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2015 年山西省高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一
项符合题目要求)
1.计算-3+(-1)的结果是( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
2.下列运算错误的是( )
(1) 0 ( b ) 3 b3
A. =1 B.x2+x2=2x4 C.|a|=|-a| D. =
2 a2 a6
3.晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美,现从中选取以下四种窗格图案,其中是中心对称
图形但不是轴对称图形的是( )
4.如图,在△ABC中,点D,E分别是边AB,BC的中点.若△DBE的周长是6,则△ABC的周长是(
)
A.8 B.10 C.12 D.14
5.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到
两个一元一次方程:3x=0,x-2=0,进而得到原方程的解为x=0,x=2.这种解法体现的数学思想
1 2
是( )
A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想
6.如图,直线a∥b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)按如图所示放置.若∠1=55°,则∠2
的度数为( )
A.105° B.110° C.115° D.120°
a2+2ab+b2 b
7.化简 - 的结果是( )
a2-b2 a-b
a b a b
A. B. C. D.
a-b a-b a+b a+b8.我国古代秦汉时期有一部数学著作,堪称是世界数学经典名著.它的出现,标志着我国古代数
学体系的正式确立.它采用按类分章的问题集的形式进行编排.其中方程的解法和正负数加减
运算法则在世界上遥遥领先,这部著作的名称是( )
A.《九章算术》 B.《海岛算经》 C.《孙子算经》 D.《五经算术》
9.某校举行春季运动会,需要在初一年级选取一名志愿者.初一(1)班、初一(2)班、初一(3)班
各有2名同学报名参加.现从这6名同学中随机选取一名志愿者,则被选中的这名同学恰好是
初一(3)班同学的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
10.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )
2√5 √5 1
A.2 B. C. D.
5 5 2
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
{2x-1>7,
11.不等式组 的解集是 .
3x>6
12.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成.第(1)个图案
有4个三角形,第(2)个图案有7个三角形,第(3)个图案有10个三角形,……依此规律,第n个图
案有 个三角形(用含n的代数式表示).
⏜
13.如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,点C为BD的中点.若∠A=40°,则∠B=
度.
14.现有两个不透明的盒子,其中一个装有标号分别为1,2的两张卡片,另一个装有标号分别为
1,2,3的三张卡片,卡片除标号外其他均相同.若从两个盒子中各随机抽取一张卡片,则两张卡
片标号恰好相同的概率是 .15.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行车车桩的
截面示意图如图所示,AB⊥AD,AD⊥DC,点B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=80 cm,AD=24
cm,BC=25 cm,EH=4 cm,则点A到地面的距离是 cm.
16.如图,将正方形纸片ABCD沿MN折叠,使点D落在边AB上,对应点为D',点C落在C'处.
若AB=6,AD'=2,则折痕MN的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
( 3) 2 ( 1) 3
(1)计算:(-3-1)× - -2-1÷ - .
2 2
1 1 3
(2)解方程: = - .
2x-1 2 4x-2
18.(本题6分)阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波
那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多
意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契
数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
1 [ (1+√5) n (1-√5) n]
斐波那契数列中的第n个数可以用 - 表示(其中,n≥1).这是用
√5 2 2
无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.19.(本题6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,与反
k
比例函数y= (k≠0)在第一象限内的图象交于点B,且点B的横坐标为1.过点A作AC⊥y轴交
x
k
反比例函数y= (k≠0)的图象于点C,连结BC.
x
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求△ABC的面积.
20.(本题8分)随着互联网、移动终端的迅速发展,数字化阅读越来越普及,公交、地铁上的
“低头族”越来越多.某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查
(问卷调查表如图所示),并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图(均不完整).请根据统
计图中提供的信息,解答下列问题:
您如何看待数字化阅读问卷调查表
您好!这是一份关于您如何看待数字化阅读问卷调查表,请在表格中选择一项您最认同
的观点,在其后空格内打“√”,非常感谢您的合作.
代码 观点
A 获取信息方便,可以随时随地观看
B 价格便宜易得
C 使得人们成为“低头族”,不利于人际交往
D 内容丰富,比纸质书涉猎更广
E 其他(1)本次接受调查的总人数是 人.
(2)请将条形统计图补充完整.
图1 图2
(3)在扇形统计图中,观点E的百分比是 ,表示观点B的扇形的圆心角度数为
度.
(4)假设你是该研究机构的一名成员,请根据以上调查结果,就人们如何对待数字化阅读提出
你的建议.
21.(本题10分)实践与操作
如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)尺规作图:作☉C,使它与AB相切于点D,与AC相交于点E.保留作图痕迹,不写作法.请标明
字母.
⏜
(2)在你按(1)中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求DE的长.
22.(本题7分)某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售,部分蔬菜批发价格与零售价
格如下表:
蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角
批发价(元/kg) 3.6 5.4 8 4.8
零售价(元/kg) 5.4 8.4 14 7.6
请解答下列问题:
(1)第一天,该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300 kg,用去了1 520元钱,这两种蔬菜
当天全部售完后一共能赚多少元钱?
(2)第二天,该经营户用1 520元钱仍然批发西红柿和西兰花,要想当天全部售完后所赚钱数
不少于1 050元,则该经营户最多能批发西红柿多少kg?23.(本题12分)综合与实践:制作无盖盒子
任务一:如图1,有一块矩形纸板,长是宽的2倍,要将其四角各剪去一个正方形,折成高为4 cm,
容积为616 cm3的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计).
(1)请在图1的矩形纸板中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.
(2)请求出这块矩形纸板的长和宽.
图1
任务二:图2是一个高为4 cm的无盖的五棱柱盒子(直棱柱),图3是其底面,在五边形ABCDE
中,BC=12 cm,AB=DC=6 cm,∠ABC=∠BCD=120°,∠EAB=∠EDC=90°.
(1)试判断图3中AE与DE的数量关系,并加以证明.
(2)图2中的五棱柱盒子可按图4所示的示意图,将矩形纸板剪切折合而成,那么这个矩形纸板
的长和宽至少各为多少cm?请直接写出结果(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕.纸板厚度
及剪切接缝处损耗均忽略不计).
24.(本题13分)综合与探究
4 16
如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线W的函数表达式为y=- x2+ x+4.抛物线W与x
21 21
轴交于A,B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点D,直线l经过C,D两点.
(1)求A,B两点的坐标及直线l的函数表达式.
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W',设抛物线W'的对称轴与直线l交于点F.当
△ACF为直角三角形时,求点F的坐标,并直接写出此时抛物线W'的函数表达式.
(3)如图2,连结AC,CB.将△ACD沿x轴向右平移m个单位(04
{2x-1>7, ①
解析
3x>6,②
解不等式①,得x>4,
解不等式②,得x>2,
∴不等式组的解集是x>4.
12.答案 (3n+1)
解析 通过观察发现:
图案 三角形
解法一 解法二
序号 的个数
(1) 4 4=4+0×3 1+3=1+1×3
(2) 7 4+3=4+1×3 1+3+3=1+2×3
(3) 10 4+3+3=4+2×3 1+3+3+3=1+3×3
(4) 13 4+3+3+3=4+3×3 1+3+3+3+3=1+4×3… … … …
3⏟+…+3 3⏟+…+3
4+ 1+
n 3n+1
(n-1)个3 n个3
=4+(n-1)×3 =1+n×3
13.答案 70
解析 连结AC,
⏜
∵点C为BD的中点,
⏜ ⏜
∴CD = BC ,
∴∠CAD=∠CAB,
又∵∠BAD=40°,
∴∠BAC=20°.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=20°,
∴∠B=70°.
1
14.答案
3
解析 列表如下:
1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
1
一共有6种等可能的情况,其中两张卡片标号恰好相同的情况有2种,所以所求概率P= .
3
( 404)
15.答案 80.8 或
5
解析 作AM⊥HG于M,交EF于N,作CQ⊥AB于Q,
则∠AMH=∠BQC=90°,
又∵EF∥HG,
∴∠ANE=∠AMH =90°,
∴∠ANE=∠BQC=90°,又∵∠ABC为公共角,
∴△ABN∽△CBQ,
AN AB
∴ = ,
CQ BC
易知四边形ADCQ为矩形,
∴CQ=AD=24,
AN 80
∴ = ,
24 25
384
∴AN= ,
5
易知四边形NEHM为矩形,
∴MN=EH=4,
384 404
∴AM=AN+MN= +4= ,
5 5
404
∴点A到地面的距离为 cm.
5
16.答案 2√10
解析 如图,作NF⊥AD于F,
∵四边形C'D'MN是由四边形CDMN折叠得到的,
∴MD'=MD,C'D'=CD=6,NC'=NC,
∵在正方形ABCD中,∠A=90°,
∴在Rt△AD'M中,由勾股定理得MD'2=AM2+AD'2,
∴MD'2=(AD-MD)2+AD'2,
10 8
∴MD'= ,∴AM= ,易知△AD'M∽△BED',
3 3
8 10
AM AD' MD' 2
∴ = = ,即3= = 3 ,
BD' BE D'E BE
4 D'E
∴BE=3,D'E=5,∴C'E=1,
易知△C'EN∽△BED',
C'E C'N 1 C'N
∴ = ,即 = ,
BE BD' 3 4
4
∴C'N= ,
3
易知四边形CDFN为矩形,
4
∴DF=CN=C'N= ,NF=CD=6,
3
∴MF=2.在Rt△FMN中,由勾股定理得MN=√FN2+FM2,
∴MN=√62+22=2√10.
三、解答题
9 1 ( 1)
17.解析 (1)原式=-4× - ÷ - (4分)
4 2 8
=-9-(-4)=-5.(5分)
(2)方程两边同时乘以2(2x-1),得2=2x-1-3.(7分)
化简,得2x=6.解得x=3.(8分)
检验:当x=3时,2(2x-1)=2(2×3-1)≠0,(9分)
所以x=3是原方程的解.(10分)
18.解析 第1个数:当n=1时,
1 [ (1+√5) n (1-√5) n] 1 (1+√5 1-√5)
- = - (1分)
√5 2 2 √5 2 2
1
= ×√5=1.(2分)
√5
第2个数:当n=2时,
1 [ (1+√5) n (1-√5) n] 1 [ (1+√5) 2 (1-√5) 2]
- = - (3分)
√5 2 2 √5 2 2
1 (1+√5 1-√5)(1+√5 1-√5)
= + - (4分)
√5 2 2 2 2
1
= ×1×√5(5分)
√5
=1.(6分)
19.解析 (1)∵点B在一次函数y=3x+2的图象上,且点B的横坐标为1,
∴y=3×1+2=5,∴点B的坐标为(1,5).(1分)
k k
∵点B在反比例函数y= 的图象上,∴5= ,∴k=5.
x 1
5
∴反比例函数的表达式为y= .(2分)
x
(2)∵一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,
当x=0时,y=2,∴点A的坐标为(0,2).
∵AC⊥y轴,
∴点C的纵坐标为2.(3分)
5
∵点C在反比例函数y= 的图象上,
x
5 5
当y=2时,2= ,x= ,
x 2
5
∴AC= .(4分)
2
过点B作BD⊥AC于点D,∴BD=y -y =5-2=3.(5分)
B C
1 1 5 15
∴S = AC·BD= × ×3= .(6分)
△ABC 2 2 2 4
评析 此题是一次函数与反比例函数的综合题,考查了用待定系数法求反比例函数解析式以
及求图象上的点的坐标的方法.
2 300
20.解析 (1) =5 000(人),
46%
∴本次接受调查的总人数是5 000人.(2分)
(2)5 000-2 300-250-750-200=1 500(人),
∴观点C的人数为1 500人.
补全条形统计图如图所示.
(4分)
200
(3)∵ ×100%=4%,
5 000
∴观点E的百分比是4%.
250
∵ ×100%=5%,
5 000
360°×5%=18°,
∴表示观点B的扇形的圆心角度数为18度.(6分)
(4)答案不唯一.如:应该充分利用数字化阅读获取信息方便等优势,但不要成为“低头族”而
影响人际交往.(8分)
评析 本题主要考查条形统计图和扇形统计图的有关知识,要能够将条形统计图和扇形统计
图中所反映的信息结合起来,灵活处理部分与整体的关系.考查学生分析问题,用所学的知识
解决问题的能力.
21.解析 (1)如图;(2分)
作出圆,并标明字母.(3分)(2)∵☉C与AB相切于点D,
∴CD⊥AB.
∴∠ADC=90°.(4分)
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=∠ACD=60°.(6分)
在Rt△BCD中,BC=3,
3√3
∴CD=BC·sin B=3·sin 60°= .(8分)
2
3√3
⏜ 60π· √3
∴ DE的长为l= 2 = π.(10分)
2
180
22.解析 (1)设批发西红柿x kg,西兰花y kg.(1分)
{ x+ y=300,
由题意得 (2分)
3.6x+8 y=1 520.
{x=200,
解得 (3分)
y=100.
200×(5.4-3.6)+100×(14-8)=960(元).
答:这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚960元钱.(4分)
(2)设批发西红柿a kg,
1 520-3.6a
由题意得(5.4-3.6)a+(14-8)× ≥1 050.(6分)
8
解得a≤100.
答:该经营户最多能批发西红柿100 kg.(7分)
评析 本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用,关键是读懂题意,找到等量关
系和不等关系,列出二元一次方程组与一元一次不等式.
23.解析
任务一:(1)按要求画出示意图(如右图).(1分)
(2)设矩形纸板的宽为x cm,则长为2x cm.
由题意得,4(x-2×4)(2x-2×4)=616.(3分)
解得x=15,x=-3(不合题意,舍去).(4分)
1 2
2x=2×15=30.
答:矩形纸板的长为30 cm,宽为15 cm.(5分)
任务二:(1)AE=DE.证明如下:(6分)
延长EA,ED分别交直线BC于点M,N.(7分)∵∠ABC=∠BCD=120°,∴∠ABM=∠DCN=60°.
又∵∠EAB=∠EDC=90°,
∴∠M=∠N=90°-60°=30°.
∴EM=EN.(8分)
在△MAB与△NDC中,
{
∠M=∠N,
∠ABM=∠DCN,
AB=DC.
∴△MAB≌△NDC(AAS).
∴AM=DN.(9分)
∴EM-AM=EN-DN.∴AE=DE.(10分)
(2)长至少为(18+4√3)cm,宽至少为(4+8√3)cm.(12分)
4 16
24.解析 (1)当y=0时,- x2+ x+4=0.
21 21
解得x=-3,x=7.
1 2
∴点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(7,0).(2分)
16
b 21
∵- =- =2,
2a ( 4 )
2× -
21
∴抛物线W的对称轴为直线x=2.
∴点D的坐标为(2,0).(3分)
当x=0时,y=4.∴点C的坐标为(0,4).
设直线l的表达式为y=kx+b,
{ b=4, {k=-2,
则 解得
2k+b=0. b=4.
∴直线l的函数表达式为y=-2x+4.(4分)
(2)∵抛物线W向右平移,∴只有一种情况符合要求,即∠FAC=90°.(5分)
设此时抛物线W'的对称轴交x轴于点G.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.∴tan∠1=tan∠3.
FG AO
∴ = .(6分)
AG CO设点F的坐标为(x,-2x +4),
F F
-(-2x +4) 3
F
∴ = .
x -(-3) 4
F
解得x =5.∴-2x +4=-6.
F F
∴点F的坐标为(5,-6).(7分)
4 40
此时抛物线W'的函数表达式为y=- x2+ x.(8分)
21 21
(3)由平移可得 :点 C',点 A',点 D'的坐标分别为 C'(m,4),A'(-3+m,0),D'(2+m,0),CC'∥x
轴,C'D'∥CD.
可用待定系数法求得:
4 4
直线A'C'的表达式为y= x+4- m,
3 3
4
直线BC的表达式为y=- x+4,
7
直线C'D'的表达式为y=-2x+2m+4.(9分)
{ 4 4 {y=-2x+2m+4,
y= x+4- m,
分别解方程组 3 3 和 4
y=- x+4,
y=-2x+4 7
2 7
{ x= m, { x= m,
5 5
得 和 (10分)
4 4
y=- m+4 y=- m+4.
5 5
(2 4 ) (7 4 )
∴点M,N的坐标分别为M m,- m+4 ,N m,- m+4 .
5 5 5 5
∴y =y .∴MN∥x轴.
M N
∵CC'∥x轴,∴CC'∥MN.
∵C'D'∥CD,∴四边形CMNC'为平行四边形.(11分)
[ ( 4 )] 4
∴S =m 4- - m+4 = m2.(13分)
▱CMNC' 5 5
评析 本题综合性较强,主要考查的知识点有:
(1)抛物线与坐标轴的交点坐标,抛物线的对称轴;
(2)利用待定系数法求一次函数的表达式;
(3)直角三角形的存在性问题,灵活应用相似三角形、勾股定理、三角函数解决问题;
(4)平行四边形的判定方法.
