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2014 年江西省中等学校招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共18分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.下列四个数中,最小的数是( )
1
A.- B.0 C.-2 D.2
2
2.某市6月份某周气温(单位:℃)为23,25,28,25,28,31,28,则这组数据的众数和中位数分别是(
)
A.25,25 B.28,28 C.25,28 D.28,31
3.下列运算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.(-2a2)3=-6a6
C.(2a+1)(2a-1)=2a2-1 D.(2a3-a2)÷a2=2a-1
4.直线y=x+1与y=-2x+a的交点在第一象限,则a的取值可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
5.如图,贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩,做好后发现上口太小了,于是他把纸灯罩对齐压
扁,剪去上面一截后,正好合适.以下裁剪示意图中,正确的是( )
k
6.已知反比例函数y= 的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为( )
x
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
7.计算:√9= .8.据相关报道,截止到今年四月,我国已完成5.78万个农村教学点的建设任务.5.78万可用科
学记数法表示为 .
{
2x-1>0,
9.不等式组 1 的解集是 .
- (x+2)<0
2
10.若α,β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则α2+β2= .
11.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后,得到
△A'B'C',连结A'C,则△A'B'C的周长为 .
12.如图,△ABC内接于☉O,AO=2,BC=2√3,则∠BAC的度数为 .
13.如图,是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形.
若∠BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为 .
14.在Rt△ABC中,∠A=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),
且∠ABP=30°,则CP的长为 .
三、(本大题共4小题,每小题6分,共24分)
(x-1 1) x-2
15.计算 - ÷ .
x x x2-x16.小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯.小锦买了20支笔和2盒笔芯,用了56元;
小丽买了2支笔和3盒笔芯,仅用了28元.求每支中性笔和每盒笔芯的价格.
17.已知梯形ABCD,请使用无刻度直尺画图.
(1)在图1中画一个与梯形ABCD面积相等,且以CD为边的三角形;
(2)在图2中画一个与梯形ABCD面积相等,且以AB为边的平行四边形.
18.有六张完全相同的卡片,分A,B两组,每组三张,在A组的卡片上分别画上“√,×,√”,B组的
卡片上分别画上“√,×,×”,如图1所示.
(1)若将卡片无标记的一面朝上摆在桌上,再分别从两组卡片中随机各抽取一张,求两张卡片
上标记都是“√”的概率(请用“树形图法”或“列表法”求解);
(2)若把A,B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到三张卡片,其正、反面标记如图2所
示,将卡片正面朝上摆在桌上,并用瓶盖盖住标记.
①若随机揭开其中一个盖子,看到的标记是“√”的概率是多少?
②若揭开盖子,看到的卡片正面标记是“√”后,猜想它的反面也是“√”,求猜对的概率.四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
19.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4,AB=5.点D在反比
k
例函数y= (k>0)的图象上,DA⊥OA,点P在y轴负半轴上,OP=7.
x
(1)求点B的坐标和线段PB的长;
(2)当∠PDB=90°时,求反比例函数的解析式.20.某教研机构为了解在校初中生阅读数学教科书的现状,随机抽取某校部分初中学生进行了
调查.依据相关数据绘制成以下不完整的统计图表,请根据图表中的信息解答下列问题:
某校初中生阅读数学教科书统计图表
类别 人数 占总人数比例
重视 a 0.3
一般 57 0.38
不重视 b c
说不清楚 9 0.06
(1)求样本容量及表格中a,b,c的值,并补全统计图;
(2)若该校共有初中生2 300名,请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数;
(3)①根据上面的统计结果,谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议;
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况,你认为应该如何进行抽样?
21.图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成,每相邻两个菱形均成
30°的夹角,示意图如图2所示.在图2中,每个菱形的边长为10 cm,锐角为60°.(1)连结CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明;
(2)求A,B两点之间的距离(结果取整数,可以使用计算器).
(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45)
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)
22.如图1,AB是☉O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是☉O上半部分的一个动
点,连结OP,CP.
(1)求△OPC的最大面积;
(2)求∠OCP的最大度数;
(3)如图2,延长PO交☉O于点D,连结DB.当CP=DB时,求证:CP是☉O的切线.23.如图1,边长为4的正方形ABCD中,点E在AB边上(不与点A,B重合),点F在BC边上(不
与点B,C重合).
第一次操作:将线段EF绕点F顺时针旋转,当点E落在正方形上时,记为点G;
第二次操作:将线段FG绕点G顺时针旋转,当点F落在正方形上时,记为点H;
依此操作下去…
备用图
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的,其形状为 ,求此时线段EF的长;
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.
①请判断四边形EFGH的形状为 ,此时AE与BF的数量关系是 ;
②以①中的结论为前提,设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,求y与x的函数关系式及
面积y的取值范围.六、(本大题共12分)
24.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,
若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形(如
图2)称为该抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距
离称为碟高.
1
(1)抛物线 y= x2对应的碟宽为 ;抛物线 y=4x2对应的碟宽为 ;抛物线
2
y=ax2(a>0)对应的碟宽为 ;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为 ;
5
(2)若抛物线y=ax2-4ax- (a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值;
3
(3)将抛物线y=ax2+bx+c(a >0)对应的准碟形记为F(n=1,2,3,…),定义F,F ,…,F 为相似准碟
n n n n n n 1 2 n
1
形,相应的碟宽之比即为相似比.若F 与F 的相似比为 ,且F 的碟顶是F 的碟宽的中点,现
n n-1 2 n n-1
将(2)中求得的抛物线记为y,其对应的准碟形记为F.
1 1
①求抛物线y 的表达式;
2
②若F 的碟高为h,F 的碟高为h,…,F 的碟高为h,则h= ,F 的碟宽右端点横坐标为
1 1 2 2 n n n n
;F ,F ,…,F 的碟宽右端点是否在一条直线上?若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明
1 2 n
理由.
备用图答案全解全析：
一、选择题
1
1.C 因为-2<- <0<2,所以最小的数是-2,故选C.
2
2.B 把这组数据从小到大排列为23,25,25,28,28,28,31,出现次数最多的是28,所以这组数据
的众数是28;因为最中间的一个数是28,所以中位数是28,故选B.
3.D A 项,a2+a3≠a5,此选项错误;B 项,(-2a2)3=(-2)3·(a2)3=-8a6,此选项错误;C 项,(2a+1)
(2a-1)=(2a)2-12=4a2-1,此选项错误.故选D.
a-1
{x= ,
{ y=x+1, 3
4.D 联立 解得
y=-2x+a, a+2
y= ,
3
a-1
{ >0,
3
因为两直线的交点在第一象限,所以 解得a>1,故选D.
a+2
>0,
3
5.A 由圆台的侧面展开图可得A正确,故选A.
评析 本题考查简单几何体的侧面展开图,属容易题.
6.D 由反比例函数图象可知k<-1,所以抛物线开口向下,且与y轴的交点位于点(0,1)上方,对
b -4 1
称轴满足-1<- =- = <0,故选D.
2a 2×2k k
评析 本题考查反比例函数和二次函数的图象和性质,属难题.
二、填空题
7.答案 3
解析 √9=√32=3.
8.答案 5.78×104
解析 5.78万=5.78×104.1
9.答案 x>
2
{
2x-1>0,①
1
解析 1 解不等式①得x> ;解不等式②得x>-2,所以原不等式组的解集
- (x+2)<0,② 2
2
1
为x> .
2
10.答案 10
解析 因为α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,所以α+β=2,αβ=-3,故α2+β2=(α+β)2-2αβ=22-
2×(-3)=10.
评析 本题考查一元二次方程的根与系数的关系,属容易题.
11.答案 12
解析 ∵B'C'=BC=6,CC'=2,∴B'C=B'C'-CC'=4,
∵A'B'=AB=4,∴B'C=A'B',又∵∠A'B'C=∠B=60°,
∴△A'B'C是等边三角形,∴△A'B'C的周长是12.
评析 本题考查平移变换和等边三角形的性质,属容易题.
12.答案 60°
解析 连结OB、OC,作OD⊥BC于点D,
由垂径定理可得,BD=CD=√3,∴OD=√OB2-BD2=1,
1
∵sin∠OBD= ,∴∠OBD=30°,∴∠BOC=120°,
2
1
则∠BAC= ∠BOC=60°.
2
评析 本题考查垂径定理和圆周角与圆心角之间的关系,属容易题.
13.答案 12-4√3
解析
连结OB,OA,作AE⊥OB,可得∠BOA=45°,∠EAO=45°,进而可得AE=√3,BE=1,OE=AE=√3,所
3-√3
以S =S -S = ,所以S =8S =12-4√3.
△OAD △OAB △ABD 2 阴影 △OAD
14.答案 2√3或4√3或6
解析 图1中,∠ABC=60°,BC=6,则AB=3,AC=3√3,又∠ABP=30°,则AP=√3,所以CP=2√3或
CP=4√3;图2中,
∵∠ACB=60°,∠ABP=30°,∴△CBP是等边三角形,∴CP=CB=6.图1 图2
三、解答题
(x-1 1) x-2
15.解析 - ÷
x x x2-x
x-2 x(x-1)
= · (4分)
x x-2
=x-1.(6分)
16.解析 设每支中性笔x元,每盒笔芯y元,
{20x+2y=56,
根据题意得 (3分)
2x+3 y=28.
{x=2,
解这个方程组,得
y=8.
答:每支中性笔2元,每盒笔芯8元.(6分)
17.解析 (1)如图所示,△CDE即为所求.(答案不唯一)
(3分)
(2)如图所示,▱ABFE即为所求.(答案不唯一)
(6分)
18.解析 (1)解法一:根据题意,可画出如下树形图:
从树形图可以看出,所有可能结果共有9种,且每种结果出现的可能性相等,其中两张卡片上
标记都是“√”的结果有2种,
2
∴P(两张都是“√”)= .(4分)
9
解法二:根据题意,可列表如下:
B组
√ × ×
A组
√ (√,√) (√,×) (√,×)× (×,√) (×,×) (×,×)
√ (√,√) (√,×) (√,×)
从上表可以看出,所有可能结果共有9种,且每种结果出现的可能性相等,其中两张卡片上标
记都是“√”的结果有2种,
2
∴P(两张都是“√”)= .(4分)
9
(2)①∵三张卡片上正面的标记有三种可能,分别为“√,×,√”,
2
∴随机揭开其中一个盖子,看到的标记是“√”的概率为 .(5分)
3
②∵正面标记为“√”的卡片,其反面标记情况有两种可能,分别为“√”和“×”,
1
∴猜对反面也是“√”的概率为 .(6分)
2
四、解答题
19.解析 (1)在Rt△OAB中,OA=4,AB=5,
∴OB=√AB2-OA2=√52-42=3.
∴点B的坐标为(0,3).(2分)
∵OP=7,
∴PB=OB+OP=3+7=10.(3分)
(2)过点D作DE⊥OB,垂足为点E,
由DA⊥OA可得矩形OADE.
∴DE=OA=4,∠BED=90°.
∴∠BDE+∠EBD=90°.
又∵∠BDP=90°,
∴∠BDE+∠EDP=90°.
∴∠EBD=∠EDP.
∴△BED∽△DEP.(4分)
BE DE
∴ = .
DE EP
设点D(4,m),由k>0,得m>0,
则有OE=AD=m,BE=3-m,EP=m+7,
3-m 4
∴ = .
4 m+7
解得m=1,m =-5(不合题意,舍去).(6分)
1 2
∴m=1,点D的坐标为(4,1).
4
∴k=4,反比例函数的解析式为y= .(8分)
x20.解析 (1)由统计表可知,样本容量为57÷0.38=150.
∴a=150×0.3=45,
c=1-0.3-0.38-0.06=0.26,
b=150×0.26=39.(2分)
补全统计图如图所示.
(4分)
(2)2 300×0.26=598(人),
∴该校“不重视阅读数学教科书”的初中生人数约为598人.(6分)
(3)①从该校初中生重视阅读数学教科书的人数比例来看,该校初中生对阅读数学教科书的重
视程度不够,建议数学教师在课内外加强引导学生阅读数学教科书,逐步提高学生数学阅读能
力,重视数学教材在数学学习过程中的作用;
②考虑到样本具有的随机性、代表性和广泛性,要了解全省初中生阅读数学教科书的情况,抽
样时要选择城市、乡镇不同层次的学校.(8分)
(只要给出合理建议即可给分)
21.解析
(1)CD∥EB.(1分)
证明:连结AC,DE.
∵四边形AGCH是菱形,且∠GCH=60°,
1
∴∠1= ∠GCH=30°.
2
同理,∠2=30°.
∴∠ACD=90°.(2分)
同理可得∠CDE=∠DEB=90°.
∴CD∥EB.(3分)
(2)解法一:
连结AD,BD,AC,CD,DE,BE.
由(1)知∠ACD=90°.
∵CA=CD,
∴∠CDA=∠CAD=45°.
同理,∠EDB=∠EBD=45°,
又由(1)知∠CDE=90°.∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°,
即点A,D,B在同一直线上.(4分)
连结GH交AC于点M.
1
由菱形的性质可知∠CMH=90°,CM= AC.
2
在Rt△CMH中,CM=CH·cos∠1=10·cos 30°=5√3,
∴CD=AC=2CM=10√3.(6分)
∴在Rt△ACD中,AD=√AC2+CD2=10√6.(7分)
同理,BD=10√6.
∴AB=AD+DB=20√6≈20×2.45=49.
答:A,B两点之间的距离约为49 cm.(8分)
解法二:连结CD,DE,AB,延长AC交BE的延长线于点F.
由(1)知∠ACD=∠CDE=∠DEB=90°,
∴四边形CDEF是矩形.
∵四个菱形全等,
∴AC=CD=DE=EB.
∴四边形CDEF是正方形.(4分)
∴CF=FE=CD且∠F=90°.
∴AF=BF=2AC.(5分)
在菱形AGCH中,连结GH交AC于点M,
∴AC⊥GH.
在Rt△CMH中,CM=CH·cos∠1=10·cos 30°=5√3,(6分)
∴AC=2CM=10√3,AF=BF=2AC=20√3.(7分)
∴在Rt△AFB中,AB=√AF2+BF2=20√6≈20×2.45=49.
答:A,B两点之间的距离约为49 cm.(8分)
五、解答题
22.解析 (1)∵△OPC的边长OC是定值,
∴当OP⊥OC时,OC边上的高为最大值,此时△OPC的面积最大.(1分)
∵AB=4,BC=2,
∴OP=OB=2,OC=OB+BC=4.
1 1
∴S = OC·OP= ×4×2=4.
△OPC 2 2
∴△OPC的最大面积为4.(2分)
(2)当PC与☉O相切,即OP⊥PC时,∠OCP的度数最大.(3分)
在Rt△OPC中,∠OPC=90°,OC=4,OP=2,
OP 1
∴sin∠OCP= = .
OC 2∴∠OCP=30°.∴∠OCP的最大度数为30°.(5分)
(3)连结AP,BP.
∵∠AOP=∠DOB,
∴AP=DB.(6分)
∵CP=DB,
∴AP=PC.
∴∠A=∠C.
∵∠A=∠D,
∴∠C=∠D.(7分)
∵OC=PD=4,PC=DB,
∴△OPC≌△PBD.
∴∠OPC=∠PBD.(8分)
∵PD是☉O的直径,
∴∠PBD=90°.
∴∠OPC=90°.
∴OP⊥PC.
又∵OP是☉O的半径,
∴CP是☉O的切线.(9分)
23.解析 (1)等边三角形.(1分)
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC=AB,∠A=∠B=∠C=90°.
∵DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF.
∴AE=CF.
∴BE=BF.
∴△BEF是等腰直角三角形.
√2
设EF长为x,则BE= x,
2
√2
∴AE=4- x.
2
∵在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,DE=EF,
2
( √2 )
∴x2=42+ 4- x .(2分)
2
∴x2+8√2x-64=0.
解得x=-4√2+4√6,x=-4√2-4√6(不合题意,舍去).
1 2
∴EF=-4√2+4√6.(3分)(2)①正方形;AE=BF.(5分)
②∵AE=x,
∴BE=4-x.
∵在Rt△BEF中,EF2=BE2+BF2,
∴y=(4-x)2+x2=2x2-8x+16(00)对应的碟宽为 ,
a
2 1
所以 =6,a= .(6分)
a 3
5 5
解法二:y=ax2-4ax- =a(x-2)2-4a- ,∵碟宽在x轴上,
3 3
5 6 1
∴碟高 -4a- = =3,又a>0,解得a= .(6分)
3 2 3
1
(3)①由(2)知,y= (x-2)2-3,碟顶M 的坐标为(2,-3).
1 3 1
∵F 的碟顶是F 的碟宽的中点,
2 1
∴F 的碟顶M 的坐标为(2,0),可设y=a(x-2)2.
2 2 2 2
1
∵F 与F 的相似比为 ,F 的碟宽为6,
2 1 2 1
1 2 2
∴F 的碟宽为6× =3,即 =3,a = .
2 2 a 2 3
2
2 2 8 8
∴y= (x-2)2= x2- x+ .(8分)
2 3 3 3 3
3 3
② ;2+ .(10分)
2n-1 2n-1
F,F ,…,F 的碟宽右端点在一条直线上,该直线的表达式为y=-x+5.(12分)
1 2 n
