2016 年广东省初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:100分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的.
1.-2的相反数是( )
1 1
A.2 B.-2 C. D.-
2 2
2.如图所示,a与b的大小关系是( )
A.a<b B.a>b
C.a=b D.b=2a
3.下列所述图形中,是中心对称图形的是( )
A.直角三角形 B.平行四边形
C.正五边形 D.正三角形
4.据广东省旅游局统计显示,2016年4月全省旅游住宿设施接待过夜游客约27 700 000人,将
27 700 000用科学记数法表示为( )
A.0.277×107 B.0.277×108
C.2.77×107 D.2.77×108
5.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )
A.√2 B.2√2 C.√2+1D.2√2+1
6.某公司的拓展部有五个员工,他们每月的工资分别是3 000元,4 000元,5 000元,7 000元和
10 000元,那么他们工资的中位数是( )
A.4 000元 B.5 000元 C.7 000元 D.10 000元
7.在平面直角坐标系中,点P(-2,-3)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cos α的值是( )3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 5 5
9.已知方程x-2y+3=8,则整式x-2y的值为( )
A.5 B.10 C.12 D.15
10.如图,在正方形ABCD中,点P从点A出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周,则△APC的面积y
与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是( )
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题6小题,每小题4分,共24分)
11.9的算术平方根是 .
12.分解因式:m2-4= .
{x-1≤2-2x,
13.不等式组 的解集是 .
2x x-1
>
3 2
14.如图,把一个圆锥沿母线OA剪开,展开后得到扇形AOC,已知圆锥的高h为12 cm,OA=13 cm,则
扇形AOC中 ⏜ 的长是 cm(计算结果保留π).
AC
15.如图,矩形ABCD中,对角线AC=2√3,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形ABCD沿AE所在的直线折
叠,B点恰好落在对角线AC上的B'处,则AB= .16.如图,点P是四边形ABCD外接圆☉O上任意一点,且不与四边形顶点重合.若AD是☉O的直
径,AB=BC=CD,连接PA,PB,PC.若PA=a,则点A到PB和PC的距离之和AE+AF= .
三、解答题(一)(本大题3小题,每小题6分,共18分)
17.计算:|-3|-(2 016+sin 30°)0-( 1) -1 .
-
2
a+3 6 2a-6
18.先化简,再求值: · + ,其中a=√3-1.
a a2+6a+9 a2-9
19.如图,已知△ABC中,D为AB的中点.
(1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20.某工程队修建一条长1 200 m的道路,采用新的施工方式,工效提升了50%,结果提前4天完成任
务.
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米;
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增
加百分之几?21.如图,Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作
Rt△DEC,满足∠E=30°,∠DCE=90°,再用同样的方法作Rt△FGC,∠FCG=90°,继续用同样的方法作
Rt△HIC,∠HCI=90°.若AC=a,求CI的长.
22.某学校准备开展“阳光体育活动”,决定开设以下体育活动项目:足球、乒乓球、篮球和羽毛球,要
求每位学生必须且只能选择一项.为了解选择各种体育活动项目的学生人数,随机抽取了部分学生进
行调查,并将通过调查获得的数据进行整理,绘制出以下两幅不完整的统计图.请根据统计图回答问题:
(1)这次活动一共调查了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,选择篮球项目的人数所在扇形的圆心角等于 度;
(4)若该学校有1 500人,请你估计该学校选择足球项目的学生人数约是 人.
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
2
23.如图,在直角坐标系中,直线y=kx+1(k≠0)与双曲线y= (x>0)相交于点P(1,m).
x
(1)求k的值;
(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称,则点Q的坐标是Q( );(3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N( 5),求该抛物线的函数解析式,并求出抛物线的对
0,
3
称轴方程.
24.如图,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,∠ABC=30°.过点B作☉O的切线BD,与CA的延长线
交于点D,与半径AO的延长线交于点E.过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.
(1)求证:△ACF∽△DAE;
√3
(2)若S = ,求DE的长;
△AOC
4
(3)连接EF,求证:EF是☉O的切线.
25.如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2.边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记
为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形;
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;
(3)在平移变换过程中,设y=S ,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
△OPB答案全解全析：
一、选择题
1.A -2的相反数是2,故选A.
评析 本题考查相反数的概念,属简单题.
2.A 因为数轴上右边的点表示的数总是比左边的点表示的数大,所以由题图可知b>a,故选A.
评析 本题考查由数轴上的点的位置比较相应数的大小.
3.B 由中心对称图形旋转180°后与原图形重合,可知直角三角形、正五边形和正三角形都不是中心
对称图形,只有平行四边形是中心对称图形.故选B.
4.C 27 700 000=2.77×107 ,故选C.
5.B 如图,连接BD,由题可知BC=CD=1,
∴BD=√2.
∵E,F分别为BC,CD的中点,
1 √2
∴EF= BD= ,
2 2
∴正方形EFGH的周长为2√2.
故选B.
评析 本题考查正方形的性质,三角形的中位线等.
6.B 将数据由小到大排列,最中间的数据是5 000,∴他们工资的中位数是5 000元,故选B.
评析 本题考查中位数,求中位数时,易忽略排序而导致错误.
7.C ∵点P的横坐标与纵坐标都是负数,
∴点P在第三象限.
8.D 过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4.
OB 4
由勾股定理得OA=5. ∴cos α= = .故选D.
OA 59.A 把x-2y看成一个整体,移项得x-2y=8-3=5.
评析 本题主要考查整体思想,整体代入法是解决此类问题的常用方法,属容易题.
1 1 1
10.C 设正方形的边长为a,则当点P在AB上时,y= ·AP·CB= ·x·a= ax,显然y是x的正比例函数,
2 2 2
1
且 a>0,排除A、B、D,故选C.
2
二、填空题
11.答案 3
解析 9的算术平方根为3.
12.答案 (m+2)(m-2)
解析 m2-4=m2-22=(m+2)(m-2).
评析 本题考查因式分解、平方差公式.
13.答案 -3<x≤1
解析 解x-1≤2-2x,得x≤1.
2x x-1
解 > ,得x>-3.
3 2
所以原不等式组的解集为-3<x≤1.
14.答案 10π
解析 根据勾股定理可知,圆锥的底面半径为 =5 cm.
√132-122
所以扇形AOC中 ⏜ 的长为2π×5=10π cm.
AC
15.答案 √3
解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=B'E,∠AB'E=∠ABE=90°,∴∠EB'C=90°.
∵BC=3BE,
∴EC=2BE=2B'E,
1
∴∠ACB=30°,∴AB= AC.
2
∵AC=2√3,∴AB=√3.
评析 本题考查折叠和矩形的性质等知识.属中档题.
1+√3
16.答案 a
2
解析 如图,连接OB、OC,∵AB=BC=CD,
∴ ⏜ = ⏜ = ⏜ .
AB BC CD又∵AD是☉O的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°,
∴∠CPB=∠APB=30°,
1 1
∴AE= PA= a,∠APC=60°,
2 2
√3
Rt△APF中,AF=APsin 60°= a,
2
1+√3
∴AE+AF= a.
2
评析 本题主要考查圆的有关性质与锐角三角函数.
三、解答题(一)
17.解析 原式=3-1-(-2)(3分)
=2+2(5分)
=4.(6分)
评析 本题主要考查绝对值、零指数幂和负整数指数幂的相关计算.
a+3 6 2(a-3)
18.解析 原式= × + (2分)
a (a+3)2 (a+3)(a-3)
6 2
= +
a(a+3) a+3
6 2a
= + (3分)
a(a+3) a(a+3)
2
= .(4分)
a
2
当a=√3-1时,原式= =√3+1.(6分)
√3-1
评析 本题主要考查分式的化简、求值、因式分解和分母有理化运算.
19.解析 (1)如图.
(2分)
E点,DE即为所求.(3分)
(2)∵DE是△ABC的中位线,且DE=4,
∴BC=2DE=2×4=8.(6分)
评析 本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.
四、解答题(二)20.解析 (1)设原计划每天修建道路x m,
则实际平均每天修建道路为(1+50%)x m.(1分)
1 200 1 200
由题意得, - =4.(2分)
x (1+50%)x
解得x=100.
经检验,x=100是原方程的解.(3分)
答:这个工程队原计划每天修建道路100米.(4分)
(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y,
由题意得,100(1+y)(1 200 )=1 200.
-2
100
解得y=0.2,即y=20%.(6分)
答:如果要求工程队提前2天完成任务,那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加20%.(7分)
评析 本题主要考查分式方程、一元一次方程的解法和应用,考查运用方程思想解决实际问题的能
力.
21.解析 ∵Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,
∴∠A=60°.(1分)
∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∠ACD=30°.(2分)
∵AC=a,
1 a √3
∴Rt△ADC中,AD= AC= ,CD=√3AD= a.(4分)
2 2 2
1 √3 3
同理可得,Rt△DFC中,DF= CD= a,CF=√3DF= a.(5分)
2 4 4
1 3 3√3
Rt△FHC中,FH= CF= a,CH=√3FH= a,(6分)
2 8 8
9
Rt△CHI中,CI=√3CH= a.(7分)
8
评析 本题考查直角三角形的基本性质与运算.
22.解析 (1)250.(1分)
(2)图形正确得满分.(3分)
(3)108.(5分)
(4)480.(7分)
评析 本题主要考查条形统计图和扇形统计图的相关计算,以及通过样本推算总体的数据分析能力.
五、解答题(三)2 2
23.解析 (1)把P(1,m)代入y= ,得m= =2,(1分)
x 1
∴P(1,2).
把P(1,2)代入y=kx+1,得2=k+1,
∴k=1.(2分)
(2)(2,1).(4分)
(3)由N( 5),可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+5,(5分)
0,
3 3
5
{ 2=a+b+ ,
把P(1,2)和Q(2,1)代入上式可得 3 (6分)
5
1=4a+2b+ .
3
{ 2
解得 a=- ,(7分)
3
b=1.
2 5
∴抛物线的解析式为y=- x2+x+ .(8分)
3 3
1
b 3
对称轴方程为x=- =- 4 = .(9分)
2a - 4
3
评析 本题考查一次函数、反比例函数和二次函数的图象及性质,考查待定系数法和函数方程思想
的运用能力.
24.解析 (1)证明:∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC=∠BAD=90°.
∵∠ABC=30°,OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠OAC=∠OCA=∠AOC=60°,
∴∠ACF=∠DAE=120°.(1分)
∵AF是☉O的切线,
∴OA⊥AF,
∴∠OAF=90°,
∴∠CAF=90°-∠OAC=90°-60°=30°.(2分)
∵BD是☉O的切线,
∴∠D=90°-∠BCD=90°-60°=30°,
∴∠D=∠CAF,
∴△ACF∽△DAE.(3分)
(2)设OC=r,∵△OAC是等边三角形,
1 √3 √3
∴S = ·r· r= r2,(4分)
△AOC 2 2 4√3 √3
∴ r2= ,
4 4
∴r=1或r=-1(舍去),
∴OC=1.
∴AB=√3,BD=2√3.(5分)
∵∠BEO=180°-∠DAE-∠D=180°-120°-30°=30°,
∴∠BEO=∠BAO,
∴BE=AB=√3,
∴DE=BD+BE=3√3.(6分)
(3)证明:过点O作OG⊥EF,垂足为G.
∵∠AFB=∠ACB-∠CAF=30°,
∴AC=FC=1.
∴BF=3,OF=2.(7分)
在Rt△BEF中,EF= = =2 ,
√BE2+BF2 √(√3)2+32 √3
∵∠EBF=∠OGF=90°,∠OFG=∠EFB,
∴Rt△OFG∽Rt△EFB,(8分)
OG OF
∴ = ,
EB EF
OG 2
∴ = ,∴OG=1,
√3 2√3
∴OG=OC,∴EF是☉O的切线.(9分)
评析 本题考查直角三角形、等腰三角形、等边三角形及圆的相关知识.
25.解析 (1)四边形APQD是平行四边形.(1分)
(2)OA=OP且OA⊥OP.证明如下:
①当BC向右平移时,如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°.
∵PQ=BC,∴AB=PQ.
∵QO⊥BD,
∴∠BOQ=90°,∴∠BQO=90°-∠CBD=45°,
∴∠BQO=∠CBD=∠ABD=45°,
∴OB=OQ.
{
AB=PQ,
在△ABO和△PQO中, ∠ABO=∠PQO,
OB=OQ,
∴△ABO≌△PQO(SAS).(3分)
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ.
∵∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°,
∴∠AOB+∠BOP=90°,即∠AOP=90°.
∴OA⊥OP,
∴OA=OP且OA⊥OP.(4分)
②当BC向左平移时,如图,
同理可证,△ABO≌△PQO(SAS).
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP+∠POB=∠POB+∠BOQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,
∴OA⊥OP,
∴OA=OP且OA⊥OP.(5分)
(3)过点O作OE⊥BC于E.
在Rt△BOQ中,OB=OQ,
1
∴OE= BQ.
2
①当BC向右平移时,如图,(6分)
BQ=BP+PQ=x+2,
1
∴OE= (x+2).
2
1 1 1
∵y=S = BP·OE= x· (x+2),
△OPB
2 2 2
1 1
∴y= x2+ x(0≤x≤2).
4 2
当x=2时,y有最大值2.(7分)
②当BC向左平移时,如图,BQ=PQ-PB=2-x,1
∴OE= (2-x).
2
1
∵y=S = BP·OE
△OPB
2
1 1
= x· (2-x),
2 2
1 1
∴y=- x2+ x(0≤x≤2).
4 2
1
当x=1时,y有最大值 .(8分)
4
综上所述,线段BC在其所在直线平移过程中,△OPB的面积能够取得最大值,最大值为2(参考下图).(9
分)
评析 本题考查对正方形、直角三角形和平行四边形基本性质的理解与应用,考查数形结合思想和
分类讨论思想.
