563;
当c=9时,d=0,M=8 190.
③当c+d=18时,c=d=9,即c2+d2=162>99(舍去).
综上,满足条件的M有4 536,4 563,8 109,8 190. (10分)
1 { c=-4, {b=-1,
24.解析 (1)把A(0,-4),B(4,0)代入y= x2+bx+c中,得 解得
2 8+4b+c=0. c=-4.
1
∴该抛物线的函数表达式为y= x2-x-4. (2分)
2
(2)记PD交直线AB于点H.
易得△PCH是等腰直角三角形,即PC=PH,
∴PC+PD=PH+PD.
∵A(0,-4),B(4,0),
∴直线AB的函数表达式为y=x-4.设点P(
m,
1
m2-m-4
),
2
则点D(m,0),点H(m,m-4).
∴PH+PD=[
(m-4)-
(1
m2-m-4
)]+[
0-
(1
m2-m-4
)]=-m2+3m+4.
2 2
∵-1<0,
∴当m=3时,PH+PD=4×(-1)×4-32 =25.
2 4×(-1) 4
∴PC+PD的最大值是25,点P的坐标为(3 35). (6分)
,-
4 2 8
(3)满足条件的点N的坐标有( 1 13),( 15 13),(1 45).
- , - , ,
2 8 2 8 2 8
由题意,得平移后抛物线的函数表达式为y=1x2+4x+7,点E( 7 35),
- ,-
2 2 2 8
∴对称轴为直线x=-4,点F( 7).
0,
2
设N(
n,
1
n2+4n+
7).
2 2
①若四边形以MF为对角线,则当EN与MF互相平分时,四边形MNFE为平行四边形.
∴n+( 7)=0+(-4),
-
2
1
∴n=- ,
2
∴N( 1 13).
- ,
2 8
②若四边形以ME为对角线,则当FN与ME互相平分时,四边形MFEN为平行四边形.
∴n+0=-7+(-4),∴n=-15,∴N( 15 13).
- ,
2 2 2 8
③若四边形以EF为对角线,则当MN与EF互相平分时,四边形MFNE为平行四边形.
∴n+(-4)=0+( 7),
-
21
∴n= ,
2
∴N(1 45).(10分)
,
2 8
难点突破
对于第(3)问,根据抛物线的平移规律可得平移后抛物线的解析式及点E、F的坐标,设N
1 7
n, 2n2+4n+2 ,分情况讨论以MF为对角线、EM为对角线、EF为对角线时N的坐标,分别根
据对角线交点平分对角线列式计算即可.
25.解析 (1)如图1,在BE上取点G,使BG=CD,连接CG.
图1
在△BDC和△CGB中,
{
CD=BG,
∠BCD=∠CBG,
BC=CB,
∴△BDC≌△CGB(SAS).
∴BD=CG,∠DBC=∠GCB,
∴∠ABE=∠GCD.
∵BD=CE,BD=CG,
∴CG=CE,
∴∠CGE=∠CEG.
∵∠CEG=∠A+∠ABE,
且∠CGE=∠GCD+∠CFE,
∴∠CFE=∠A=60°.(4分)
(2)解法一:BF+CF=2CN.
证明:将线段CF绕点C顺时针方向旋转120°得到线段CP,连接MP并延长交直线CD于点Q,如
图2.图2
∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC,∠A=∠ABC=60°.
在△BDC和△AEB中,
{
BD=AE,
∠CBA=∠A,
BC=AB,
∴△BDC≌△AEB(SAS),
∴∠DCB=∠ABE,
∴∠DCB+∠FBC=60°,即∠BFC=120°.(6分)
由旋转的性质得∠ACM=60°,∠FCP=120°,AC=CM,CF=CP.
∴∠BCM=∠FCP=120°,
∴∠BCF=∠MCP.
在△BCF和△MCP中,
{
BC=MC,
∠BCF=∠MCP,
CF=CP,
∴△BCF≌△MCP(SAS),
∴BF=MP,∠MPC=∠BFC=120°,
∴∠CPQ=60°.
∵∠FCP=120°,
∴∠PCQ=60°.
∴△PCQ是等边三角形,∴CP=PQ=CQ.
又FC=CP,
∴FC=CQ.
∵点N是MF的中点,
∴MQ=2CN,
∴MQ=MP+PQ=BF+CF=2CN,即BF+CF=2CN. (8分)
解法二:BF+CF=2CN.
证明:∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠BAC=∠DBC=60°.
又∵BD=AE,∴△ABE≌△BCD(SAS),
∴∠BCF=∠ABE,∴∠FBC+∠BCF=60°,
∴∠BFC=120°,∴∠BFP=60°.
在CF延长线上截取FP=FB,连接BP,如图3,
图3
则△PBF为等边三角形,∴∠BPF=60°,FP=BP.∴∠PBC+∠PCB=∠PCB+∠FCM=120°,
∴∠FCM=∠PBC.
延长CN至Q,使得NQ=CN,连接FQ,PQ,QM.
∵CN=QN,NF=NM,∴四边形CFQM为平行四边形,
∴FQ∥CM,FQ=CM.
由旋转的性质得AC=CM,
∴FQ=CM=BC.
∵FQ∥CM,∴∠PFQ=∠FCM,
∴∠PFQ=∠PBC.
∵PB=PF,FQ=BC,
∴△PFQ≌△PBC,∴PQ=PC,∠QPF=∠CPB=60°,
∴△PCQ为等边三角形,∴PC=CQ.
∴BF+CF=PF+CF=PC=QC=2CN,即BF+CF=2CN.(8分)
PQ 2√14+√42
(3) = .(10分)
BC 14
详解:如图4.
图4
图5
由(2)知∠BFC=120°,
∴点F的轨迹为图5中的圆弧,O为所在圆的圆心,连接AO,则AO垂直平分
AB 2AB
BC,∠BOC=120°,OB= ,AO= ,∠BAO=30°.
√3 √3
当P、F、O三点共线时,PF取得最小值.
AO 2
∵∠PAO=∠PAB+∠BAO=90°,∴tan∠APK= = ,
AP √3
∴∠HPK>45°.
∵QK⊥PF,∴∠PKH=∠QKH=45°.
作HL⊥PK于L.
设HL=LK=2k.
HL 2
在Rt△HLP中,tan∠HPL= = ,∴PL=√3k.
PL √3
∴PK=(2+√3)k,PH=√7k.
∵PK=QK,QK⊥PF,∴△PKQ为等腰直角三角形,∴PQ=√2PK=(2√2+√6)k.
PQ 2√14+√42
∵BC=AP=2PH=2√7k,∴ = .
BC 14
