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2019年成都市高中阶段教育学校统一招生考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1.比-3大5的数是( )
A.-15 B.-8 C.2 D.8
2.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成的,它的左视图是( )
3.2019年4月10日,人类首张黑洞照片面世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心,距离地球约5 500万光年.将数据5 500万用科学记数法表示为( )
A.5 500×104 B.55×106
C.5.5×107 D.5.5×108
4.在平面直角坐标系中,将点(-2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为( )
A.(2,3) B.(-6,3)C.(-2,7)D.(-2,-1)
5.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起,若∠1=30°,则∠2的度数为( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
6.下列计算正确的是( )
A.5ab-3a=2b B.(-3a2b)2=6a4b2
C.(a-1)2=a2-1 D.2a2b÷b=2a2
x-5 2
7.分式方程 + =1的解为( )
x-1 x
A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2
8.某校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集活动,从九年级五个班收集到的作品数量(单位:件)分别为:42,50,45,46,50,则这组数据的中位数是( )
A.42件B.45件 C.46件 D.50件
9.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为 ⏜ 上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为( )
DEA.30° B.36° C.60° D.72°
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是( )
A.c<0 B.b2-4ac<0
C.a-b+c<0 D.图象的对称轴是直线x=3
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11.若m+1与-2互为相反数,则m的值为 .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,∠BAD=∠CAE,若BD=9,则CE的长为 .
13.已知一次函数y=(k-3)x+1的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 .
14.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;②以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M';③以点M'为圆心,以MN长为半径作弧,在∠COB内部交前面的弧
于点N';④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB=8,则线段OE的长为 .
三、解答题(本大题共6个小题,共54分)
15.(本小题满分12分,每题6分)
(1)计算:(π-2)0-2cos 30°-√16+|1-√3|;
{3(x-2)≤4x-5,①
(2)解不等式组:
5x-2 1
<1+ x.②
4 216.(本小题满分6分)
先化简,再求值:( 4 )÷x2-2x+1,其中x= +1.
1- √2
x+3 2x+6
17.(本小题满分8分)
随着科技的进步和网络资源的丰富,在线学习已经成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求,该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感
兴趣”的调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息,解答下列问题:
(1)求本次调查的学生总人数,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数;
(3)该校共有学生2 100人,请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.
18.(本小题满分8分)
2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门
CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)19.(本小题满分10分)
1 k
如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y= x+5和y=-2x的图象相交于点A,反比例函数y= 的图象经过点A.
2 x
(1)求反比例函数的表达式;
1 k
(2)设一次函数y= x+5的图象与反比例函数y= 的图象的另一个交点为B,连接OB,求△ABO的面积.
2 x
20.(本小题满分10分)
如图,AB为☉O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.
(1)求证: ⏜ = ⏜ ;
AC CD
(2)若CE=1,EB=3,求☉O的半径;
(3)在(2)的条件下,过点C作☉O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交☉O于F,Q两点(点F在线段PQ上),求PQ的长.
B卷(共50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)21.估算:√37.7≈ (结果精确到1).
22.已知x,x 是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且 + -xx=13,则k的值为 .
1 2 x2 x2 1 2
1 2
5
23.一个盒子中装有10个红球和若干个白球,这些球除颜色外都相同.再往该盒子中放入5个相同的白球,摇匀后从中随机摸出一个球,若摸到白球的概率为 ,则盒子中原有的白球的个数为 .
7
24.如图,在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°.将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接A'C,A'D,B'C,则A'C+B'C的最小值为 .
15
25.如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,△OAB的面积为 ,则△OAB内部(不含边界)的整点的个数为 .
2
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
26.(本小题满分8分)
随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的
一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式;
1 1
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p= x+ 来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?
2 2
27.(本小题满分10分)
3
如图1,在△ABC中,AB=AC=20,tan B= ,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于点F,连接CF.
4
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)当DE∥AB时(如图2),求AE的长;
(3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说明理由.28.(本小题满分12分)
如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D,若点C'恰好落在抛物线的对称轴上,求点C'和点D的坐标;
(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当△CPQ为等边三角形时,求直线BP的函数表达式.
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2019年成都市高中阶段教育学校统一招生考试
A卷
一、选择题
1.C 比-3大5的数可表示为-3+5=2,故选C.
23..BC 根5 5据00该万几=何55体 00的0 特00征0=可5.5知×其10左7.故视选图C为. ,故选B.
4.A 点向右平移4个单位长度,其横坐标加4,所以平移后得到的点的坐标为(2,3),故选A.
5.B 如图,由题意得AB∥CD,∠EFG=45°,∴∠3=∠1=30°,
∴∠2=∠EFG-∠3=45°-30°=15°,故选B.
6.D 5ab与3a不能合并,(-3a2b)2=9a4b2,(a-1)2=a2-2a+1,所以选项A,B,C错误.2a2b÷b=2a2,选项D正确,故选D.
7.A 原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)≠0,所以x=-1是原分式方程的解,故选A.
8.C 将此组数据从小到大排列为42,45,46,50,50,中间的数是146,即中位数是46件.故1选C.
9.B 连接CO,DO,∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠COD= ×360°=72°,∴∠CPD= ∠COD=36°,故选B. 1+5
5 2
10.D 抛物线与y轴的正半轴相交,所以c>0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c>0,所以选项A,B,C错误,抛物线的对称轴为直线x= =3,选项D正确,故选D.
2
二、填空题
11. 答案 1
解析 根据题意得m+1-2=0,所以m=1.
12. 答案 9
解析 ∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(ASA),∴CE=BD=9.
13. 答案 k<3
解析 由题意得k-3<0,所以k<3.
14. 答案 4
解析 由作图方法可得∠COE=∠CAB,∴OE∥AB.在▱ABCD中,AO=CO,∴线段OE为△ABC的中位线,∴线段OE的长为线段AB长的一半,为4.
三、解答题 √3
15. 解析 (1)原式=1-2× -4+√3-1
2=1-√3-4+√3-1
=-4.
(2)解不等式①得x≥-1,解不等式②得x<2.
∴原不等式组的解x集+为3--14≤x2<(2.x+3)
162.(解x-析1 )原式= ·
= 2
x+3 (x-1)2
=
(x-1. )2
2
x-1
当x=√2+1时,原式= =√2.
√2+1-1
17. 解析 (1)18÷20%=90(人),
90-18-24-12=36(人).
∴本次调查的学生总人数为90,在线听课的人数为36,补全的条形统计图如下:
12
(2)360°× =48°.
90
∴“在线讨24论”对应的扇形圆心角为48度.
(3)2 100× =560(人).
90
∴估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数为560人.
18. 解析 如图,作CE⊥AB于点E,∴∠AEC=∠CEB=90°,
由题意得∠CDB=∠EBD=90°,∠1=35°,∠2=45°.
∴四边形CDBE为矩形.
∴CD=BE,CE=DB.
在Rt ABD中,BD=AB=20米,
∴CE=20米.
在Rt
△
ACE中,AE=CE·tan∠1.
∴BE=AB-AE=20-20·tan 35°≈6米.
∴CD △≈6米.
{ 1
答:起点拱门CD的y高=度约x+为56,米. {x=-2,
19. 解析 (1)由 2 解得
y=4.
∴点A的坐标为k(-2
y
,4=).-2xk,
1
把(-2{,4
y
)代=入
x
y+=
5x
,中,得4=
-2
-,k8=-8.
∴反比例函2数的表达式{为xy==-2,. {x =-8,
1 x 2
(2)由 解得
-8 y =4, y =1.
∴B(-8,1y),= , 11 2
∴直线BO的x解析式为y=- x. 1
8
过
∴
点
S
A作
=
1A
·A
C
C
⊥
·(
x
x
轴
-x
交
)=
B1O
×
于
( 4
点
-
C1,则
) ×(
y
0 C +
=
8 4 )=
,
15.
ABO 2 O B 2 4
20. △解析 (1)证明:连接OD.
∵OC∥BD,
∴∠OCB=∠DBC,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC=∠DBC,
∴∠AOC=∠COD,
⏜ ⏜
∴ AC=CD.
(2)连接AC.
⏜ ⏜
∵ AC=CD,
∴∠CBA=∠CAD.
又∵∠BCA=∠ACE,
∴△CCABAC∽B△CAE.
∴ = .
CE CA
∴CA2=CE·CB=CE·(CE+EB)=1×(1+3)=4.
∴CA=2.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt ACB中,由勾股定理,得AB=√C A2+CB2=√22+42=2√5.
∴☉O的半径为√5.
△
(3)如图,设AD与CO相交于点N,
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵OC∥BD,
∴∠ANO=∠ADB=90°.
∵PC为☉O的切线,
∴∠PCO=90°.
∴∠ANO=∠PCO.
∴PPCA∥ACEE. 1
∴ =1 =1. 2√5
AB EB 3
∴PA= AB= ×22√√55= 5. √5
∴PO=P 3 A+AO 3 = +√35= .
过点O作OH⊥PQ 3 于点H,则 3∠OHP=90°=∠ACB.
∵PQ∥CB,
∴∠BPQ=∠ABC.∴△OOPHPO∽H△APCHB.
5√5 5√5
∴ =AC·=OP. 2× 5 BC·OP 4× 10
∴O A H B = AC BC = 3 = ,PH= = 3 = .
AB 3 AB 3
连 在 接 Rt OQ O . HQ中,由10勾+股2 2 √定 √ 5理 5 ,得HQ=√OQ2-OH2= √2 ( √ √ 5 5)2- (5) 2 = 2√5 .
∴PQ=PH+HQ= . 3 3
3
△ B卷
一、填空题
21. 答案 6
解析 ∵36<37.7<42.25,∴√36<√37.7<√42.25,即6<√37.7<6.5,∴√37.7≈6.
22. 答案 -2
解析 ∵x,x 是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,∴Δ=b2-4ac=4-4(k-1)≥0,∴k≤2.由题意知,x+x=-2,xx=k-1,∵x2 +x2 -xx=13,∴(x+x)2-3xx=13,∴(-2)2-3(k-1)=13,∴k=-2.∵-2<2,∴k的值为-2.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
23. 答案 20
解析 设盒子中原有白球x个,由题意得(x+5)∶(10+x+5)=5∶7,所以x=20,即盒子中原有的白球的个数为20.
24. 答案 √3
解析 作直线AA',并作点C关于直线A'A的对称点E,连接EA,AC,A'E.
∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=1,
∴AC=1,AC⊥BD,由平移得△BCB'≌△D'A'D,AA'∥BD,
∴A'D=B'C.又∵EA'=A'C,
∴A'C+B'C=EA'+A'D,∴当E,A',D三点共线时,EA'+A'D的值最小.
∵AC=A1E=AD=1,∠DAC=∠DCA=60°,
∴∠E= ∠DAC=30√°,3∴∠EDC=180°-∠E-∠ACD=90°,
2
∴ED=EC·cos E=2× =√3,即A'C+B'C的最小值为√3.
2
25. 答案 4或5或6 15 1 5 2 10
解析 ∵A(5,0),S = ,点B在x轴的上方,∴点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与直线y=2交于点C,D,则BC=CE=EO,CD∥EF∥OA,∴CD= OA= ,EF= OA= ,∴线段CD可以覆盖1个或2个整点,线段EF可覆盖3个
OAB 2 3 3 3 3
或4个整点,∴△OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.
△
二、解答题 {7 000=k+b, { k=-500,
26. 解析 (1)设y=kx+b,把(1,7 000)和(5,5 000)代入,得 解得
5 000=5k+b, b=7 500.
∴y与x之间的关系式为y=-500x+7 500. (1 1)
(2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=p·y= x+ (-500x+7 500)=-250(x-7)2+16 000.
2 2
∵-250<0,∴当x=7时,w有最大值,此时y=-500×7+7 500=4 000.
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4 000元.
27. 解析 (1)证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE.
∴△ABD∽△DCE.
(2)过点A作AM⊥BC于点M. 3
在Rt ABM中,设BM=4k,则AM=BM·tan B=4k· =3k,
4
由勾股定理,得AB2=AM2+BM2.
∴202=(3k)2+(4k)2.
△
∴k=4.
∵AB=AC,AM⊥BC,
∴BC=2BM=2·4k=32.
∵DE∥AB,
∴∠BAD=∠ADE.
又∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,
∴∠BAD=∠ACB.
又∵AB∠ADBBD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA.
∴ =AB2. 202 25
CB AB
∴ ∵ D D B E∥ = AA C CB B ,·∴ = B A 3 D 2 E= =2 B 2 0 D × . . 25 125
∴AE= AC = BC 2 = .
BC 16
32
(3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.
过点F作FH⊥BC于点H.过点A作AM⊥BC于点M,AN⊥FH于点N.
易知∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°,
∴四边形AMHN为矩形,
∴∠MAN=90°,MH=AN.
∵AB=AC,AM1⊥BC1,
∴BM=CM= BC= ×32=16.
在Rt ABM 2 中,由勾 2 股定理,得AM=√AB2-BM2=√202-162=12.
∵AN⊥FH,AM⊥BC,
∴∠ANF=90°=∠AMD.
△
∵∠DAF=90°=∠MAN,
∴∠NAF=∠MAD.
∴△AANFN∽A△FADM. 3
∴ =3 =t3an∠ADF=tan B= .
AM AD 4
∴AN= AM= ×12=9.
4 4
∴CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7.
当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知△DFC为等腰三角形.
又∵FH⊥DC,∴CD=2CH=14.
∴BD=BC-CD=32-14=18,
∴点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.
{4a-2b+c=5,
{
a=1,
28. 解析 (1)由题意,得 a-b+c=0, 解得 b=-2,
∴抛物线的函数表达式为9ya=x+2-32bx-+3.c=0, c=-3.
(2)∵抛物线与x轴的交点为B(-1,0),C(3,0),
∴BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1.
设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则H点的坐标为(1,0),BH=2.
由翻折得C'B=CB=4.
在Rt BHC'中,由勾股定理,得C'H=√CC''HB2-2B√H3 2=√42-22=2√3.
∴点C'的坐标为(1,2√3),tan∠C'BH= = =√3.
∴∠C △ 'BH=60°. 1 BH 2
由翻折得∠DBH= ∠C'BH=30°. 2√3
2
在Rt BHD中,D
(
H=B2H√·ta3n
)
∠DBH=2×tan 30°= .
∴点D的坐标为 1, . 3
3
(3)取△ (2)中的点C',D,连接CC'.
∵BC'=BC,∠C'BC=60°,
∴△C'CB为等边三角形.
分类讨论如下:
①当点P在x轴上方时,点Q在x轴上方.
连接BQ,C'P.
∵△PCQ, C'CB为等边三角形,
∴CQ=CP,BC=C'C,∠PCQ=∠C'CB=60°.
∴∠BCQ
△
=∠C'CP.∴△BCQ≌△C'CP.
∴BQ=C'P.
∵点Q在抛物线的对称轴上,∴BQ=CQ.
∴C'P=CQ=CP.
又∵BC'=BC,
∴BP垂直平分CC'.
由翻折可知BD垂直平分CC'.
∴ { 点 0 D =在-直 k+线 b B , P上. { k= √3 ,
设直线BP的函数表达式为y3=kx+b,
则 ∴直 2 线 3 √3 BP =k 的 + 函 b 数 , 解 表 得 达式 b 为= √ y 3 = √ . 3 x+ √3 .
3 3
3
②当点P在x轴下方时,点Q在x轴下方.
∵△QCP, C'CB为等边三角形,
∴CP=CQ,BC=C'C,∠CC'B=∠QCP=∠C'CB=60°.
∴∠BCP△=∠C'CQ.
∴△BCP≌△C'CQ.∴∠CBP=∠CC'Q.
∵BC'=CC',C1'H⊥BC,
∴∠CC'Q= ∠CC'B=30°,
2
∴∠CBP=30°.
设BP与y轴相交于点E. √3 √3
在
∴ { 点
R
0
t
E =
B
的 -
O
k 坐
E
' 标 +
中
b 为
,O
' (
E
, 0
=
,
O
-
B·√
{
t
3
a
k
3n
' )
∠
. =
C
-
B
√
P
3
=O
,
B·tan 30°=1×
3
=
3
,
设直线△BP的函数表达式为y=k'x3+b',
则 ∴直 - 线 √ 3 3 BP = 的 b' 函 , 数表 解 达 得 式b为'=y=-- √ √3 3 x.- √ √ 3 3. √3 √3 √3
3 3
综上所述,直线BP的函数表达式3为y= x+ 或y=- x- .
3 3 3 3
