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2016 年陕西省初中毕业学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.计算:( 1)×2=( )
-
2
A.-1 B.1 C.4 D.-4
2.下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成,则它的左视图是( )
3.下列计算正确的是( )
A.x2+3x2=4x4 B.x2y·2x3=2x6y
C.(6x3y2)÷(3x)=2x2 D.(-3x)2=9x2
4.如图,AB∥CD,AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C=50°,则∠AED=( )
A.65° B.115° C.125° D.130°
3
5.设点A(a,b)是正比例函数y=- x图象上的任意一点,则下列等式一定成立的是( )
2
A.2a+3b=0 B.2a-3b=0
C.3a-2b=0 D.3a+2b=0
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角
∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
7.已知一次函数y=kx+5和y=k'x+7.假设k>0且k'<0,则这两个一次函数图象的交点在( )
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
8.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并
分别延长交边BC于两点M'、N',则图中的全等三角形共有( )
· ·
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
9.如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长
为( )
A.3√3 B.4√3 C.5√3 D.6√3
10.已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连接AC、BC,则
tan∠CAB的值为( )
1 √5 2√5
A. B. C. D.2
2 5 5
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(共4小题,每小题3分,计12分)
1
11.不等式- x+3<0的解集是 .
2
12.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
····
A.一个正多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是 .
B.运用科学计算器计算:3√17sin 73°52'≈ .(结果精确到0.1)
13.已知一次函数y=2x+4的图象分别交x轴、y轴于A、B两点.若这个一次函数的图象与一个反比
例函数的图象在第一象限交于点C,且AB=2BC,则这个反比例函数的表达式为 .
14.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶
点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .
三、解答题(共11小题,计78分.解答应写出过程)
15.(本题满分5分)计算:√12-|1-√3|+(7+π)0.
16.(本题满分5分)
化简:( 16 )÷ x-1 .
x-5+
x+3 x2-9
17.(本题满分5分)
如图,已知△ABC,∠BAC=90°.请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形.(保留
作图痕迹,不写作法)
18.(本题满分5分)
某校为了进一步改进本校七年级数学教学,提高学生学习数学的兴趣,校教务处在七年级所有班级中,
每班随机抽取了6名学生,并对他们的数学学习情况进行了问卷调查.我们从所调查的题目中,特别把
学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为:“A—非常喜欢”“B—比较喜欢”“C—不太喜
欢”“D—很不喜欢”,针对这个题目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)
结果进行了统计.现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
所抽取学生对数学学习喜欢程度的调查统计图
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;
(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ;
(3)若该校七年级共有960名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人.19.(本题满分7分)
如图,在▱ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF=DE,连接
AF、CE.求证:AF∥CE.
20.(本题满分7分)
某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁
公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌
握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过
研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下:如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的
直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不
动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面
上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光下,他们用测影长的
方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末
端F点处,此时,测得小亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米.
如图,已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提
供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度.
21.(本题满分7分)
昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛.赛后,他当天按原路返回.如图是
小明昨天出行的过程中,他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象.根据上面图象,回答下列问题:
(1)求线段AB所表示的函数关系式;
(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家.
22.(本题满分7分)
某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票参与抽奖活动.奖品是三种瓶装饮料,它
们分别是:绿茶(500 mL)、红茶(500 mL)和可乐(600 mL).抽奖规则如下:①如图是一个材质均匀可自
由转动的转盘,转盘被等分成五个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”
字样;②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针
所指区域的字样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”);③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针
指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;④当顾客完成一次抽奖
活动后,记下两次指针所指区域的两个字,只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关),
便可获得相应奖品一瓶;不相同时,不能获得任何奖品.
根据以上规则,回答下列问题:
(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率;
(2)有一名顾客凭本超市的购物小票,参与了一次抽奖活动.请你用列表或画树状图等方法,求该顾客经
过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.23.(本题满分8分)
如图,已知:AB是☉O的弦,过点B作BC⊥AB交☉O于点C,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,
取AD的中点E,过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F,连接AF并延长交BC的延长线于点G.
求证:(1)FC=FG;
(2)AB2=BC·BG.
24.(本题满分10分)
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.抛物线y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和N(3,5).
(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况;
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点
的三角形是等腰直角三角形.请你写出平移过程,并说明理由.
25.(本题满分12分)
问题提出
(1)如图①,已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.
问题探究
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H,使得四边
形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.
问题解决
(3)如图③,有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形
EFGH部件,使∠EFG=90°,EF=FG=√5米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC
上,且AF0,k'<0,∴k-k'>0,
设交点为(x 0 ,y 0 ),则有{ y 0 =kx 0 +5,
y =k'x +7,
0 0
2
解得x = ,
0 k-k'
∴x >0,
0
∴y =kx +5>0,
0 0
∴交点在第一象限.
8.C 易知△ABD≌△CBD,△MON≌△M'ON',△DON≌△BON',△DOM≌△BOM',故选C.
9.B ∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,
∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,
∴BC=2BD.
∵OB=OC,
180°-∠BOC
∴∠OBD=∠OCD= =30°,
2
∴BD=OBcos 30°=2√3,
∴BC=2BD=4√3,故选B.
10.D 不妨设点A在点B左侧,
如图,作CD⊥AB交AB于点D,当y=0时,-x2-2x+3=0,
解得x =-3,x =1,
1 2
所以A(-3,0),B(1,0),
所以AB=4,因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以顶点C(-1,4),所以AD=2,CD=4,
CD
所以tan∠CAB= =2,故选D.
AD
评析 本题考查了二次函数的图象和性质,求某个角的三角函数值.属于容易题.二、填空题
11.答案 x>6
1 1
解析 - x+3<0即- x<-3,故x>6.
2 2
12.答案 A.8 B.11.9
360
解析 A.∵正多边形的外角和为360°, =8,∴这个正多边形的边数为8;B.3√17sin 73°52'≈11.9.
45
6
13.答案 y=
x
解析 由题可得A(-2,0),B(0,4),所以OA=2,OB=4.如图,作CD⊥x轴交x轴于点D,因为AB=2BC,所以
1 3 k
OD= OA=1,CD= OB=6,所以C(1,6),设反比例函数的表达式为y= (k≠0),则k=1×6=6,故反比例函
2 2 x
6
数的表达式为y= .
x
14.答案 2√3-2
解析 当等腰△PBC以∠PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧 ⏜ 上.连接AC、BD相交
AC
于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.
∵四边形ABCD是菱形,
1
∴AC⊥BD,∠ABO= ∠ABC=30°,
2
∴BO=ABcos 30°=√3,∴BD=2BO=2√3,
∵PB=BC=2,∴PD=BD-PB=2√3-2.
当等腰三角形PBC以∠PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则
PD=2.
当等腰三角形PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P
在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.∵2√3-2<2,
∴PD的最小值是2√3-2.
评析 本题考查了菱形、等腰三角形的性质、圆、中垂线,运用了分类讨论思想,综合性较强,属于难
题.
三、解答题
15.解析 原式=2√3-(√3-1)+1(3分)
=2√3-√3+1+1(4分)
=√3+2.(5分)
(x-5)(x+3)+16 x-1
16.解析 原式= ÷ (1分)
x+3 x2-9
x2-2x+1 x2-9
= · (2分)
x+3 x-1
(x-1)2 (x+3)(x-3)
= · (3分)
x+3 x-1
=(x-1)(x-3)(4分)
=x2-4x+3.(5分)
17.解析 如图,直线AD即为所作.(5分)
18.解析 (1)补全的条形统计图和扇形统计图如图.(3分)
所抽取学生对数学学习喜欢程度的调查统计图
(2)比较喜欢(填“B”也正确).(4分)
(3)960×25%=240(人).
∴估计七年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人.(5分)
19.证明 如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠1=∠2.(2分)
又∵BF=DE,
∴BF+BD=DE+BD.
∴DF=BE.(4分)
∴△ADF≌△CBE.(5分)
∴∠AFD=∠CEB.
∴AF∥CE.(7分)
20.解析 由题意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,
∠ACB=∠ECD,∠AFB=∠GHF.
∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.(3分)
AB BC AB BF
∴ = , = .
ED DC GF FH
AB BC AB BC+18
即 = , = ,(5分)
1.5 2 1.65 2.5
解之,得AB=99(米).
答:“望月阁”的高度为99米.(7分)
21.解析 (1)设线段AB所表示的函数关系式为y=kx+b(k≠0),则
{ b=192,
根据题意,得
2k+b=0.
{k=-96,
解之,得 (2分)
b=192.
∴线段AB所表示的函数关系式为y=-96x+192(0≤x≤2).(3分)
(注:不写x的取值范围不扣分)
(2)由题意可知,下午3点时,x=8,y=112.
设线段CD所表示的函数关系式为y=k'x+b'(k'≠0),则
{6.6k'+b'=0,
根据题意,得
8k'+b'=112.
{ k'=80,
解之,得
b'=-528.
∴线段CD的函数关系式为y=80x-528.(5分)
∴当y=192时,80x-528=192,解之,得x=9.(6分)
∴他当天下午4点到家.(7分)
1
22.解析 (1)一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率是 .(2分)
5(2)由题意,列表如下:
二
可 绿 乐 茶 红
一
可 (可,可) (可,绿) (可,乐) (可,茶) (可,红)
绿 (绿,可) (绿,绿) (绿,乐) (绿,茶) (绿,红)
乐 (乐,可) (乐,绿) (乐,乐) (乐,茶) (乐,红)
茶 (茶,可) (茶,绿) (茶,乐) (茶,茶) (茶,红)
红 (红,可) (红,绿) (红,乐) (红,茶) (红,红)
(5分)
由表格可知,共有25种等可能的结果,获得一瓶可乐的结果共两种:(可,乐),(乐,可).
2
∴P(该顾客获得一瓶可乐)= .(7分)
25
23.证明 (1)如图,∵EF∥BC,AB⊥BG,
∴EF⊥AD.
又∵E是AD的中点,
∴FA=FD.
∴∠FAD=∠D.(2分)
又知GB⊥AB,
∴∠GAB+∠G=∠D+∠1=90°.
∴∠1=∠G.
而∠1=∠2,
∴∠2=∠G.
∴FC=FG.(4分)
(2)连接AC.
∵AB⊥BG,
∴AC是☉O的直径.(5分)
又∵FD是☉O的切线,切点为C,
∴AC⊥DF.
∴∠1+∠4=90°.(6分)
又知∠3+∠4=90°,
∴∠1=∠3.
而由(1)知∠1=∠G,
∴∠3=∠G.
∴△ABC∽△GBA.(7分)
AB CB
∴ = .
GB AB故AB2=BC·BG.(8分)
{ a+b+5=3,
24.解析 (1)由题意,得
9a+3b+5=5.
{ a=1,
解之,得
b=-3.
∴抛物线的表达式为y=x2-3x+5.(2分)
∵Δ=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0,∴抛物线与x轴无交点.(3分)
(2)∵△AOB是等腰直角三角形,A(-2,0),点B在y轴上,∴点B的坐标为(0,2)或(0,-2).(5分)
设平移后的抛物线的表达式为y=x2+mx+n.
{ n=2,
①当抛物线过点A(-2,0),B (0,2)时,
1 4-2m+n=0.
{m=3,
解之,得
n=2.
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2.(7分)
∴该抛物线顶点坐标为( 3 1).
- ,-
2 4
而原抛物线顶点坐标为(3 11),
,
2 4
∴将原抛物线先向左平移3个单位,再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线.(8分)
{ n=-2,
②当抛物线过点A(-2,0),B (0,-2)时,
2 4-2m+n=0.
{m=1,
解之,得
n=-2.
∴平移后的抛物线为y=x2+x-2.(9分)
∴该抛物线顶点坐标为( 1 9).
- ,-
2 4
而原抛物线顶点坐标为(3 11),
,
2 4
∴将原抛物线先向左平移2个单位,再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线.(10分)
评析 本题考查了二次函数的图象和性质,用待定系数法求二次函数的解析式,图象的平移,属于中等
难度题.25.解析 (1)如图,△ADC即为所画.(2分)
(2)存在.理由如下:
如图,作点E关于CD所在直线的对称点E',作点F关于BC所在直线的对称点F',连接E'F',交BC于点
G,交CD于点H,连接FG、EH,则F'G=FG,E'H=EH,所以此时四边形EFGH的周长最小.这是因为:在BC
上任取一点G',在CD上任取一点H',则FG'+G'H'+H'E=F'G'+G'H'+H'E'≥E'F'.(4分)
由作图及已知得:BF'=BF=AF=2,DE'=DE=2,
∴AF'=6,AE'=8.又∠A=90°,
∴E'F'=10,又由已知可得EF=2√5,(6分)
∴四边形EFGH周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E'F'=2√5+10.
∴在BC、CD上分别存在点G、H,使四边形EFGH的周长最小,最小值是2√5+10.(7分)
(3)能裁得.(8分)
理由如下:如图,∵EF=FG=√5,∠EFG=90°,∠A=∠B=90°,且易知∠1=∠2,
∴△AEF≌△BFG.
∴AF=BG,AE=BF.
设AF=x,则AE=BF=3-x.
∴x2+(3-x)2=(√5)2.
解之,得x=1或x=2(舍去).
∴AF=BG=1,BF=AE=2.(9分)
∴DE=4,CG=5.
连接EG,作△EFG关于EG所在直线的对称△EOG,则四边形EFGO为正方形,∠EOG=90°.
以点O为圆心,OE长为半径作☉O,则使∠EHG=45°的点H在☉O上.
连接FO,并延长交☉O于点H',则点H'在EG中垂线上.
连接EH'、GH',则∠EH'G=45°.
此时,四边形EFGH'是要想裁得的四边形EFGH中面积最大的.
连接CE,则CE=CG=5.
∴点C在线段EG的中垂线上.
∴点F、O、H'、C在一条直线上.
又∵EG=√10,
∴FO=EG=√10.又知CF=2√10,
∴OC=√10.
又∵OH'=OE=FG=√5,
∴OH'
