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2013 年南宁市初中毕业升学考试试卷
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分 时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 36 分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)每小题都给出代号为A、B、C、D四个
结论,其中只有一个是正确的.
1.在-2,1,5,0这四个数中,最大的数是( )
A.-2 B.1 C.5 D.0
2.如图所示,将平面图形绕轴旋转一周,得到的几何体是( )
3.2013年6月11日,神舟十号飞船发射成功.神舟十号飞船身高约9米,重约8吨,飞行速度约
每秒7 900米.将数7 900用科学记数法表示,正确的是( )
A.0.79×104 B.7.9×104 C.7.9×103 D.79×102
4.小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的
地面上不可能出现的投影是( )
A.三角形 B.线段 C.矩形 D.正方形
5.甲、乙、丙、丁四名选手将参加100米决赛.赛场共设1、2、3、4四个跑道,选手以随机抽
签的方式决定各自的跑道.若甲首先抽签,则甲抽到1号跑道的概率是( )
1 1 1
A.1 B. C. D.
2 3 4
x-2
6.若分式 的值为0,则x的值为( )
x+1
A.-1 B.0 C.2 D.-1或2
7.如图,圆锥形的烟囱帽底面半径为15 cm,母线长为20 cm,制作这样一个烟囱帽所需要的铁
皮面积至少是( )
A.150π cm2 B.300π cm2
C.600π cm2 D.150 cm28.下列各式计算正确的是( )
A.3a3+2a3=5a6 B.2√a+√a=3√a
C.a4·a2=a8 D.(ab2)3=ab6
9.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种.两
种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为
单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为( )
A.19 B.18 C.16 D.15
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是( )
A.图象关于直线x=1对称
B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4
C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根
D.当x<1时,y随x的增大而增大
1
11.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC= ∠BOD,则☉O的半径为
2
( )
A.4√2 B.5 C.4 D.3
1 k 1
12.如图,直线y= x与双曲线y= (k>0,x>0)交于点A,将直线y= x向上平移4个单位长度后,
2 x 2
k
与y轴交于点C,与双曲线y= (k>0,x>0)交于点B.若OA=3BC,则k的值为( )
x
9 9
A.3 B.6 C. D.
4 2第Ⅱ卷(非选择题,共 84 分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.要使二次根式√x-2有意义,则x的取值范围是 .
14.一副三角板如图所示放置,则∠AOB= °.
15.因式分解:x2-25= .
16.某中学规定:学生的学期体育综合成绩满分为100分,其中,期中考试成绩占40%,期末考试
成绩占60%,小海这个学期的期中、期末体育成绩(百分制)分别是80分,90分,则小海这个学
期的体育综合成绩是 分.
1 1 1 1
17.有这样一组数据a,a,a,…,a,满足以下规律:a = ,a= ,a= ,…,a= (n≥2且
1 2 3 n 1 2 2 1-a 3 1-a n 1-a
1 2 n-1
n为正整数),则a 的值为 .(结果用数字作答)
2 013
18.如图,在边长为2的正三角形中,将其内切圆和三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相
切的圆)的内部挖去,则此三角形剩下部分(阴影部分)的面积为 .
三、(本大题共2小题,每小题满分6分,共12分)
19.计算:2 0130-√27+2cos 60°+(-2).
20.先化简,再求值:
( x 1 )÷ x+1 ,其中x=-2.
+
x-1 x-1 x2-2x+1四、(本大题共2小题,每小题满分8分,共16分)
21.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△AB C ;
1 1 1
(2)以原点O为位似中心,将△AB C 放大为原来的2倍,得到△AB C .请在第三象限内画出
1 1 1 2 2 2
△AB C ,并求出 ∶ 的值.
2 2 2 S S
△A B C △A B C
1 1 1 2 2 2
22.2013年6月,某中学结合广西中小学生阅读素养评估活动,以“我最喜爱的书籍”为主题,
对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查,收集整理数据后,绘制出以下两幅未完成的
统计图,请根据图①和图②所提供的信息,解答下列问题:
(1)在这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生?(2)请把折线统计图(图①)补充完整;
(3)求出扇形统计图(图②)中,体育部分所对应的圆心角的度数;
(4)如果这所中学共有学生1 800名,那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数.
五、(本大题满分8分)
23.如图,在菱形ABCD中,AC是对角线,点E、F分别是边BC、AD的中点.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
六、(本大题满分10分)
24.在一条笔直的公路上有A、B两地.甲骑自行车从A地到B地;乙骑摩托车从B地到A地,
到达A地后立即按原路返回.如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的
函数图象.根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地之间的距离;
(2)求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间的距离不超过3 km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能
够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.七、(本大题满分10分)
25.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是☉O的直径,☉O交BC于点D,DE⊥AC于点
E,BE交☉O于点F,连结AF,AF的延长线交DE于点P.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长.
八、(本大题满分10分)
26.如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0)、D(0,-1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l
过点E(0,-2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求证:AO=AM;
(3)探究:
1 1
①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时 + 的值;
AM BN
1 1
②试说明无论k取何值, + 的值都等于同一个常数.
AM BN
答案全解全析：
1.C 因为-2<0<1<5,所以最大的数为5,故选C.2.A 半圆绕直径所在的直线旋转一周所得的几何体为球,故选A.
3.C 7 900=7.9×103,故选C.
4.A 在平行光线下,矩形的投影可能是线段或矩形或正方形,矩形的平行投影不可能是三角
形,故选A.
1
5.D 甲抽到每个跑道的可能性相等,共4个跑道,则甲抽到每个跑道的可能性都是 ,抽到1
4
1
号道的概率为 ,故选D.
4
x-2
6.C 由 =0解得x=2,当x=2时,x+1≠0,故x=2是原分式方程的解,故选C.
x+1
7.B S =πrl=15×20π=300π cm2,故选B.
圆锥侧
8.B 因为3a3+2a3=5a3,a4·a2=a6,(ab2)3=a3b6,所以选项A、C、D错误,故选B.
9.C 设笑脸气球x元/个,爱心气球y元/个.
{3x+ y=14,①
则 由①+②得2(x+y)=16,故选C.
x+3 y=18,②
评析 本题考查二元一次方程组的应用,确定等量关系列方程组是关键,应根据题意灵活解
方程组.
10.D 由题中图象可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4),开口向上,点(-1,0)关于
直线x=1的对称点为(3,0),故选项A、B、C正确,故选D.
1 1
⏜ ⏜
11.B 连结AD,则∠BAD= ∠BOD=∠BAC,∴ = ,又AB为直径,∴CD⊥AB,DE= CD=4,设
BC BD
2 2
☉O的半径为r,则OE=8-r,在Rt△DEO中,OE2+DE2=OD2,(8-r)2+42=r2,解得r=5,故选B.BF BC 1
12.D 作AE⊥y轴于点E,BF⊥y轴于点F,易证△BFC∽△AEO,所以 = = ,设x=m,则
B
AE AO 3
x
A
=3m,所以有B(
m,
1
m+4
),A(
3m,
3
m
).因点A,B在y=k上,所以k=m(1
m+4
)=3m·3
2 2 x 2 2
9
m,解得m=0(舍去)或m=1.所以k= ,故选D.
2
评析 本题考查一次函数、反比例函数、图形的相似等知识,关键是根据相似比确定A、B
两点的坐标,求出k值.属中等难度题.
13.答案 x≥2
解析 x-2≥0时二次根式有意义,∴x≥2.
14.答案 105
解析 由题意得∠AOB=45°+60°=105°.
15.答案 (x+5)(x-5)
解析 由平方差公式得x2-25=(x+5)(x-5).
16.答案 86
解析 设综合成绩为x,则x=80×40%+90×60%=86(分).
17.答案 -1
1
1 1 1 1 1 1 1
解析 a= ,a= = 1=2,a= = =-1,a= = = ,…,即每3个循
1 2 2 1-a 1- 3 1-a 1-2 4 1-a 1-(-1) 2
1 2 2 3
环一次,
而2 013÷3=671,所以a =-1.
2 013
4π
18.答案 √3-
9√3 √3 √3
解析 设内切圆的半径为 R,角切圆的半径为 r,可求得R= ,r= ,S = ×22-πR2-
阴影
3 9 4
π π 4π
3πr2=√3- - =√3- .
3 9 9
1
19.解析 原式=1-3√3+2× -2(4分)
2
=1-3√3+1-2(5分)
=-3√3.(6分)
x+1 x+1
20.解析 原式= ÷ (2分)
x-1 (x-1)2
x+1 (x-1)2
= · (3分)
x-1 x+1
=x-1.(4分)
当x=-2时,原式=-2-1(5分)
=-3.(6分)
21.解析 (1)轴对称图形如图所示.(3分)
(2)位似图形如图所示.
(6分)
∵△ABC∽△ABC,A B =1,(7分)
1 1 1 2 2 2 1 1
A B 2
2 2∴ ∶ =(1) 2=1.(8分)
S S
△A 1 B 1 C 1 △A 2 B 2 C 2 2 4
22.解析 (1)90÷30%=300(名).(2分)
(2)如图所示. (4分)
40
(3) ×360°=48°.(6分)
300
80
(4) ×1 800=480(名).(8分)
300
23.解析 (1)证明:在菱形ABCD中,
AB=BC=CD=DA,(1分)
∠B=∠D.(2分)
∵点E、F分别是边BC、AD的中点,∴BE=DF,(3分)
∴△ABE≌△CDF.(4分)
(2)解法一:∵AB=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.(5分)
∵点E是BC边的中点,∴AE⊥BC.(6分)
AE
在Rt△ABE中,sin∠B= ,(7分)
AB
√3
∴AE=AB·sin∠B=4× =2√3.(8分)
2
解法二:∵AB=BC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.(5分)
∵点E是BC边的中点,∴AE⊥BC.(6分)∴∠BAE=30°.
1
在Rt△ABE中,BE= AB=2,(7分)
2
∴AE= = =2 .(8分)
√AB2-BE2 √42-22 √3
评析 本题考查菱形的性质、三角形全等的判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识,属
基础题.
24.解析 (1)30千米.(2分)
{ b=30,
(2)解法一:当 0≤x≤2 时,设 y =kx+b,将点(0,30),(2,0)代入得 解得
甲 2k+b=0,
{k=-15,
b=30,
∴y =-15x+30(0≤x≤2).(3分)
甲
当0≤x≤1时,设y =mx,将点(1,30)代入得m=30,
乙
∴y =30x(0≤x≤1),(4分)
乙
当y =y 时,-15x+30=30x,(5分)
甲 乙
2
解得x= ,此时y =y =20,
甲 乙
3
∴点M的坐标为(2 ).(6分)
,20
3
2
该点坐标所表示的实际意义:甲、乙两人行驶 小时后第一次相遇,此时两人离B地的距离
3
均为20千米.(7分)
解法二:由题图可知,甲的速度为15千米/时,(3分)
乙的速度为30千米/时.(4分)
设经过x小时后甲、乙两人第一次相遇,则15x+30x=30,(5分)解得x=2,∴30x=20,∴点M的坐标为(2 ).(6分)
,20
3 3
2
该点坐标所表示的实际意义:甲、乙两人行驶 小时后第一次相遇,此时两人离B地的距离
3
均为20千米.(7分)
3 2
(3) ≤x≤ (8分)
5 3
2 11
或 0时,延长AG,交BN于点H,
由(2)可知AO=AM,同理可证:BO=BN.(7分)
设AO=AM=m,BN=BO=n.
易知BN∥OE,∴△AGO∽△AHB,
AO AB m m+n
∴ = ,即 = ,(8分)
OG BH 2-m n-m
整理得m+n=mn.
1 1
∵m≠0,n≠0,∴两边同除以mn得 + =1,
m n
1 1
即 + =1.(9分)
AM BN
1 1
当k<0时,同理可证: + =1,
AM BN1 1
综上所述,无论k取何值, + 的值都等于同一个常数.(10分)
AM BN
评析 本题属二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式、勾股定理、三角形相似
的判定与性质,本题难点在相似三角形的构造,依据条件作垂线是构造相似三角形的途径.本
题对学生的计算能力要求较高,属难题.
