文档内容
重庆市 2013 年初中毕业暨高中招生考试(B 卷)
数学试题（含答案全解全析）
(满分150分,考试时间120分钟)
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为( b 4ac-b2 ),对称轴为x=- b .
- ,
2a 4a 2a
第Ⅰ卷(选择题,共 48 分)
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分.在每个小题的下面,都给出了代号为A、
B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的)
1.在-2,0,1,-4这四个数中,最大的数是( )
A.-4 B.-2 C.0 D.1
2.如图,直线a、b、c、d,已知c⊥a,c⊥b,直线b、c、d交于一点,若∠1=50°,则∠2等于( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
3.计算3x3÷x2的结果是( )
A.2x2 B.3x2 C.3x D.3
4.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,则△ABC与△DEF的面积之比为( )
A.4∶3 B.3∶4 C.16∶9 D.9∶16
5.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(1,-2),则正比例函数的解析式为( )
A.y=2x B.y=-2x
1 1
C.y= x D.y=- x
2 2
6.为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐,每种秧苗各随机抽取50株,分别量出每株长度,
发现两组秧苗的平均长度一样,甲、乙的方差分别是3.5、10.9,则下列说法正确的是( )
A.甲秧苗出苗更整齐
B.乙秧苗出苗更整齐
C.甲、乙出苗一样整齐
D.无法确定甲、乙出苗谁更整齐
7.如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点
B 处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( )
1
A.6 cm B.4 cm C.2 cm D.1 cm8.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为(
)
A.40° B.50° C.65° D.75°
9.如图,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为( )
√3
A.2 B.2√3 C. +1 D.√3+1
3
10.2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行.童童从家出发前往观看,先匀速
步行至轻轨车站,等了一会儿,童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出,演出结束后,童童搭乘邻居
刘叔叔的车顺利回到家.其中x表示童童从家出发后所用时间,y表示童童离家的距离.下面能
反映y与x的函数关系的大致图象是( )
11.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第①个图形有1颗棋子,第②个
图形一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…,则第⑥个图形中棋子的颗数为( )
A.51 B.70 C.76 D.81
12.如图,在直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与原点重合,顶点A、C分别在x轴、y轴
k
上,反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N,ND⊥x轴,
x
垂足为D,连结OM、ON、MN.
下列结论:
①△OCN≌△OAM;
②ON=MN;
③四边形DAMN与△MON面积相等;
④若∠MON=45°,MN=2,则点C的坐标为(0,√2+1).
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4第Ⅱ卷(非选择题,共 102 分)
二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
13.实数“-3”的倒数是 .
1
14.分式方程 =1的解为 .
x-2
15.某届青年歌手大奖赛上,七位评委为甲选手打出的分数分别
是:96.5,97.1,97.5,98.1,98.1,98.3,
98.5.则这组数据的众数是 .
16.如图,一个圆心角为90°的扇形,半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为 .(结果保
留π)
17.在平面直角坐标系中,作△OAB,其中三个顶点分别是O(0,0),B(1,1),A(x,y)(-2≤x≤2,-2≤y≤2,x,
y均为整数),则所作△OAB为直角三角形的概率是 .
18.如图,平面直角坐标系中,已知直线y=x上一点P(1,1),C为y轴上一点,连结PC,线段PC绕
点P顺时针旋转90°至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴,垂足为B,直线AB与直线y=x交于点
A,且BD=2AD,连结CD,直线CD与直线y=x交于点Q,则点Q的坐标为 .
三、解答题(本大题2个小题,每小题7分,共14分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或
推理步骤)
19.计算:(-1)2 013-|-2|+( -π)0× +(1) -1 .
√3 √38
4
20.如图,在边长为1的小正方形组成的10×10网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称
为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上.
(1)请你在所给的网格中画出四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于直线l
对称,其中,点A'、B'、C'、D'分别是点A、B、C、D的对称点;
(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,直接写出线段A'B'的长度.四、解答题(本大题4个小题,每小题10分,共40分.解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤)
21.先化简,再求值:(x+2 x-1)÷ x-4 ,其中x是不等式3x+7>1的负整数解.
-
x x-2 x2-4x+4
22.为了贯彻落实国家关于增强青少年体质的计划,重庆市全面实施了义务教育学段中小学学
生“饮用奶计划”的营养工程.某牛奶供应商拟提供A(原味)、B(草莓味)、C(核桃味)、D(菠
萝味)、E(香橙味)等五种口味的学生奶供学生选择(所有学生奶盒形状、大小相同),为了了解
对学生奶口味的喜好情况,某初级中学九年级(1)班张老师对全班同学进行了调查统计,制成
了如下两幅不完整的统计图:
(1)该班五种口味的学生奶喜好人数组成一组统计数据,直接写出这组数据的平均数,并将折
线统计图补充完整;
(2)在进行调查统计的第二天,张老师为班上每位同学发放一盒学生奶.喜好B味的小明和喜
好C味的小刚等四位同学最后领取.剩余的学生奶放在同一纸箱里,分别有B味2盒,C味和D
味各1盒,张老师从该纸箱里随机取出两盒学生奶.请你用列表法或画树状图的方法,求出这
两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率.23.“4·20”雅安地震后,某商家为支援灾区人民,计划捐赠帐篷16 800顶,该商家备有2辆大货
车、8辆小货车运送帐篷.计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶,大、小货车每天均
运送一次,两天恰好运完.
(1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶?
(2)因地震导致路基受损,实际运送过程中,每辆大货车每次比原计划少运200m顶,每辆小货车
1
每次比原计划少运300顶,为了尽快将帐篷运送到灾区,大货车每天比原计划多跑 m次,小货
2
车每天比原计划多跑m次,一天恰好运送了帐篷14 400顶,求m的值.
24.已知:如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一
点,连结DF、EG、AG,∠1=∠2.
(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;
1
(2)求证:∠CEG= ∠AGE.
2
五、解答题(本大题2个小题,每小题12分,共24分.解答时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤)
25.如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴
交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求
MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边
作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S,△ABN的面积为S,且S=6S ,求点P
1 2 1 2
的坐标.
26.已知,在矩形ABCD中,E为BC边上一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF=
7.连结AF.如图1,现有一张硬质纸片△GMN,∠NGM=90°,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同
一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上.如图2,△GMN从图1的位置出发,以每秒1个
单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点
D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连结PQ.当点N到达终点B时,△GMN和点P
同时停止运动.设运动时间为t秒,解答下列问题:
(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值;
(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使△APQ是等腰三角形.若存在,求出t的值;若不存在,说
明理由;
(3)在整个运动过程中,设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S.请直接写出S与t之间的函数
关系式以及自变量t的取值范围.
答案全解全析：
1.D ∵1>0>-2>-4,故选D.
2.B ∵c⊥a,c⊥b,∴a∥b,∴∠1=∠2=50°,故选B.
3.C 3x3÷x2=3x.故选C.
4.D ∵两个相似图形的面积比是相似比的平方,故选D.
5.B 把(1,-2)代入y=kx,得k=-2,∴y=-2x.故选B.
6.A 因为方差越小,数据的波动幅度越小,所以甲秧苗出苗更整齐.故选A.7.C 由题设知四边形ABEB 一定是正方形,故BE=AB=6 cm,∴CE=8-6=2 cm.
1
8.C ∵AB是☉O的切线,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∴∠O=90°-40°=50°.
∵OB=OC,∴∠OCB=(180°-50°)÷2=65°.故选C.
9.D ∵△ADC为等腰直角三角形,△CDB为含30°角的直角三角形,
∴AD=CD=1,BD=√3CD=√3,∴AB=√3+1.故选D.
10.A ∵童童步行的速度小于轻轨运行的速度,而等乘轻轨和观看演出都花费了一定的时间,
故选A.
11.C 根据题图示规律可得第⑥个图形中的棋子数是 1+3+5+7+9+11+10+9+8+7+6=76.故选
C.
12.C 设正方形OABC的边长为m,∴点N( k ),点M( k ),
,m m,
m m
∴NO=MO.∴在正方形OABC中,△OCN≌△OAM,故①正确.由①得MN2-ON2=( k ) 2-2k,不恒
m-
m
为零,∴②不成立.∵Rt△MOA与Rt△NOD的面积均等于k的一半,故四边形DAMN与△MON的
面积相等,故③成立.将Rt△OAM绕点O逆时针旋转90°,得Rt△OCM,且点A与点C重合,点
1
1
N、C、M 三点共线.若∠MON=45°,可得△MON≌△NOM,可得NC=MA= MN=1.又△MBN是等腰
1 1
2
直角三角形,MN=2,∴BM=BN=√2,∴OC=√2+1,故点C(0,√2+1),故④正确.故①③④均正确,选
C.
评析 本题综合考查反比例函数图象的性质、系数k的几何意义,三角形的旋转变换中的角
和边之间的关系,特殊角三角函数值等知识点.将 Rt△OAM 绕点 O 逆时针旋转 90°,得
Rt△OCM 是判断④正确与否的关键.本题综合性较强,是区分度很高的一道选择题中的压轴题.
1
1
13.答案 -
31 1
解析 ∵a的倒数是 (a≠0),∴-3的倒数是- .
a 3
14.答案 3
解析 去分母得x-2=1,∴x=3.经检验,符合题意.
15.答案 98.1
解析 ∵数据98.1出现的次数最多,∴众数是98.1.
16.答案 π-2
解析 阴影部分面积为圆面积的四分之一减去等腰直角三角形OAB的面积,故阴影部分面积
1 1
为 π·22- ×2×2=π-2.
4 2
2
17.答案
5
解析 在5×5=25个整数点中,能和点O、B组成直角三角形的整数点有(0,1)、(0,2)、
(-1,1)、(-2,2)、(1,0)、(2,0)、(1,-1)、(2,-2),共8个点,∵能组成三角形的共有20个点,
8 2
∴所求概率为P= = .
20 5
18.答案 (9 9)
,
4 4
解析 过点P作MN∥x轴,交y轴于点M,交直线AB于点N.
∵PC=PD,PC⊥PD,∴Rt△MPC≌Rt△NDP.
∵点P(1,1),∴PM=OM=DN=1,∴NB=1,DB=2,又DB=2AD,
∴BA=3.∵点A在直线y=x上,∴A(3,3),∴OB=3,
1
又PN=CM=2,∴C(0,3),D(3,2),∴直线CD的解析式为y=- x+3.
3
{
y=x,
联立 可求得点Q的坐标为(9 9).
1 ,
y=- x+3, 4 4
3评析 本题综合考查旋转的性质、三角形全等的判定与性质、用待定系数法确定一次函数
解析式、求两直线交点的坐标等知识点.以PC=PD为切入点构造两全等直角三角形是解题的
关键.将求解直线的交点转化为求解方程组的解是常见的方法之一.本题难度适中.
19.解析 原式=-1-2+1×2+4=3.
评析 本题综合考查绝对值、负整数指数幂、零次幂等实数的运算法则,属容易题.
20.解析 (1)如图:
(2)A'B'=AB= = .
√12+32 √10
(x-2)(x+2)-x(x-1) x2-4x+4
21.解析 原式= · (2分)
x(x-2) x-4
x2-4-x2+x (x-2)2 x-4 (x-2)2
= · = · (5分)
x(x-2) x-4 x(x-2) x-4
x-2
= .(6分)
x
由3x+7>1,解得x>-2.
又∵x是该不等式的负整数解,∴x=-1.(8分)
-1-2
当x=-1时,原式= =3.(10分)
-122.解析 (1)平均数为8,折线图如图所示.
(2)设所剩学生奶分别为B、B、C、D,画树状图如下:
1 2
或列表
B B C D
1 2
B (B,B) (B,C) (B,D)
1 1 2 1 1
B (B,B) (B,C) (B,D)
2 2 1 2 2
C (C,B) (C,B) (C,D)
1 2
D (D,B) (D,B) (D,C)
1 2
由树状图或列表知:一共有12种等可能情况,其中恰好同时是小明和小刚喜好的有2种.所
2 1
以,这两盒牛奶恰好同时是小明和小刚喜好的学生奶的概率P= = .
12 6
23.解析 (1)设小货车原计划每辆每次运帐篷x顶,
则大货车原计划每辆每次运帐篷(x+200)顶.(1分)
根据题意得2×2(x+200)+2×8x=16 800.(2分)
解得x=800,
800+200=1 000.(3分)
答:大货车原计划每辆每次运送帐篷1 000顶,小货车原计划每辆每次运送帐篷800顶.(4分)(2)2(1 000-200m)( 1 )+8(800-300)(1+m)=14 400.(7分)
1+ m
2
化简,得m2-23m+42=0,解得m=2或m=21.(9分)
1
∵ m为整数,∴m=21(舍去).
2
答:m=2.(10分)
24.解析 (1)∵CD=CE=2CF,∴AB=DC=4,(1分)
∴由勾股定理得BE= = .(3分)
√AB2-AE2 √7
(2)证明:延长AG、BC交于点M.
∵CE=CD,∠1=∠2,∠ECG=∠DCF,
∴△ECG≌△DCF.(5分)
∴CF=CG,
∵CD=CE=2CF,
∴CG=DG,
又∵AD∥BC,
∴∠DAG=∠CMG,∠ADG=∠MCG,
∴△ADG≌△MCG,∴AG=MG.(7分)
∵AE⊥BC,∴EG=AG=MG,
∴∠CEG=∠M.(9分)
∵∠AGE=∠CEG+∠M,
1
∴∠AGE=2∠CEG,即∠CEG= ∠AGE.(10分)
2评析 本题综合考查三角形全等的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角
形斜边上的中线等于斜边的一半等知识,证明△ECG≌△DCF是解题的切入点,本题综合性较
强,第(2)问属于较难题.
25.解析 (1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的一个交点为B(5,0),与y轴交于点C(0,5),
∴将B(5,0)、C(0,5)代入y=x2+bx+c,解得b=-6,c=5.
∴二次函数解析式为y=x2-6x+5.(2分)
设直线BC的解析式为y=kx+5.
将B(5,0)代入直线BC解析式y=kx+5,解得k=-1,
∴直线BC的解析式为y=-x+5.(3分)
(2)如图①,设M(x,y),则
MN=-x+5-(x2-6x+5)(5分)
=-x2+5x
=-( 5) 2+25.(6分)
x-
2 4
25
∴MN的最大值为 .(7分)
4
图①
(3)如图②,由(2)易得S=5,∴S=6S=30.(8分)
2 1 2
BC=5√2,直线BC的解析式为y=-x+5,∠CBO=45°.
∵S=30,
130
∴平行四边形CBPQ中BC边上的高为 =3√2.(9分)
5√2
图②
过点C作CD⊥PQ与PQ所在直线相交于点D,
PD交y轴于点E,CD=3√2,∴CE=6.
∴E(0,-1),
∴直线PQ的解析式为y=-x-1.(10分)
∵点P同时在抛物线和直线PQ上,
∴x2-6x+5=-x-1,解得x=2,x=3,
1 2
∴P(2,-3),P(3,-4).(12分)
1 2
评析 本题以抛物线为载体,考查了初中数学的主干知识:函数、方程;考查了学生综合运用
数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力;考查了待定
系数法、配方法等数学方法.
26.解析 (1)如图①,在矩形中,
图①
∵AB=12,BE=16,∴AE=20,
AB EC
由△ABE∽△ECD,得 = ,得CE=9,∴AD=25.
BE CD∵NG=6,MG=8,
∴NM=10.(1分)
∵GM∥AE,当G点落在AE上时,点M与点E重合.
∴t=10.(2分)
(2)存在满足条件的t,理由如下:
(i)当AP=PQ时,如图②,过P作PH⊥AQ于点H.
AP=t,NE=t,
由△EQN∽△MGN,
图②
3 4 4 4
得NQ= t,QE= t,AQ=20- t,AH= t.
5 5 5 5
∵AQ=2AH,
25
∴t= .(4分)
3
(ii)当AP=AQ时,如图③.
图③
4
∵AP=t,AQ=20- t,
5
4
∴20- t=t,
5100
t= .(6分)
9
(iii)当AQ=PQ时,如图④.
图④
过Q作QK⊥AP于点K,
AK AQ 5
由△AKQ∽△AED,得 = ,得AQ= t,
AE AD 8
4
又AQ=20- t,
5
4 5 800
∴20- t= t,∴t= .(8分)
5 8 57
6
{
t2(0≤t<7),
25
7 14 49
- t2- t+ (7≤t<10),
75 3 3
(3)S= (12分)
-
1
t2+
14
t+
23(
10≤t<
71)
,
3 3 3 5
6 (t-17)2(71
≤t≤16
)
.
7 5
评析 本题综合考查了动点问题、等腰三角形的判定和性质、二次函数、三角形相似、分
段函数的知识,综合性强.第(2)问求解的关键是分类讨论思想的应用.第(3)问求解的关键是
将三角形的运动转化为顶点G和顶点N的几个特殊位置的确定,这样才能求出三角形在运动
过程中t的取值范围,而只有正确求解出临界状态时t的值,才能合理地对重叠部分面积进
行分类,本题求解面积时化归思想方法的应用也比较重要.本题图形复杂,分类情况比较多,
是一道综合性非常强的压轴题.
