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2016年南宁市初中毕业升学考试
数学
32A
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.-2的相反数是( )
A.-2 B.0 C.2 D.4
2.把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
3.据《南国早报》报道:2016年广西高考报名人数约为332 000人,创历史新高.其中数据332 000用科学记数法表示为( )
A.0.332×106 B.3.32×105
C.3.32×104 D.33.2×104
4.已知正比例函数y=3x的图象经过点(1,m),则m的值为( )
1 1
A. B.3 C.- D.-3
3 3
5.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分,其中研究性学习成绩占40%,期末卷面成绩占60%.小明的两项成绩(百分制)依次是80分,90分,则小明这学期的数学成绩是( )
A.80分 B.82分 C.84分 D.86分
6.如图,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC=10米,∠B=36°,则中柱AD(D为底边中点)的长是( )
A.5sin 36°米 B.5cos 36°米
C.5tan 36°米 D.10tan 36°米
7.下列运算正确的是( )
A.a2-a=a B.ax+ay=axy
C.m2·m4=m6 D.(y3)2=y5
8.下列各曲线中表示y是x的函数的是( )9.如图,点A,B,C,P在☉O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为( )
A.140° B.70° C.60° D.40°
10.超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个又减10元,经两次降价后售价为90元,则得到方程( )
A.0.8x-10=90 B.0.08x-10=90
C.90-0.8x=10 D.x-0.8x-10=90
11.有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S,S,则S∶S 等于( )
1 2 1 2
A.1∶√2 B.1∶2 C.2∶3 D.4∶9
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y=2x的图象如图所示,则方程ax2+( 2)x+c=0(a≠0)的两根之和( )
b-
3 3
A.大于0B.等于0 C.小于0 D.不能确定
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.若二次根式√x-1有意义,则x的取值范围是 .
14.如图,平行线AB,CD被直线AE所截,∠1=50°,则∠A= °.
15.分解因式:a2-9= .
16.如图,在4×4正方形网格中,有3个小正方形已经被涂黑,若再涂黑任意一个白色的小正方形(每一个白色的小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 .k
17.如图所示,反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D,若矩形OABC的面积为8,则k的值为 .
x
18.观察下列等式:
第1层 1+2=3
第2层 4+5+6=7+8
第3层 9+10+11+12=13+14+15
第4层 16+17+18+19+20=21+22+23+24
……
在上述数字宝塔中,从上往下数,2 016在第 层.
三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(本小题满分6分)计算:|-2|+4cos 30°-(1) -1 + .
√12
2
{
3x-2≤x,
20.(本小题满分6分)解不等式组 并把解集在数轴上表示出来.
2x+1 x+1
< ,
5 2
32B21.(本小题满分8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△ABC;
1 1 1
1
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的 ,得到△ABC,请在y轴右侧画出△ABC,并求出∠ACB 的正弦值.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
22.(本小题满分8分)在“书香八桂,阅读圆梦”读书活动中,某中学设置了书法、国学诵读、演讲、征文四个比赛项目(每人只参加一个项目),九(2)班全班同学都参加了比赛,该班班长为了了解本班同学参加各项比赛的情况,收集整理数据后,绘制以下不完整的折
线统计图(图1)和扇形统计图(图2).根据图中的信息解答下列各题:
图1 图2
(1)请求出九(2)班全班人数;
(2)请把折线统计图补充完整;
(3)南南和宁宁参加了比赛,请用“列表法”或“画树状图法”求出他们参加的比赛项目相同的概率.
23.(本小题满分8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.1
24.(本小题满分10分)在南宁市地铁1号线某段工程建设中,甲队单独完成这项工程需要150天,甲队单独施工30天后增加乙队,两队又共同工作了15天,共完成总工程的 .
3
(1)求乙队单独完成这项工程需要多少天;
1
(2)为了加快工程进度,甲、乙两队各自提高工作效率,提高后乙队的工作效率是 ,甲队的工作效率是乙队的m倍(1≤m≤2),若两队合作40天完成剩余的工程,请写出a关于m的函数关系式,并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍.
a
25.(本小题满分10分)已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
26.(本小题满分10分)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴,与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.2016年南宁市初中毕业升学考试
一、选择题
1.C -2和2互为相反数.故选C.
2.A 光线由上向下照射得到的正投影相当于俯视图,即一个正六边形,故选A.
3.B 332 000=3.32×100 000=3.32×105,故选B.
4.B 将x=1,y=m代入y=3x,得m=3×1=3.故选B.
5.D 根据加权A平D均数的计算公式,得小明这学期的数学成绩是80×40%+90×60%=86分,故选D.
6.C ∵tan B= ,∴AD=BD·tan B=5tan 36°米.故选C.
BD
7.C 选项A中a2与a不是同类项,不能合并;选项B的结果应是a(x+y);选项D的结果应是y6.故选C.
8.D 根据函数的概念,对于任意自变量x,都有唯一的y值与之对应,知选项1 D符合题意.故选D.
9.B ∵∠DCE=40°,CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠DOE=180°-40°=140°.∴∠P= ∠AOB=70°.故选B.
2
10.A 每个书包原价是x元,则第一次打八折后的价1格是0.8x元,第二次降价10元后的价格是(0.8x-10)元,则可得方程0.8x-130=90.故选A.
11.D 1如图所9示,由题意可知AG=GE=EF,BH=HC= BC.设DE=a,则AG2=GE2=EF2=2a2,则AE2=4a2,即AE=2a,∴AD=3a,HC= a,
2 2
∵S= a2,S= a2,∴S∶S=4∶9.
1 2 2 8 1 2
2
12.A 根据题 ( 图可2知 ) a>0,b<0,b2-4ac>0. ( 2) 2 4 4 4 4 b- b 2
在方程ax2+ b- x+c=0(a≠0)中,Δ= b- -4ac=b2- b+ -4ac=b2-4ac- b+ >0,设此方程的两根分别为x,x,则x+x=- 3=- + >0,故选A.
3 3 3 9 3 9 1 2 1 2 a 3a
二、填空题 a
13. 答案 x≥1
解析 根据二次根式√x-1有意义,得x-1≥0,解得x≥1.
14. 答案 50
解析 ∵AB∥CD,∴∠A=∠1=50°.
15. 答案 (a+3)(a-3)
解析 a2-9=3a2-32=(a+3)(a-3).
16. 答案 3
13
解析 如图,若使新涂黑的小正方形与原来的三个黑色小正方形构成轴对称图形,则只能涂图中的1、2、3处的白色小正方形.故所求概率为 .
13
17. 答案 2
解析 设D(x
D
,y
D
),x
D
>0k,y
D
>0,过D分别作DE⊥OA,DF⊥OC,则DF=x
D
,DE=y
D
,且DF∥OA,DE∥OC,∵点D为AC的中点,∴OA=2DF=2x
D
,OC=2DE=2y
D
.∵矩形OABC的面积等于8,∴OA·OC=8,即2x
D
·2y
D
=8,∴x
D
y
D
=2.
又点D在反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象上,
x
∴k=x y =2.
D D
18. 答案 44
解析 因为每层的第一个数都是层数的平方,所以第44层的第一个数是442=1 936,第45层的第一个数是452=2 025,因为1 936<2 016<2 025,所以2 016在第44层.
三、解答题 √3
19. 解析 原式=2+4× -2+2√3(4分)
=2+2√3-2+2√3(5分) 2
=4√3.(6分) {
3x-2≤x,①
20. 解析
2x+1 x+1
< .②
解不等式①得2x5≤2,
2
即x≤1.(1分)
解不等式②得4x+2<5x+5,(2分)
即x>-3.(3分)
∴不等式组的解集为-30,∴a随m的增大而增大,∵1≤m≤2,
∴当m=1时,a取最小值,且最小1值为1120.
此1时,乙队1的最1大5工作效率是 = .(9分)
a 120
÷ = . 15
120 450 4
答:乙队的最大工作效率是原来的 倍.(10分)
4
25. 解析 (1)AE,EF,AF的数量关系式为AE=EF=AF.(2分)
(2)证明:连接AC,(3分)
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠D=60°.
∴△ABC, ACD是等边三角形.
∴AB=AC,∠ABC=∠BAC=∠ACD=60°.
∵∠BAE△+∠EAC=∠
{
B
∠
ACA=6B0°C,∠=C
∠
AF+A ∠ CEFA,C=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF.(4分)
在△ABE与△ACF中, AB=AC,
∴△ABE≌△ACF(ASA ∠ ),(5 B分A ) E=∠CAF,
∴BE=CF.(6分)
(3)解法一:过点F作FG⊥BC于点G,过点A作AK⊥BC于点K.∵∠ABC=60°,∠EAB=15°,
∴∠AEC=∠EAK=45°,
∴∠BAK=∠EAK-∠EAB=30°,A1K=EK.(7分)
在Rt ABK中,∵AB=4,∴BK= AB=2.
∴根据勾股定理得:EK=AK=√4 22-22=2√3.
∴BE△=EK-BK=2√3-2.(8分)
∵∠EAB+∠BAF=∠EAF=60°,∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°,
∴∠EAB=∠FAC.
∵∠ABC=60°,∴∠ABE=120°.
∵△ACD是等边三角 { 形 ∠ ,∴∠ EAABCD== ∠ 60°,F ∴ A ∠ CA,CF=120°.
∴∠ABE=∠ACF.
在△ABE与△ACF中, AB=AC,
∴△ABE≌△ACF(ASA ∠ ), ABE=∠ACF,
∴CF=BE=2√3-2.(9分)
∵∠ACB=∠ACD=60°,∴∠ECF=60°F. G
在Rt CFG中,∵si√n∠3FCG=sin 60°= ,
∴FG=CF·sin 60°=
×(2√3-2)=3-√C3F
.
即点△F到BC的距离 2 是3-√3.(10分)
解法二:过点A作AK⊥BC于点K,过点F作FG⊥BC于点G,延长FG交AD于点M.
∴∠AKG=∠KGM=∠GMA=90°,∴四边形AKGM是矩形.
∵∠ABC=60°,∠EAB=15°,
∴∠AEC=∠EAK=45°.
∴∠BAK=∠EAK-∠EAB=30°,A1K=EK.(7分)
在Rt ABK中,∵AB=4,∴BK= AB=2.
∴根据勾股定理得:EK=AK=√4 22-22=2√3.
∴BE△=EK-BK=2√3-2.(8分)
∵∠EAB+∠BAF=∠EAF=60°,∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°.
∴∠EAB=∠FAC.
∵∠ABC=60°,∴∠ABE=120°.
∵△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,∴∠A
{
C
∠
F=1E20A°.B=∠FAC,
∴∠ABE=∠ACF.
在△ABE与△ACF中, AB=AC,
∴△ABE≌△ACF(ASA ∠ ), ABE=∠ACF,
∴CF=BE=2√3-2.(9分)
∵四边形AKGM是矩形,
∴GFMG=AKC=F2√3,AFDG∥EC2.√3-2
∴ = ,即 = .
∴F G G M =3-√C3D ,即点 2 F到 √3 BC的距 4 离是3-√3.(10分)
26. 解析 (1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+1(a≠0).(1分)
把(0,0)代入上式,得0=a(0-1)2+1,∴a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+1,
即y=-x2+2x.(2{分y)=-x2+2x, {x =-1, {x =2,
1 2
联立得方程组 解得 或
∴点C的坐标为(-1 y ,- = 3) x .(3 - 分 2 ) , y 1 =-3 y 2 =0.
(2)证法一:过点C作CF垂直x轴于点F,过点A作AE垂直x轴于点E,已知点A(1,1),B(2,0),C(-1,-3),
∴FC=FB=3,AE=BE=1,
∴△CBF和△ABE是等腰直角三角形,
∴∠CBF=∠ABE=45°.
∴∠ABC=∠CBF+∠ABE=90°.
∴△ABC是直角三角形.(5分)
证法二:已知点A(1,1),B(2,0),C(-1,-3).
根据勾股定理得:AB=√12+12=√2,BC=√32+32=3√2,AC=√22+42=2√5.
在△ABC中,∵AB2+BC2=(√2)2+(3√2)2=20,AC2=(2√5)2=20,
∴AB2+BC2=AC2.
∴根据勾股定理的逆定理得: ABC是直角三角形.(5分)
(3)解法一:存在.如图,∵过点N作MN⊥x轴于点N,与抛物线交于点M,
∴∠AABBCM=∠NMNO=90°. △
当 AB= ON时, ABC∽△MNO,
BC NO
或当 = 时, ABC∽△ONM.
∵AABB B =√C21,B N C M =N3O√△2, 1
∴ = ,∴ 的△值等于 或3.(6分)
BC 3 MN 3
设点N的坐标为(a,0),则点M的坐标为(a,-a2+2a),分三种情况讨论:
①当点aM在第一1象限时,ON=a,MN=-a2+2a,
当 当 -a2 a +2a = =3 3 时 时 ,解 ,解 得 得 a a 1 = = 0 0 ( ( 舍 舍 去 去 ) ) ,a ,a 2 = =5-1 , ( ∴ 舍 N 去(),5 ,0 ) ;
②当 --aa点 2+ M2 在 a 第1三象限时,O 3 N=-a,MN= 4 a2- 3 2a, 1 3
当 = 时,解得a=0(舍去),a=-1,∴N(-1,0),
a2-2a 3 5 6 2-a 5
当 =3时,解得a=0(舍去),a= (舍去);
③当
a2
点
-aM2a
在第1四象限时
7
,ON=a,MN
8
=a
3
2-2a,
当 当 综上 a a 2 2 所 - - a 述 2 2, a a 存 = = 在 3 3 时 时 N ,解 , ( 解 5得 得 , a a 0 1 9 1 = =) 0 0 ,N ( ( 舍 舍 (- 去 去 1, ) ) 0 , , ) a a , 1 1 N 0 2 = = 5 ( 7 3 5 ,∴ , , 0 ∴ ) N ,N N 3 ( 4 5 ( (,0 7 7 3 ), , , 0 0 ) ) 使 . 得以点O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似.(10分)
1 3 2 3 4 3
解法二:存在.如图,∵过点N作MN⊥x轴于点N,与抛物线交于点M,
∴∠AABBCM=∠NMNO=90°.
当 AB= ON时, ABC∽△MNO,
BC NO
或当 = 时, ABACB∽△1ONM.
∵AB B =√C2,B N C M =3√△2,∴ = .(6分)
设点N的a坐标为(a,0△),则 B 点 C M的 3 坐标为(a,-5a2+2a),(分5四种情)况讨论:
① ② 当 当 -a2 a a+2a = = 3 -13 时 时 ,解 ,解 得 得 a a 1 = = 0 0 ( ( 舍 舍 去 去 ), ) a ,a 2 = = 3 7,∴ ,∴ N N 1( 3 7 , , 0 0 ); ;
③当
-a2 a+2a=
1时,解得a
3
=0(舍去),a
4
=-
3
1,∴N
2
(-1
3
,0);
④
综
当
上所
-
-
a
a 述
2
2 ,
+
+ 存
2
2 在
a
aN
=-( 3
3
5时
,
,解
0
)得
,N
a 5 7(=07(舍
,
去
0
)),
,
a 6
N 8
=
(
5
-
,
1
∴
,0
N
),N
3
4
(5
(
,
5
0
,
)
0
.
)使得以点O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似.(10分)
1 3 2 3 3 4
