2015 年长春市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
1.-3的绝对值是( )
1 1
A.3 B.-3 C. D.-
3 3
2.在长春市“暖房子工程”实施过程中,某工程队做了面积为632 000 m2的外墙保暖.632
000这个数用科学记数法表示为( )
A.63.2×104 B.6.32×105 C.0.632×106 D.6.32×106
3.计算(a2)3的结果是( )
A.3a2 B.a5 C.a6 D.a8
4.图中的两个圆柱体底面半径相同而高度不同,关于这两个圆柱体的视图说法正确的是(
)
A.主视图相同 B.俯视图相同
C.左视图相同 D.主视图、俯视图、左视图都相同
5.方程x2-2x+3=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根
C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根
6.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
7.如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
8.如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,m)在直线y=2x+3上.连结OA,将线段OA绕点O顺时针
旋转90°,点A的对应点B恰好落在直线y=-x+b上,则b的值为( )3
A.-2 B.1 C. D.2
2
第Ⅱ卷(非选择题,共96分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
9.比较大小:√2 1.(填“>”“=”或“<”)
10.不等式3x-12≥0的解集为 .
11.如图,PA为☉O的切线,A为切点,B是OP与☉O的交点.若∠P=20°,OA=3,则 ⏜ 的长为
AB
(结果保留π).
6
12.如图,在平面直角坐标系中,点P在函数y= (x>0)的图象上,过点P分别作x轴、y轴的垂
x
线,垂足分别为点A、B.取线段OB的中点C,连结PC并延长交x轴于点D,则△APD的面积为
.
13.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为
.
14.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以
AC为对角线作矩形ABCD,连结BD.则对角线BD的最小值为 .
三、解答题(本大题共10小题,共78分)
15.(6分)先化简,再求值:(x+1)2+x(x-2),其中x=√3.16.(6分)一个不透明的盒子中有三张卡片,卡片上面分别标有字母a,b,c,每张卡片除字母不同
外其他都相同.小玲先从盒子中随机抽出一张卡片,记下字母后放回并搅匀;再从盒子中随机
抽出一张卡片记下字母.用画树状图(或列表)的方法,求小玲两次抽出的卡片上的字母相同的
概率.
17.(6分)为了美化环境,某地政府计划对辖区内60 km2的土地进行绿化.为了尽快完成任务,
实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务.求原计划平均每月的
绿化面积.
18.(7分)如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线.AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.
求证:四边形ACGF是菱形.19.(7分)如图,海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向.一艘船从A岛出发,以18
海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛,此时测得B岛在C岛的南偏东43°.求A、B
两岛之间的距离.(结果精确到0.1海里)
【参考数据:sin 43°=0.68,cos 43°=0.73,tan 43°=0.93】
20.(7分)在“世界家庭日”前夕,某校团委随机抽取了n名本校学生,对“世界家庭日”当天
所喜欢的家庭活动方式进行问卷调查.问卷中的家庭活动方式包括:
A.在家里聚餐;B.去影院看电影;C.到公园游玩;D.进行其他活动.
每位学生在问卷调查时都按要求只选择了其中一种喜欢的活动方式.该校团委收回全部问卷
后,将收集到的数据整理并绘制成如下的统计图.根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)四种方式中最受学生喜欢的方式为 (用A、B、C、D作答);选择该种方式的学生
人数占被调查的学生人数的百分比为 ;
(3)根据统计结果,估计该校1 800名学生中喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生多的人数.21.(8分)甲、乙两台机器共同加工一批零件,在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率.
从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时.甲、乙两台机器各自加工的零
件个数y(个)与加工时间x(时)之间的函数图象分别为折线OA—AB与折线OC—CD,如图所
示.
(1)求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数;
(2)求乙机器改变工作效率后y与x之间的函数关系式;
(3)求这批零件的总个数.
22.(9分)在矩形 ABCD 中,已知 AD>AB.在边 AD 上取点 E,使AE=AB,连结 CE.过点 E作
EF⊥CE,与边AB或其延长线交于点F.
猜想:如图①,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为 .
探究:如图②,当点F在边AB的延长线上时,EF与边BC交于点G.判断线段AF与DE的大小
关系,并加以证明.
应用:如图②,若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论,求线段BG的长.23.(10分)如图,在等边△ABC中,AB=6,AD⊥BC于点D.点P在边AB上运动,过点P作PE∥BC,
与边AC交于点E,连结ED.以PE、ED为邻边作▱PEDF.设▱PEDF与△ABC重叠部分图形
的面积为y,线段AP的长为x(0<x<6).
(1)求线段PE的长;(用含x的代数式表示)
(2)当四边形PEDF为菱形时,求x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式;
(4)设点A关于直线PE的对称点为点A',当线段A'B的垂直平分线与直线AD相交时,设其交
点为Q.当点P与点Q位于直线BC同侧(不包括点Q在直线BC上)时,直接写出x的取值范
围.24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于
点C,且点B的坐标为(3,0).点P在这条抛物线上,且不与B、C两点重合.过点P作y轴的垂线
与射线BC交于点Q.以PQ为边作Rt△PQF,使∠PQF=90°,点F在点Q的下方,且QF=1.设线段
PQ的长度为d,点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;
(2)求d与m之间的函数关系式;
(3)当Rt△PQF的边PF被y轴平分时,求d的值;
(4)以OB为边作等腰直角三角形OBD.当0<m<3时,直接写出点F 落在△OBD的边上时m的
值.答案全解全析：
一、选择题
1.A 因为|-3|=3,所以选项A正确.故选A.
2.B 因为632 000=6.32×105,所以选项B正确.故选B.
3.C (a2)3=a2×3=a6,所以选项C正确.故选C.
4.B 因为两个圆柱体底面半径相同而高度不同,所以这两个圆柱体的主视图、左视图不同,
只有俯视图相同.选项B符合.故选B.
5.C 因为b2-4ac=(-2)2-4×1×3=4-12<0,所以此方程没有实数根.选项C正确.故选C.
6.B ∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD∥BC,∴∠1=∠C=70°.
∴∠B=70°.∴∠BAC=40°.故选B.
7.C 设 ∠ ADC=x°, 则 ∠ AOC=2x°.∵ 四 边 形 ABCO 是 平 行 四 边 形 ,
∴∠B=∠AOC.∵∠B+∠D=180°,∴x+2x=180.∴x=60.∴∠ADC=60°.故选C.
8.D 把A(-1,m)代入y=2x+3,得m=2×(-1)+3=1,,∴A点坐标为(-1,1).将线段OA绕点O顺时针
旋转90°,点A的对应点B的坐标是(1,1),把B(1,1)代入y=-x+b,得-1+b=1,∴b=2.故选D.
评析 本题考查了一次函数与旋转,需要通过旋转的性质准确求出对应点的坐标.属容易题.
二、填空题
9.答案 >
解析 因为2>1,所以√2>1.
10.答案 x≥4
解析 因为3x-12≥0,所以3x≥12,所以x≥4.
7π
11.答案
6
解析 ∵PA是☉O的切线,∴OA⊥AP.∵∠P=20°,
70×π×3 7π
⏜
∴∠AOP=70°.∴ 的长为 = .
AB
180 6
12.答案 6
6
解 析 ∵ 点 P 在 函 数 y= (x>0) 的 图 象 上 ,∴S =6.∵ 点 C 是 OB 的 中
x 矩 形 OAPB
点,∴BC=OC.∵∠PBC=∠DOC,∠BCP=∠OCD,∴△COD≌△CBP.∴S =S =6.
△APD 矩形OAPB
评析 本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义,全等三角形的应用以及对中点的认识.
本题中的点P是不确定的,但是由点C为BO的中点,可以借助全等将要求的面积转化为易知
的矩形面积.属中档题.
13.答案 5
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠C=90°.1 1
∵△ABE的面积为8,∴ AB×BC=8,∴ AB2=8.∴AB=4.∴BC=AB=4.∵CE=3,∴BE=√32+42=5.
2 2
14.答案 1
解析 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴AC=BD.当 A 在抛物线的顶点处时,AC 最短,此时
A(1,1),AC=1,∴BD=1.即对角线BD的最小值为1.
三、解答题
15.解析 原式=x2+2x+1+x2-2x
=2x2+1.(4分)
当x=√3时,原式=2×(√3)2+1=7.(6分)
16.解析
或
结果 第一次
a b c
第二次
a (a,a) (b,a) (c,a)
b (a,b) (b,b) (c,b)
c (a,c) (b,c) (c,c)
(4分)
3 1
∴P(字母相同)= = .(6分)
9 3
17.解析 设原计划平均每月的绿化面积为x km2.
60 60
根据题意,得 - =2.(3分)
x 1.5x
解得x=10.(5分)
经检验,x=10是原方程的解,且符合题意.
答:原计划平均每月的绿化面积为10 km2.(6分)
18.证明 ∵AF∥CD,FG∥AC,
∴四边形ACGF是平行四边形.(3分)
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2.
∵AF∥CD,
∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.
∴AF=AC.
∴四边形ACGF是菱形.(7分)
19.解析 由题意,得AC=18×2=36.(1分)
在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠ACB=43°,AB
tan∠ACB= ,(3分)
AC
∴AB=AC·tan∠ACB=36×tan 43°=36×0.93=33.48≈33.5(海里).
答:A、B两岛之间的距离约为33.5海里.(7分)
20.解析 (1)n=30+40+70+60=200,
所以n的值为200.(2分)
(2)C;35%.(4分)
70 40
(3)1 800× -1 800× =270(人).
200 200
所以喜欢C方式的学生比喜欢B方式的学生约多270人.(7分)
21.解析 (1)80÷4=20(个),
所以甲机器改变工作效率前每小时加工零件20个.(2分)
(2)设所求函数关系式为y=kx+b(k≠0).
将点(2,80),(5,110)代入,得
{2k+b=80, {k=10,
解得
5k+b=110. b=60.
∴y=10x+60(2≤x≤6).(5分)
(3)设甲机器改变工作效率后y=mx+n(m≠0).
将点(4,80),(5,110)代入,得
{4m+n=80, {m=30,
解得
5m+n=110. n=-40.
∴y=30x-40(4≤x≤6).
当x=6时,y =30×6-40=140,y =10×6+60=120,
甲 乙
∴y +y =140+120=260.
甲 乙
所以这批零件的总个数为260个.(8分)
22.解析 猜想:AF=DE.(2分)
探究:AF=DE.
证明:∵EF⊥CE,∴∠CEF=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=CD.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠1=∠3.
∵AE=AB,∴AE=DC.∴△AEF≌△DCE.
∴AF=DE.(6分)
应用:∵AF=DE=AD-AE=5-2=3,∴BF=AF-AB=3-2=1.
在矩形ABCD中,AD∥BC,∴△FBG∽△FAE.
BG FB BG 1
∴ = ,即 = .
AE FA 2 3
2
∴BG= .(9分)
3
23.解析 (1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠B=∠C=60°.
∵PE∥BC,
∴∠APE=∠B=60°,∠AEP=∠C=60°,
∴△APE为等边三角形.
∴PE=AP=x(0<x<6).(2分)
(2)∵四边形PEDF为菱形,
∴PE=ED,∵PE=AE,∴ED=AE,
∴∠EAD=∠ADE.
∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC于点D,
∴∠EAD=∠ADE=30°,∠ADC=90°,
∴∠CDE=∠C=60°,∴EC=ED=x.
∵AC=6,∴AE+EC=6.
∴x+x=6,∴x=3.(5分)
√3 √3
(3)当0<x≤3时,如图①,y=x· ·(6-x)=- x2+3√3x;
2 2
1 √3 √3 3√3 9√3
当3<x<6时,如图②,y= (3+x)· (6-x)=- x2+ x+ .(8分)
2 2 4 4 2
图①
图②
(4)0<x<3-√3或3<x<3+√3.(10分)
【提示】如图③~⑤.24.解析 (1)∵抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点B(3,0),
∴4a+4=0,解得a=-1.
∴这条抛物线所对应的函数表达式为
y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.(2分)
(2)∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,且B(3,0),
∴A(-1,0),当x=0时,y=-(0-1)2+4=3.
∴C(0,3).∵B(3,0),C(0,3),
∴射线BC所对应的函数表达式为y=-x+3(x≤3).
∵点P在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴P(m,-m2+2m+3).∵PQ⊥y轴,∴Q(m2-2m,-m2+2m+3).
当-1≤m<0时,如图①,
图①
d=m2-2m-m=m2-3m;
当0<m<3时,如图②,d=m-(m2-2m)=-m2+3m.(6分)
图②
图③
(3)∵边PF被y轴平分,如图③,
∴线段PQ被y轴平分,
∴点P与点Q关于y轴对称.
∴m+m2-2m=0,
解得m=0,m =1.
1 2
∵点P不与点C重合,∴m=1.
当m=1时,d=-12+3×1=2.(8分)
2+√14
(4)2,1+√2,1+√3, .(12分)
2【提示】如图④~⑦.
