重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试(A卷)
3
(满分:150分 考试时间:120分钟)
( b 4ac-b2 ) b
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 - , ,对称轴为直线x=- .
2a 4a 2a
一、选择题(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的.
1.2的相反数是( )
1 1
A.-2B.2 C. D.-
2 2
2.计算3a6÷a的结果是( )
A.3a6 B.2a5 C.2a6 D.3a5
3.不等式x≤2在数轴上表示正确的是( )
A B C D
4.如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,其中OE=2OB,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶9
5.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是( )
A.80° B.100° C.110° D.120°
6.计算 × - 的结果是( )
√14 √7 √2
A.7 B.6 C.7 D.2
√2 √2 √7
7.如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.AC∥FD
8.
甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20 m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10 s.甲、乙两架无人机所在位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升的时间x(单位:s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是( )
A.5 s时,两架无人机都上升了40 m
B.10 s时,两架无人机的高度差为20 m
C.乙无人机上升的速度为8 m/s
D.10 s时,甲无人机距离地面的高度是60 m
9.
如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为( )
A.1 B.
√2
C.2 D.2
√2
10.
如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND,甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°,测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30 m;乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距
5
离FE为50 m,测得山坡DF的坡度i=1∶1.25.若ND= DE,点C,B,E,F在同一水平线上,则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为
8
(参考数据: ≈1.41, ≈1.73)( )
√2 √3
A.9.0 m B.12.8 mC.13.1 mD.22.7 m{3x-2≥2(x+2), y+2a 3 y-8
11.若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≥6,且关于y的分式方程 + =2的解是正整数,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
a-2x<-5 y-1 1- y
A.5 B.8 C.12D.15
12.
k
如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在第二象限,其余顶点都在第一象限,AB∥x轴,AO⊥AD,AO=AD,过点A作AE⊥CD,垂足为E,DE=4CE.反比例函数y= (x>0)的图象经过点E,与边AB交于点F,连接OE,OF,EF.若S =
x △EOF
11
,则k的值为( )
8
7 21 21
A. B. C.7 D.
3 4 2
二、填空题(本大题6个小题,每小题4分,共24分)
13.计算:|3|-(π-1)0= .
14.在桌面上放有四张背面完全一样的卡片,卡片正面分别标有数字-1,0,1,3.把四张卡片背面朝上,随机抽取一张,记下数字后放回洗匀,再从中随机抽取一张,则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 .
4-x
15.若关于x的方程 +a=4的解是x=2,则a的值为 .
2
16.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心,AO长为半径画弧,分别交AB,CD于点E,F.若BD=4,∠CAB=36°,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
17.
如图,三角形纸片ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,BF=4,CF=6.将这张纸片沿直线DE翻折,点A与点F重合.若DE∥BC,AF=EF,则四边形ADFE的面积为 .
18.某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3∶2∶4,A、B、C三种饮料的单价之比为1∶2∶1.六月份该销售商加大了宣传力度,并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整.预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所
1
增加,A饮料增加的销售额占六月份销售总额的 ,B、C饮料增加的销售额之比为2∶1.六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2∶3,则A饮料五月份销售数量与六月份预计的销售数量之比为 .
15
三、解答题(本大题7个小题,每小题10分,共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线).
19.计算:(1)(x-y)2+x(x+2y);
( a ) a2-4
(2) 1- ÷ .
a+2 a2+4a+420.“惜餐为荣,殄物为耻”,为了解落实“光盘行动”的情况,某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量.从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据(单位:kg),进行整理和分析(餐厨垃圾
质量用x表示,共分为四个等级:A.x<1,B.1≤x<1.5,C.1.5≤x<2,D.x≥2),下面给出了部分信息.
七年级10个班的餐厨垃圾质量:0.8,0.8,0.8,0.9,1.1,1.1,1.6,1.7,1.9,2.3,
八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为:1.0,1.0,1.0,1.0,1.2,
七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表
A等级所
年级 平均数 中位数 众数 方差
占百分比
七年级 1.3 1.1 a 0.26 40%
八年级 1.3 b 1.0 0.23 m%
八年级抽取的班级餐厨垃圾质量扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述表中a,b,m的值;
(2)该校八年级共30个班,估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数;
(3)根据以上数据,你认为该校七、八年级的“光盘行动”,哪个年级落实得更好?请说明理由(写出一条理由即可).
21.如图,在▱ABCD中,AB>AD.
(1)用尺规完成以下基本作图:在AB上截取AE,使AE=AD,作∠BCD的平分线交AB于点F;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图形中,连接DE交CF于点P,猜想△CDP按角分类的类型,并证明你的结论.4-x2
22.在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质及其应用的过程.以下是我们研究函数y= 的性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.
x2+1
(1)请把下表补充完整,并在给出的图中补全该函数的大致图象;
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y=
4-x2 21 12 1 3
… - - - 0 4 0 …
26 17 2 2
x2+1
(2)请根据这个函数的图象,写出该函数的一条性质;
3 3 4-x2
(3)已知函数y=- x+3的图象如图所示.根据函数图象,直接写出不等式- x+3> 的解集.(近似值保留一位小数,误差不超过0.2)
2 2 x2+1
23.某工厂有甲、乙两个车间,甲车间生产A产品,乙车间生产B产品,去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元,1件A产品与1件B产品售价和为500元.
(1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元?
(2)随着5G时代的到来,工业互联网进入了快速发展时期.今年,该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间,预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%;B产品产量将在去年的基础
29
上减少a%,但B产品的销售单价将提高3a%.则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 a%.求a的值.
2524.如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成A×B,其中A与B都是两位数,A与B的十位数字相同,个位数字之和为10,则称数M为“合和数”,并把数M分解成M=A×B的过程,称为“合分解”.
例如:∵609=21×29,21和29的十位数字相同,个位数字之和为10,
∴609是“合和数”.
又如:∵234=18×13,18和13的十位数字相同,但个位数字之和不等于10,
∴234不是“合和数”.
(1)判断168,621是不是“合和数”,并说明理由;
P(M)
(2)把一个四位“合和数”M进行“合分解”,即M=A×B.A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P(M);A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令G(M)= ,当G(M)能被4整
Q(M)
除时,求出所有满足条件的M.
25.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,-1),B(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥AB,垂足为D,PE∥x轴,交AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当△PDE的周长取得最大值时,求点P的坐标和△PDE周长的最大值;
(3)把抛物线y=x2+bx+c平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一点,N是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标,并把求其中一个点M的坐标的过
程写出来.四、解答题(本大题1个小题,共8分)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线).
26.在△ABC中,AB=AC,D是边BC上一动点,连接AD,将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置,使得∠DAE+∠BAC=180°.
(1)如图1,当∠BAC=90°时,连接BE,交AC于点F,若BE平分∠ABC,BD=2,求AF的长;
(2)如图2,连接BE,取BE的中点G,连接AG,猜想AG与CD存在的数量关系,并证明你的猜想;
BD-DG
(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG,CE.若∠BAC=120°,当BD>CD,∠AEC=150°时,请直接写出 的值.
CE
图1
图2
图3
3 重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试(A卷)
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D D A B B C B C C B A
1.A 互为相反数的两个数绝对值相等,符号相反,所以2的相反数为-2.
2.D 3a6÷a=3a5.
3.D 不等式解集在数轴上表示时,“x≤2”在“2”处画实心点,且在数轴上表示的点在2的左侧,故选D.
OB BC 1
4.A ∵△ABC与△DEF位似,∴△OBC∽△OEF,且 = = ,∴△ABC与△DEF的周长之比为1∶2.
OE EF 2
5.B 根据圆内接四边形对角互补,得∠A+∠C=180°.因为∠A=80°,所以∠C=100°.
6.B 原式=√72×2-√2=7√2-√2=6√2.
7.C 由BF=EC可得BC=EF,又∠B=∠E,所以添加AB=DE后,根据SAS可得△ABC≌△DEF;
添加∠A=∠D后,根据AAS可得△ABC≌△DEF;
添加AC∥FD后,得∠ACB=∠DFE,根据ASA可得△ABC≌△DEF.添加AC=DF后,由SSA不能判定△ABC≌△DEF.故选C.
8.B 由题图可知,5 s时,乙无人机上升的高度为40-20=20(m),故A说法错误.
设甲的函数解析式为y=kx(k≠0),将(5,40)代入得40=5k,所以k =8,故甲的函数解析式为y=8x,当x=10时,y =80 m,故D说法错误.
甲
设乙的函数解析式为y=mx+20(m≠0),将(5,40)代入得40=5m+20,所以m=4,故乙的函数解析式为y=4x+20,当x=10时y =60 m.
乙
由y =80 m,y =60 m,可知10 s时,两架无人机的高度差为20 m,故B说法正确.
甲 乙
乙无人机从0 s~5 s上升的高度为40-20=20(m),
20
所以v = =4 m/s,故C说法错误.故选B.
乙 5
1
9.C 因为四边形ABCD为正方形,所以AO⊥BD,所以∠NOC+∠DON=90°又OM⊥ON,所以∠MOD=∠NOC,又OD=OC,∠ODM=∠OCN,所以△ODM≌△OCN,故S =S = S =1,所以S =4,故AB=2.
四边形MOND △OCD 4 正方形ABCD 正方形ABCD
10.C 在Rt△MCB中,∠MCB=60°,CB=30 m,则BM=CB·tan 60°=30√3 m.
在Rt△DEF中,EF=50 m,i=1∶1.25,则DE=40 m.
5 5
∵ND= DE= ×40=25(m),∴EN=40+25=65(m),
8 8
∴EN-BM=65-30√3≈65-51.9=13.1(m).故选C.
11.B 解不等式3x-2≥2(x+2)得x≥6,
a+5
解不等式a-2x<-5得x> .
2
a+5
因为不等式组的解集为x≥6,所以 <6,解得a<7.
2
y+2a 3 y-8 a+5
解分式方程 + =2得y= .
y-1 1- y 2
a+5
因为y= 是正整数,所以a=5,3,1,-1,-3.
2
因为y≠1,所以a≠-3,故a=5,3,1,-1.
所以所有整数a的值之和为8.
12.A ∵DE=4CE,∴设CE=t,DE=4t,∴CD=5t.
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD=5t.
∵AE⊥CD,∴∠AED=90°,
∴AE2=AD2-DE2=(5t)2-(4t)2=9t2,∴AE=3t.
延长EA交x轴于点M.∵AO⊥AD,∴∠DAE+∠OAM=90°.
∵∠DAE+∠D=90°,∴∠D=∠OAM.
∵AB∥x轴,AB∥CD,∴CD∥x轴.
∴AM⊥x轴.∴∠AMO=90°.
∵∠AED=∠AMO=90°,AD=AO,∴△ADE≌△OAM.
∴AM=DE=4t,OM=AE=3t.∴EM=3t+4t=7t.
∴点A的坐标为(3t,4t),点E的坐标为(3t,7t).
∵AB∥x轴,∴设点F的坐标为(x ,4t),
F
k
∵点E,点F在反比例函数y= (x>0)的图象上,
x
21 21 9
∴x ·4t=3t·7t=k.∴x = t,∴AF= t-3t= t.
F F 4 4 4
∴S =S +S +S
△EOF △OAE △AEF △AOF
1 1 9 1 9 99
= ·3t·3t+ ·3t· t+ · t·4t= t2.
2 2 4 2 4 8
11 99 11 1( 1 )
又∵S = ,∴ t2= ,解得t= t=- 舍去 ,
△EOF 8 8 8 3 37
∴k=3t·7t= .
3
二、填空题
13.答案 2
解析 |3|-(π-1)0=3-1=2.
1
14.答案
4
解析 列表如下:
第一次积第
-1 0 1 3
二次
-1 1 0 -1 -3
0 0 0 0 0
1 -1 0 1 3
3 -3 0 3 9
4 1
由表可知共有16种等可能的结果,其中积为负数的有4种,所以两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率P= = .
16 4
15.答案 3
4-x
解析 解 +a=4,得x=2a-4,因为x=2,所以2a-4=2,故a=3.
2
4
16.答案 π
5
36π×22 4
解析 在矩形ABCD中,AC=BD=4,O是AC的中点,∴AO=2,∴S =2× = π.
阴影 360 5
17.答案 5√3
1 1
解析 由题意易知DE是△ABC的中位线,∴DE= BC= ×(4+6)=5.由折叠可知AE=EF,又AF=EF,∴△AEF是等边三角形,∴∠FAE=60°.由折叠的性质及DE∥BC可得AF⊥BC,∴∠AFC=90°.在Rt△ACF中,CF=6,∠FAE=60°,∴AF=2√3.∴S
2 2 四边
1
= ×2√3×5=5√3.
形ADFE 2
9
18.答案
10
解析 根据五月份A,B,C三种饮料的销售数量比为3∶2∶4,单价比为1∶2∶1,可得销售额之比为3∶4∶4.
设五月份A饮料的销售额为3k,B饮料的销售额为4k,C饮料的销售额为4k,六月份A饮料的销售额增加b,B饮料的销售额增加2a,C饮料的销售额增加a,
b 1
{ = ,
b+2a+a+11k 15 {a=k,
根据题意得 解得
b+3k 2 b=k.
= ,
2a+4k 3
故A饮料在六月份与五月份的销售额之比为4∶3.
3 5 9
又A饮料在六月份与五月份的单价之比为(1+20%)∶1=6∶5,∴A饮料五月份销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ÷ = .
4 6 10
三、解答题
19.解析 (1)原式=x2-2xy+y2+x2+2xy=2x2+y2.(5分)(a+2 a ) (a+2)2 2 a+2 2
(2)原式= - · = · = .(10分)
a+2 a+2 (a+2)(a-2) a+2 a-2 a-2
20.解析 (1)a=0.8,b=1.0,m=20.(3分)
(2)∵八年级抽取的10个班级中,餐厨垃圾质量为A等级的百分比是20%,∴估计该校八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为30×20%=6(个).
答:估计该校八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个.(6分)
(3)七年级各班落实“光盘行动”情况更好.因为:
①七年级各班餐厨垃圾质量的众数0.8低于八年级各班的餐厨垃圾质量的众数1.0;
②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的占比40%高于八年级各班的餐厨垃圾质量A等级的占比20%.
八年级各班落实“光盘行动”情况更好.因为:
①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1;
②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26.(10分)
21.解析 (1)如图所示.(4分)
(2)△CDP是直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC.
∴∠CDE=∠AED,∠ADC+∠BCD=180°.∵AD=AE,
1
∴∠ADE=∠AED.∴∠CDE=∠ADE= ∠ADC.
2
1
∵CP平分∠BCD,∴∠DCP= ∠BCD,
2
∴∠CDE+∠DCP=90°.∴∠CPD=90°.
∴△CDP是直角三角形.(10分)
3 1 12 21
22.解析 (1)表格中的数据,从左到右,依次为 ,- ,- ,- .
2 2 17 26
函数图象如图所示.(5分)
(2)①该函数的图象是轴对称图形,对称轴是y轴;
②该函数在自变量的取值范围内,有最大值,当x=0时,函数取得最大值4;
③当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小.(以上三条性质写出一条即可)(7分)
(3)x<-0.3或1<x<2.
注:当不等式解集端点值误差在±0.2范围内,均给相应分值.(10分)
23.解析 (1)设B产品的销售单价为x元,则A产品的销售单价为(x+100)元.根据题意,得x+(x+100)=500.
解这个方程,得x=200.则 x+100=300.
答:A产品的销售单价为300元,B产品的销售单价为200元.(4分)
(2)设去年每个车间生产产品的数量为t件,根据题意,得
( 29 )
300(1+a%)·t+200(1+3a%)·t(1-a%)=500t· 1+ a% .
25
设a%=m,则原方程可化简为5m2-m=0.1
解这个方程,得m= ,m=0(舍去).∴a=20.
1 5 2
答:a的值是20.(10分)
24.解析 (1)168不是“合和数”,621是“合和数”.
理由:∵168=12×14,2+4≠10,
∴168不是“合和数”.
∵621=23×27,十位数字相同,且个位数字3+7=10,
∴621是“合和数”.(4分)
(2)设A的十位数字为m,个位数字为n(m,n为自然数,且3≤m≤9,1≤n≤9),则A=10m+n,B=10m+10-n.
∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10,
Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|.
P(M) 2m+10 m+5
∴G(M)= = = =4k(k是整数).(6分)
Q(M) |2n-10| |n-5|
∵3≤m≤9,∴8≤m+5≤14.
∵k是整数,∴m+5=8或m+5=12.
①当m+5=8时,
{m+5=8, { m+5=8,
或
|n-5|=1 |n-5|=2.
∴M=36×34=1 224或M=37×33=1 221.
②当m+5=12时,
{m+5=12, {m+5=12,
或
|n-5|=1 |n-5|=3.
∴M=76×74=5 624或M=78×72=5 616.
综上,满足条件的M有1 224,1 221,5 624,5 616.(10分)
25.解析 (1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,-1),点B(4,1),
{ 7
{ c=-1, b=- ,
∴ 解得 2
16+4b+c=1.
c=-1,
7
∴该抛物线的函数表达式为y=x2- x-1.(2分)
2
1
(2)∵A(0,-1),B(4,1),∴直线AB的函数表达式为y= x-1.
2
∴C(2,0).设P ( t,t2- 7 t-1 ) ,其中0<t<4.
2
1
∵点E在直线y= x-1上,PE∥x轴,
2
∴E ( 2t2-7t,t2- 7 t-1 ) .∴PE=-2t2+8t=-2(t-2)2+8.
2
∵PD⊥AB,∴△PDE∽△AOC.∵AO=1,OC=2,∴AC=√5.
∴△AOC的周长为3+√5.
3+√5 AC
令△PDE的周长为l ,则 = .
l PE
3√5+5 6√5+10 24√5
∴l= ·[-2(t-2)2+8]=- (t-2)2+ +8.
5 5 524√5
∴当t=2时,△PDE的周长取得最大值,最大值为 +8.
5
此时点P的坐标为(2,-4).(6分)
(3)如图所示,满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).
由题意可知,平移后抛物线的函数表达式为 y=x2-4x,对称轴为直线x=2.
①若AB是平行四边形的对角线,
当MN与AB互相平分时,四边形ANBM是平行四边形,
即MN经过AB的中点C(2,0).
∵点N的横坐标为2,∴点M的横坐标为2,∴点M的坐标为(2,-4).
②若AB是平行四边形的边,
i.当MNAB时,四边形ABNM是平行四边形.
∵A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,
∴点M的横坐标为2-4=-2.
∴点M的坐标为(-2,12).
ii.当NMAB时,四边形ABMN是平行四边形.
∵A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,
∴点M的横坐标为2+4=6.
∴点M的坐标为(6,12).(10分)
四、解答题
26.解析 (1)连接CE,过点F作FH⊥BC,垂足为H.
∵BE平分∠ABC,∠BAC=90°,
∴FA=FH.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.
√2
∴FH= CF.
2
∵∠BAC+∠DAE=180°,∴∠BAC=∠DAE=90°.∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
{
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,
AD=AE.
∴△ABD≌△ACE.∴BD=CE=2,∠ABD=∠ACE=45°.
∴∠BCE=90°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.
∴∠AFB=∠BEC,∵∠AFB=∠EFC,∴∠BEC=∠EFC.
√2
∴CF=CE=2.∴AF= CF=√2.(3分)
2
1
(2)AG= CD.
2延长BA至点M,使AM=AB,连接EM.
1
∵G是BE的中点,∴AG= ME.
2
∵∠BAC+∠DAE=∠BAC+∠CAM=180°,∴∠DAE=∠CAM.
∴∠DAC=∠EAM.
在△ADC和△AEM中,
{
AD=AE,
∠DAC=∠EAM,
AC=AM.
∴△ADC≌△AEM.∴CD=ME.
1
∴AG= CD.(6分)
2
BD-DG √6
(3) = .(8分)
CE 2
详解:解法一:
延长BA至点H,使AH=AB,连接CH,EH,DE,由(2)易得△ACH为等边三角形,△ADC≌△AEH.
∴∠AHE=∠ACB=30°,∴∠AHE=∠CHE,
∴△AHE≌△CHE,∴AE=CE.
过点E作EX⊥HB,EY⊥BC,垂足分别为X,Y.
∵∠AEC=150°=∠XEY,
∴∠AEX=∠CEY,
∴△AEX≌△CEY.
∴EX=EY,∴BE平分∠ABC.
∵AG∥EH,
∴∠BAG=∠AHE=30°,
∴∠GAC=90°.
∵AD=AE,∠DAE=60°,∴△ADE是等边三角形.
∴AD=AE=DE=CE,∠AED=60°.
∵∠AEC=150°,∴∠DEC=90°,
√2
∴△DEC是等腰直角三角形,∴AD=DE=CE= CD.
2
∵AE=CE,∠AEC=150°,∴∠EAC=15°,
∴∠DAC=45°=∠GAD.
∵∠AGE=15°+30°=45°,
∴AD⊥BE,根据轴对称得△AGD为等腰直角三角形,
1
∴AG=DG= CD.
2
∵BE平分∠ABC,AD⊥BE,∴AB=BD.∵∠BAC=120°,AB=AC,
DC √3+1
∴BC=BD+DC=√3AB,∴BD= = DC,
√3-1 2
√3+1 1
DC- DC
BD-DG 2 2 √6
∴ = = .
CE √2 2
DC
2
解法二:
1
延长BA至点M,使得AM=AB,连接EM,DE,由(2)易得AG= CD,∠AME=∠ACB=30°.∵AG∥EM,∴∠BAG=∠AME=30°.延长AG交BC于点H,∴BH=AH,∠CAH=90°,
2
1
∴AH= CH.
2
1 1
∵AG= CD,∴GH= DH.
2 2
∵∠AHD=60°,∴DG⊥AH,∠HDG=30°.
∵AD=AE,∠DAE=60°,
∴△ADE是等边三角形,∴∠ADE=∠AED=60°,
∴∠DEC=90°,∠ADG+∠EDC=90°.
∵∠EDC+∠DCE=90°,∴∠ADG=∠DCE,
AG DG AD
∴△ADG∽△DCE.∴ = = .
DE CE CD
1
1 CD AD √2
∵AD=DE,AG= CD,∴2 = ,∴AD= CD.
2 CD 2
AD
设GH=a ,则DH=2a,DG=√3a,
(1 ) 2 (√2 ) 2
∵AG2+DG2=AD2,∴ CD +(√3a)2= CD ,
2 2
∴2√3a=CD,∴AG=√3a,AD=√6a.
∵AH=BH,∴AH=BH=a+√3a,
∴BD-DG=a+√3a+2a-√3a=3a.
DG AD √3a √2
∵ = ,∴ = .∴CE=√6a,
CE CD CE 2
BD-DG 3a √6
∴ = = .
CE √6a 2
