2015 年河南省普通高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,将正确答案的代号字母填入题后括号内.
1.下列各数中最大的数是( )
A.5 B.√3 C.π D.-8
2.如图所示的几何体的俯视图是( )
3.据统计,2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元.将数据40 570亿用科学记数法
表示为( )
A.4.057 0×109 B.0.405 70×1010
C.40.570×1011 D.4.057 0×1012
4.如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为( )
A.55° B.60° C.70° D.75°
{x+5≥0,
5.不等式组 的解集在数轴上表示为( )
3-x>1
6.小王参加某企业招聘测试,他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次
按照2∶3∶5的比例确定成绩,则小王的成绩是( )
A.255分 B.84分 C.84.5分D.86分
7.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则
AE的长为( )A.4 B.6 C.8 D.10
8.如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O,O ,O ,…组成一条平滑的
1 2 3
π
曲线.点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒 个单位长度,则第2 015秒时,点
2
P的坐标是( )
A.(2 014,0) B.(2 015,-1) C.(2 015,1) D.(2 016,0)
第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(每小题3分,共21分)
9.计算:(-3)0+3-1= .
10.如图,△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,DE∥AC.若 BD=4,DA=2,BE=3,则 EC=
.
2
11.如图,直线y=kx与双曲线y= (x>0)交于点A(1,a),则k= .
x
12.已知点A(4,y ),B(√2,y),C(-2,y )都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y,y,y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
是 .
13.现有四张分别标有数字1,2,2,3的卡片,它们除数字外完全相同.把卡片背面朝上洗匀,从中
随机抽出一张后放回,再背面朝上洗匀,从中随机抽出一张,则两次抽出的卡片所标数字不同
的概率是 .
14.如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C为OA的中点,CE⊥OA交 ⏜ 于点E.以点O为圆
AB
心,OC的长为半径作 ⏜ 交OB于点D.若OA=2,则阴影部分的面积为 .
CD
15.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的
一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B'处.若△CDB'恰为等腰三角形,则DB'的长为
.三、解答题(本大题共8个小题,满分75分)
16.(8分)先化简,再求值:
a2-2ab+b2÷(1 1),其中a= +1,b= -1.
- √5 √5
2a-2b b a
17.(9分)如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的一个动点,延长BP到点
C,使PC=PB,D是AC的中点,连结PD,PO.
(1)求证:△CDP≌△POB;
(2)填空:
①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为 ;
②连结OD,当∠PBA的度数为 时,四边形BPDO是菱形.
18.(9分)为了了解市民“获取新闻的最主要途径”,某市记者开展了一次抽样调查,根据调查
结果绘制了如下尚不完整的统计图.根据以上信息解答下列问题:
(1)这次接受调查的市民总人数是 ;
(2)扇形统计图中,“电视”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)请补全条形统计图;
(4)若该市约有80万人,请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途
径”的总人数.
19.(9分)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
20.(9分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测
得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是 48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 48°≈0.74,cos
48°≈0.67,tan 48°≈1.11,√3≈1.73)
21.(10分)某游泳馆普通票价20元/张,暑期为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费;
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图象,直接写出选择哪种消费方式更合算.22.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,连结
DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.
(1)问题发现
AE AE
①当α=0°时, = ;②当α=180°时, = .
BD BD
(2)拓展探究
AE
试判断:当0°≤α<360°时, 的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
BD
(3)问题解决
当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.
23.(11分)如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点
A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F.点D,E的坐标分别
为(0,6),(-4,0),连结PD,PE,DE.
(1)请直接写出抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜想:对
于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确,并说明理由;
(3)小明进一步探究得出结论:若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多
个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
请直接写出所有“好点”的个数,并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标.
备用图答案全解全析：
一、选择题
1.A 根据“正数都大于负数”,知-8最小.π在正整数3和4之间,利用平方法可以知道√3在
1和2之间,由此可得最大的数是5.故选A.
2.B 根据俯视图的定义,可知选B.
3.D 40 570亿=4 057 000 000 000=4.057 0×1 000 000 000 000=4.057 0×1012.故选D.
4.A 如图,∵∠1=∠2,∴a∥b.∴∠5=∠3=125°,∴∠4=180°-∠5=180°-125°=55°.故选A.
评析 本题考查了平行线的性质与判定,以及邻补角的关系,属容易题.
5.C 解不等式x+5≥0得x≥-5;解不等式3-x>1得x<2.∴-5≤x<2.在数轴上表示这一解集时,
在-5的位置为实心点并向右画线,在2的位置为空心圆圈并向左画线.故选C.
85×2+80×3+90×5
6.D ∵ =86,∴小王的成绩为86分.故选D.
2+3+5
1
7.C 设 AE 与 BF 交于点 O.由题可知 AF=AB,∠BAE=∠FAE,∴AE⊥BF,OB= BF=3,在
2
Rt△AOB中,AO= =4.
√52-32
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠FAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,∴AE=2AO=8.故选C.
8.B ∵半圆的半径r=1,∴一个半圆的弧长=π,又∵每两个半圆为一个循环,∴一个循环内点P
运动的路程为2π.(π )÷2π=503……3,∴点P位于第504个循环的第二个半圆弧的中
×2 015
2点位置(即第1 008个半圆弧的中点),∴此时点P的横坐标为503×4+3=2 015,纵坐标为-1,∴
第2 015秒时,点P(2 015,-1).故选B.
二、填空题
4
9.答案
3
1 4
解析 (-3)0+3-1=1+ = .
3 3
3
10.答案
2
BD BE DA·BE 2×3 3
解析 ∵DE∥AC,∴ = ,∴EC= = = .
DA EC BD 4 2
11.答案 2
2 2
解析 把点 A(1,a)代入 y= ,得 a= =2,∴点 A 的坐标为(1,2).把点 A(1,2)代入 y=kx,得
x 1
2=1×k,∴k=2.
12.答案 y<y<y
2 1 3
解析 解法一:∵A(4,y ),B(√2,y),C(-2,y )都在抛物线y=(x-2)2-1上,∴y =3,y=5-4√2,y=15.
1 2 3 1 2 3
∵5-4√2<3<15,∴y <y<y.
2 1 3
解法二:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d 、d 、d.∵y=(x-2)2-1,∴对称轴
1 2 3
为直线x=2,∴d =2,d=2-√2,d=4,∵2-√2<2<4,且a=1>0,∴y <y<y.
1 2 3 2 1 3
5
13.答案
8
解析 列表如下:
1 2 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,2) (2,3)
2 (2,1) (2,2) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,2) (3,3)
所有等可能的情况有16种,其中两次抽出卡片所标数字不同的情况有10种,则所求概率P=
10 5
= .
16 8
√3 π
14.答案 +
2 12
1
解析 连结OE.∵点C是OA的中点,∴OC= OA=1,
2
1
∴ OOEC==OAO=E2,∵,∵CE⊥OA,∴∠OEC=30°,
2
∴∠COE=60°.
在Rt△OCE中,CE=OC·tan 60°=√3,1 √3
∴S = OC·CE= .
△OCE
2 2
∵∠AOB=90°,∴∠BOE=∠AOB-∠COE=30°,
30π×22 π 90π×12 π
∴S = = ,又S = = .
扇形OBE 360 3 扇形COD 360 4
π √3 π π √3
因此S =S +S -S = + - = + .
阴影 扇形OBE △OCE 扇形COD 3 2 4 12 2
评析 求不规则图形的面积可采用割补法,利用规则图形的面积的和差求解.
15.答案 16或4√5
解析 分三种情况讨论:(1)若DB'=DC,则DB'=16(易知此时点F在BC上且不与点C、B重
合).
(2)当CB'=CD时,连结BB',∴ E点BE=E、BC',C在B=BCBB'的',∵垂直平分线上,∴EC垂直平分
BB',由折叠可知点F与点C重合,不符合题意,舍去.
(3)如图,当CB'=DB'时,作B'G⊥AB于点G,延长GB'交CD于点H.
∵AB∥CD,∴B'H⊥CD.则四边形AGHD为矩形,∴AG=DH.
1
∴ CDBH'==DBC'D,∵=8,∴AG=DH=8,∴GE=AG-AE=5.又易知EB'=13,
2
∴在Rt△B'EG中,由勾股定理得B'G=12,∴B'H=GH-B'G=4.在Rt△B'DH 中,由勾股定理得
DB'=4√5(易知此时点F在BC上且不与点C、B重合).
综上所述,DB'=16或4√5.
三、解答题
(a-b)2 a-b
16.解析 原式= ÷ (4分)
2(a-b) ab
a-b ab
= ·
2 a-b
ab
= .(6分)
2
(√5+1)×(√5-1) 5-1
当a=√5+1,b=√5-1时,原式= = =2.(8分)
2 2
17.解析 (1)证明:∵D是AC的中点,且PC=PB,
1
∴DP∥AB,DP= AB.∴∠CPD=∠PBO.(3分)
2
1
∵OB= AB,∴DP=OB.∴△CDP≌△POB.(5分)
2
(2)①4.(7分)
②60°.(注:若填为60,不扣分)(9分)18.解析 (1)1 000.(2分)
(2)54°.(注:若填为54,不扣分)(4分)
(3)图略.(按人数为100正确补全条形图)(6分)
(4)80×(26%+40%)=80×66%=52.8(万人).
所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数约为52.8万
人.(9分)
19.解析 (1)证明:原方程可化为x2-5x+6-|m|=0.(1分)
∴Δ=(-5)2-4×1×(6-|m|)=25-24+4|m|=1+4|m|.(3分)
∵|m|≥0,∴1+4|m|>0.
∴对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根.(4分)
(2)把x=1代入原方程,得|m|=2,∴m=±2.(6分)
把|m|=2代入原方程,得x2-5x+4=0,∴x =1,x=4.
1 2
∴m的值为±2,方程的另一个根是4.(9分)
20.解析 延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H.
由题意知,∠DAE=∠BGA=30°,DA=6,∴GD=DA=6.
√3
∴GH=AH=DA·cos 30°=6× =3√3.∴GA=6√3.(2分)
2
BC x
设BC=x米.在Rt△GBC中,GC= = =√3x.(4分)
tan∠BGC tan30°
BC x
在Rt△ABC中,AC= = .(6分)
tan∠BAC tan48°
x
∴ G√3Cx-A- C=GA,∵=6√3.(8分)
tan48°
∴x≈13.即大树的高度约为13米.(9分)
21.解析 (1)银卡:y=10x+150;(1分)
普通票:y=20x.(2分)
(2)把x=0代入y=10x+150,得y=150.∴A(0,150).(3分)
{ y=20x, { x=15,
联立得 ∴ ∴B(15,300).(4分)
y=10x+150, y=300.
把y=600代入y=10x+150,得x=45.∴C(45,600).(5分)
(3)当0<x<15时,选择购买普通票更合算;(注:若写为0≤x<15,不扣分)
当x=15时,选择购买银卡、普通票的总费用相同,均比金卡合算;
当15<x<45时,选择购买银卡更合算;
当x=45时,选择购买金卡、银卡的总费用相同,均比普通票合算;
当x>45时,选择购买金卡更合算.(10分)
√5
22.解析 (1)① .(1分)
2
√5
② .(2分)
2
(2)无变化.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(3分)
在题图1中,∵DE是△ABC的中位线,
CE CD
∴DE∥AB.∴ = ,∠EDC=∠B=90°.
CA CB
如题图2,∵△EDC在旋转过程中形状大小不变,CE CD
∴ = 仍然成立.(4分)
CA CB
又∵∠ACE=∠BCD=α,
AE AC
∴△ACE∽△BCD.∴ = .(6分)
BD BC
在Rt△ABC中,AC= = =4 .
√AB2+BC2 √42+82 √5
AC 4√5 √5 AE √5
∴ = = ,∴ = .
BC 8 2 BD 2
AE
∴ 的大小不变.(8分)
BD
12√5
(3)4√5或 .(10分)
5
【提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,∴BD=AC=4√5;当
△EDC 在 BC 下方,且 A,E,D 三点共线时,△ADC 为直角三角形,由勾股定理可求得
AE √5 12√5
AD=8,∴AE=6,根据 = 可求得BD= .
BD 2 5
1
23.解析 (1)抛物线的解析式为y=- x2+8.(3分)
8
(2)正确.理由:
设P(
x,-
1
x2+8
),则PF=8-(
-
1
x2+8
)=1x2.(4分)
8 8 8
过点P作PM⊥y轴于点M,则
PD2=PM2+DM2=(-x)2+[ 6- ( - 1 x2+8 )] 2 = 1 x4+1x2+4=(1 x2+2 ) 2 .
8 64 2 8
1
∴PD= x2+2.(6分)
8
1 1
∴PD-PF= x2+2- x2=2.∴猜想正确.(7分)
8 8
(3)“好点”共有11个.(9分)
在点P运动时,DE大小不变,∴当PE与PD的和最小时,△PDE的周长最小.
∴ ∴PD-PF=2, PPDE+=PPDF+=2P,E∵+PF+2.
当P,E,F三点共线时,PE+PF最小.
此时点P,E的横坐标都为-4.
1
将x=-4代入y=- x2+8,得y=6.
8
∴P(-4,6),此时△PDE的周长最小,且△PDE的面积为12,点P恰为“好点”.
∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(-4,6).(11分)
1 1
【提示】△PDE的面积S=- x2-3x+4=- (x+6)2+13.由-8≤x≤0,知4≤S≤13,所以S的整数值有10
4 4
个.由函数图象知,当S=12时,对应的“好点”有2个.所以“好点”共有11个.
