5
2019年安徽省初中学业水平考试
(满分:150分 考试时间:120分钟)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.
1.在-2,-1,0,1这四个数中,最小的数是( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
2.计算a3·(-a)的结果是( )
A.a2 B.-a2 C.a4 D.-a4
3.一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置,它的俯视图是( )
4.2019年“五一”假日期间,我省银联网络交易总金额接近161亿元.其中161亿用科学记数法表示为( )
A.1.61×109 B.1.61×1010
C.1.61×1011 D.1.61×1012
k
5.已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y= 的图象上,则实数k的值为( )
x
1 1
A.3 B. C.-3 D.-
3 3
6.在某时段有50辆车通过一个雷达测速点,工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图,则这50辆车的车速的众数(单位:km/h)为( )
A.60 B.50 C.40 D.15
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( )
A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
8.据国家统计局数据,2018年全年国内生产总值为90.3万亿,比2017年增长6.6%.假设国内生产总值的年增长率保持不变,则国内生产总值首次突破100万亿的年份为( )
A.2019年 B.2020年 C.2021年 D.2022年9.已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0,a+2b+c<0,则( )
A.b>0,b2-ac≤0 B.b<0,b2-ac≤0
C.b>0,b2-ac≥0 D.b<0,b2-ac≥0
10.如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是( )
A.0 B.4 C.6 D.8
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.计算√18÷√2的结果是 .
12.命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为 .
13.如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则CD的长为 .
14.在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是 .
三、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.解方程:(x-1)2=4.
16.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中,给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB.
(1)将线段AB向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到线段CD,请画出线段CD;
(2)以线段CD为一边,作一个菱形CDEF,且点E,F也为格点.(作出一个菱形即可)四、(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.
已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天?
18.观察以下等式:
2 1 1
第1个等式: = + ,
1 1 1
2 1 1
第2个等式: = + ,
3 2 6
2 1 1
第3个等式: = + ,
5 3 15
2 1 1
第4个等式: = + ,
7 4 28
2 1 1
第5个等式: = + ,
9 5 45
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式: ;
(2)写出你猜想的第n个等式: (用含n的等式表示),并证明.
五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若
点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin 41.3°≈0.66,cos 41.3°≈0.75,tan 41.3°≈0.88)图1
图2
20.如图,点E在▱ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE.
(1)求证:△BCE≌△ADF;
S
(2)设▱ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.
T
六、(本题满分12分)
21.为监控某条生产线上产品的质量,检测员每隔相同时间抽取一件产品,并测量其尺寸.在一天的抽检结束后,检测员将测得的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格:
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
尺寸(cm) 8.728.888.928.938.948.968.978.98 a 9.039.049.069.079.08 b
按照生产标准,产品等次规定如下:
尺寸(单位:cm) 产品等次
8.97≤x≤9.03 特等品
8.95≤x≤9.05 优等品
8.90≤x≤9.10 合格品
x<8.90或x>9.10 非合格品
注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内;在统计合格品个数时,将优等品(含特等品)计算在内.
(1)已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为 的产品是不是合格品,并说明理由;
(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm.
(i)求a的值;(ii)将这些优等品分成两组,一组尺寸大于9 cm,另一组尺寸不大于9 cm,从这两组中各随机抽取1件进行复检,求抽取到的2件产品都是特等品的概率.
七、(本题满分12分)
22.一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1)求k,a,c的值;
(2)过点A(0,m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值.
八、(本题满分14分)
23.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.
(1)求证:△PAB∽△PBC;
(2)求证:PA=2PC;
(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h,h,h,求证: =h·h.
1 2 3 h2 2 3
1
5
2019年安徽省初中学业水平考试
一、选择题
1.A ∵-2<-1<0<1,∴-2最小,故选A.
2.D a3·(-a)=-a4,故选D.
3.C 俯视图是一个正方形内有一个内切圆,且内切圆是看得见的,为实线,故选C.
4.B 161亿=161×108=1.61×1010,故选B.
k k
5.A 点A关于x轴的对称点A'(1,3)在反比例函数y= 的图象上,则3= ,∴k=3,故选A.
x 1
6.C 由题图可知车速为40 km/h的车辆数最多,故选C.
7.B 解法一:如图,作DN∥CA交AB于点N,∵∠ACB=90°,EF⊥EG,EF⊥AC,∴EG∥DN,EF∥BC.
EG AE EF
∴ = = .∴ EDFN==EDGC,∵.
DN AD CD
DN BD DC 12-DC
∵DN∥CA,∴ = ,∴ = ,
AC BC 6 12
解得DC=4,故选B.
解法二:过点G作GM⊥AC,垂足为M,交AD于点N.
易知四边形EFMG为正方形,设EG为x,则GM为x.
BC 12 1
∵tan∠BAC= = =2,∴AM= x,
AC 6 2
x
GN EG
∵EG∥AC,∴△EGN∽△AMN,∴ = =1 =2.
MN AM x
2
2 1
∴GN= x,MN= x,
3 3
1
x
CD MN 3 2
易证△AMN∽△ACD,∴ = = = ,∴CD=4.
AC AM 1 3
x
2
8.B 2019年全年国内生产总值为90.3(1+6.6%)=96.259 8(万亿),2020年全年国内生产总值为90.3(1+6.6%)2≈102.6(万亿),故选B.
9.D ∵a-2b+c=0,∴b=a+c,a+2b+c=4b<0,∴b<0,b2-ac=(a+c) 2 -ac=(a-c)2≥0,故选D.
2 2 4
10.D 如图,作E,F关于AD的对称点E,F ,连接EF,EF ,交AD于H点,连接EE,FF ,过点F作FO⊥EE,交EE的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,∵四边形ABCD是正方形,∴易求OE=EM=ME =2√2,∴OF=OE=2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
,OE=6 ,由勾股定理可得EF =EF= = <9,∴在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,∴一共有8个这样的P点,故选D.
√2 1 √2 1 1 √(2√2)2+(6√2)2 √80
二、填空题
11. 答案 3
解析 原式=3√2÷√2=3.
12. 答案 如果a,b互为相反数,那么a+b=0
解析 将原命题的题设a+b=0,结论a,b互为相反数交换位置即得逆命题,即如果a,b互为相反数,那么a+b=0.
13. 答案 √2解析 如图,连接OC、OB,则∠COB=2∠CAB=60°,OC=OB,
∴△COB为等边三角形,∴BC=2.∵∠CBA=45°,CD⊥AB,
∴CB=√2CD,∴CD=√2.
14. 答案 a>1或a<-1
解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y轴的交点为(0,1-a).
分两种情况:①当a<0时,如图(1),要满足题意,则需a-1>2a,可得a<-1;
②当a>0时,如图(2),要满足题意,则需a-1>0,可得a>1.
综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.
解法二:∵直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方,
∴令y=x-a+1<0,解得x<a-1.
令y=x2-2ax<0,当a>0时,解得0<x<2a;当a<0时,解得2a<x<0.
分两种情况:
{x<a-1,
①当a>0时,若 有解,则a-1>0,解得a>1;
0<x<2a
{x<a-1,
②当a<0时,若 有解,则2a<a-1,解得a<-1.
2a<x<0
综上,实数a的取值范围是a>1或a<-1.
三、
15. 解析 (x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1.
所以原方程的解为x=3,x=-1.(8分)
1 2
16. 解析 (1)如图,线段CD即为所求作.(4分)
(2)如图,菱形CDEF即为所求作(答案不唯一).(8分)
四、
17. 解析 设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进y米,根据题意有
{ x- y=2, {x=7,
解得 所以(146-26)÷(7+5)=10(天).
3x+ y=26, y=5.
答:甲乙两个工程队还需联合工作10天.(8分)
2 1 1
18. 解析 (1) = + .(2分)
11 6 66
2 1 1
(2) = + .(5分)
2n-1 n (2n-1)n
1 1 2n-1 1 2n 2
证明:右边= + = + = = =左边,
n (2n-1)n (2n-1)n (2n-1)n (2n-1)n 2n-1
所以猜想正确.(8分)
五、
19. 解析 连接CO并延长,交AB于点D,则CD⊥AB,所以D为AB的中点,所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.1
在Rt△AOD中,∵AD= AB=3,∠OAD=41.3°,
2
AD 3
∴OD=AD·tan 41.3°≈3×0.88=2.64,OA= ≈ =4,
cos41.3° 0.75
∴CD=CO+OD=AO+OD=4+2.64=6.64.
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.(10分)
[其他运算途径得到的正确结果也可赋分]
20. 解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M,
∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M,
又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC.
同理得∠FDA=∠ECB.
在△BCE和△ADF中,∵∠EBC=∠FAD,
BC=AD,∠ECB=∠FDA,∴△BCE≌△ADF.(5分)
(2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF=BE,又AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形,∴S =S .
△AEF △AEB
同理S =S ,∴T=S +S ,
△DEF △DEC △AEB △DEC
S
又T=S +S =S +S ,∴S=S +S +S +S =2T.∴ =2.(10分)
△AED △ADF △AED △BCE △AEB △DEC △AED △BCE
T
解法二:∵△BCE≌△ADF,∴T=S +S .
△AED △BCE
1 1 1 S
如图2,过点E作HG⊥BC交BC于G,交AD于H,则EG⊥BC,EH⊥AD.于是,T=S +S = BC·(EG+EH)= BC·GH= S,即 =2.(10分)
△AED △BCE
2 2 2 T
图1
图2
六、
21. 解析 (1)不是合格品.理由:因为抽检的合格率为80%,所以合格品有15×80%=12个,即非合格品有3个.而从编号①至编号 对应的产品中,只有编号①和编号②对应的产品为非合格品,从而编号为 的产品不是合格品.(4分)
8.98+a
(2)(i)按照优等品的标准,编号⑥到编号 对应的6个产品为优等品,中间两个产品的尺寸数据分别为8.98和a,所以中位数为 =9,则a=9.02.(7分)
2
(ii)优等品当中,编号⑥、编号⑦、编号⑧对应的产品尺寸不大于9 cm,分别记为A,A ,A ,编号⑨、编号⑩、编号 对应的产品尺寸大于9 cm,分别记为B ,B ,B ,其中的特等品为A,A ,B ,B .从两组产品中各随机抽取1件,有如下9种不同的等可能结
1 2 3 1 2 3 2 3 1 2
4
果:A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,A B ,其中2件产品都是特等品的有如下4种不同的等可能结果:A B ,A B ,A B ,A B ,所以抽到的两个产品都是特等品的概率P= .(12分)
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 3 1 3 2
9
七、
22. 解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1,2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,
所以2=a+c,从而a=-2.(6分)
m
(2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0<m<4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以可设点B的坐标为(x,m),由对称性得点C的坐标为(-x,m),故BC=2|x |.又点B在二次函数y=-2x2+4的图象上,所以-2x2+4=m,即x2=2-
0 0 0 0 0 2
,从而BC2=4 =8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4),所以m=1时,W有最小值7.(12分)
x2
0√ m √ m √ m
解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0<m<4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x= 2- ,x=- 2- .所以BC=2 2- ,又OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+
1 2
2 2 2
2
( √ m) =m2-2m+8=(m-1)2+7(0<m<4).所以m=1时,W有最小值7.(12分)
2 2-
2
八、
23. 证明 (1)在△ABP中,∠APB=135°,∴∠ABP+∠BAP=45°,
又∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,
即∠ABP+∠CBP=45°,∴∠BAP=∠CBP.
又∠APB=∠BPC=135°,∴△PAB∽△PBC.(4分)
PA PB AB
(2)证法一:由(1)知△PAB∽△PBC,∴ = = =√2.
PB PC BC
PA PA PB
于是, = · =2,即PA=2PC.(9分)
PC PB PC
证法二:∵∠APB=∠BPC=135°,∴∠APC=90°,∵∠CAP<45°,∴∠ACP>45°,故AP>CP.如图,在线段AP上取点D,使AD=CP.
又∵∠CAD+∠PAB=45°,且∠PBA+∠PAB=45°,∴∠CAD=∠PBA,
又∵∠CBP+∠BCP=∠CBP+∠PBA=45°,∠PBA=∠BCP,∴∠CAD=∠BCP.∵AC=CB,∴△ADC≌△CPB,∴∠ADC=∠CPB=135°,∴∠CDP=45°,∴△PDC为等腰直角三角形,∴CP=PD,又AD=CP,∴PA=2PC.(9分)
(3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h
1
,PR=h
2
,PS=h
3
,在Rt△CPR中,PR=tan∠PCR=tan∠CAP=CP=1,∴ h
2
=1,即h
3
=2h
2
.又△PAB∽△PBC,且AB=
√2
,∴ h
1
=
√2
,即h
1
=
√2
h
2
,于是
h2
=h
2
·h
3
.(14分)
CR AP 2 h 2 BC h 1
3 2
