山西省2018年高中阶段教育学校招生统一考试
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.下面有理数比较大小,正确的是( )
A.0<-2 B.-5<3 C.-2<-3 D.1<-4
2.“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中,不属于我国古代数学著作的是( )
3.下列运算正确的是( )
A.(-a3)2=-a6 B.2a2+3a2=6a2
(
b2
)
3 b6
C.2a2·a3=2a6 D. - =-
2a 8a3
4.下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.x2-2x=0 B.x2+4x-1=0
C.2x2-4x+3=0 D.3x2=5x-2
5.近年来快递业发展迅速,下表是2018年1~3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果(单位:万件):
太原市 大同市 长治市 晋中市 运城市 临汾市 吕梁市
3 303.78 332.68 302.34 319.79 725.86 416.01 338.87
1~3月份我省这七个地市邮政快递业务量的中位数是( )
A.319.79万件 B.332.68万件 C.338.87万件 D.416.01万件
6.黄河是中华民族的象征,被誉为母亲河,黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处,是黄河上最具气势的自然景观.其落差约30米,年平均流量1 010立方米/秒.若以小时作时间单位,则其年平均流量可用科学记数法表示为( )
A.6.06×104立方米/时 B.3.136×106立方米/时
C.3.636×106立方米/时 D.36.36×105立方米/时
7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黄球的概率是( )
4 1 2 1
A. B. C. D.
9 3 9 9
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为( )
A.12 B.6 C.6√2 D.6√3
9.用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为( )
A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25
C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25
10.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是( )A.4π-4 B.4π-8 C.8π-4 D.8π-8
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.计算:(3√2+1)(3√2-1)= .
12.图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度.
图1
图2
13.2018年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的宽为20 cm,长与高的比为8∶11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm.
1
14.如图,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,大于 CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE
2
交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为 .
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O,☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
计算:(1)(2√2)2-|-4|+3-1×6+20.
x-2 x2-1 1
(2) · - .
x-1 x2-4x+4 x-2k
2
17.(本题8分)如图,一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象分别与x轴,y轴相交于点A,B,与反比例函数y= (k≠0)的图象相交于点C(-4,-2),D(2,4).
1 1 1 2 x 2
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)当x为何值时,y>0?
1
(3)当x为何值时,y<y?请直接写出x的取值范围.
1 2
18.(本题9分)
在“优秀传统文化进校园”活动中,学校计划每周二下午第三节课开展此项活动,拟开展活动项目为剪纸,武术,书法,器乐,要求七年级学生人人参加,并且每人只能参加其中一项活动.教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查,并对此进
行统计,绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整).
请解答下列问题:
(1)请补全条形统计图和扇形统计图;
(2)在参加“剪纸”活动项目的学生中,男生所占的百分比是多少?
(3)若该校七年级学生共有500人,请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人;
(4)学校教务处要从这些被调查的女生中,随机抽取一人了解具体情况,那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少?
19.(本题8分)祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利
用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量.测量结果如下表:
项目 内容
课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量
说明:两侧最长斜拉索AC,BC相交于点C,分别与桥面交于A,B两点,且点A,B,C在同一竖直平面内
示意图
测量 ∠A的度数 ∠B的度数 AB的长度
数据 38° 28° 234米
… …
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin 38°≈0.6,cos 38°≈0.8,tan 38°≈0.8,sin 28°≈0.5,cos 28°≈0.9,tan 28°≈0.5);
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写出一个即可).
20.(本题7分)2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是
4
该列“和谐号”列车行驶时间的 (两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多少时间.
5
21.(本题8分)请阅读下列材料,并完成相应的任务.
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办法.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:试问如何在一个三角形ABC的AC和BC两边上分别取一点X和Y,使得AX=BY=XY(如图).解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在CA上作出一点D,使得CD=CB,连接BD.第二步,在CB上取一点Y',作Y'Z'∥CA,交BD于点Z',并在AB上取一点A',使Z'A'=Y'Z'.第三步,过点A作AZ∥A'Z',交BD于点Z.第四步,过点Z作ZY∥AC,交BC于点Y,再过点Y作YX∥ZA,交AC于点X.则有AX=BY=XY.
下面是该结论的部分证明:
证明:∵AZ∥A'Z',
∴∠BA'Z'=∠BAZ,
又∵∠A'BZ'=∠ABZ,
∴△BA'Z'∽△BAZ.
Z'A' BZ'
∴ = .
ZA BZ
Y'Z' BZ'
同理可得 = .
YZ BZ
Z'A' Y'Z'
∴ = .
ZA YZ
∵Z'A'=Y'Z',∴ZA=YZ.…
任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形AXYZ的形状,并加以证明;
(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成AX=BY=XY的证明过程;
(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形BA'Z'Y'放大得到四边形BAZY,从而确定了点Z,Y的位置,这里运用了下面一种图形的变化是 .
A.平移 B.旋转 C.轴对称 D.位似
22.(本题12分)综合与实践
问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB,E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.
探究展示:勤奋小组发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:
图1
证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.
∵AD=2AB,∴AD=AE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
EM EB
∴ = .(依据1)
DM AB
EM
∵BE=AB,∴ =1.∴EM=DM.
DM
即AM是△ADE的DE边上的中线,
又∵AD=AE,∴AM⊥DE.(依据2)∴AM垂直平分DE.
反思交流:
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;
(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;
探索发现:
(3)如图3,连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,可以发现点C,点B都在线段AE的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加
以证明.
图2
图3
23.(本题13分)综合与探究
1 1
如图,抛物线y= x2- x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.
3 3
(1)求A,B,C三点的坐标;
直接
(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请 写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
··
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.
山西省2018年高中阶段教育学校招生统一考试
一、选择题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D C C C A D B A
1.B 由正数>0>负数,得选项B正确,选项A、D错误;两个负数比较大小时,绝对值大的数反而小,因为-3的绝对值大于-2的绝对值,所以-3<-2,选项C错误.故选B.
2.B 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所作,《九章算术》《海岛算经》《周髀算经》是中国古代的数学著作,故选B.
(
b2
)
3 b2×3 b6
3.D (-a3)2=a2×3=a6,所以A选项错误;2a2+3a2=(2+3)a2=5a2,所以B选项错误;2a2·a3=2a2+3=2a5,所以C选项错误; - =- =- ,所以D选项正确,故选D.
2a 23a3 8a3
4.C 因为Δ=(-2)2=4>0,所以A选项有两个不相等的实数根;因为Δ=42+4=20>0,所以B选项有两个不相等的实数根;因为Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以C选项没有实数根;D整理得3x2-5x+2=0,因为Δ=(-5)2-4×3×2=1>0,所以D选项有两个不相等的实数根.故选
C.
5.C 将表格中七个数据(单位:万件)从小到大排列为302.34,319.79,332.68,338.87,416.01,725.86,3 303.78,第四个数据为中位数,即338.87万件.故选C.
6.C 一秒流量为1 010立方米,则一小时流量为1 010×60×60=3 636 000立方米,3 636 000用科学记数法表示为3.636×106,故选C.
7.A 列表:
第
一次 黄1 黄2 白
第二次
黄1 (黄1,黄1) (黄2,黄1) (白,黄1)
黄2 (黄1,黄2) (黄2,黄2) (白,黄2)
白 (黄1,白) (黄2,白) (白,白)
4
由表格可知,共有9种等可能结果,其中两次都摸到黄球的结果有4种,∴P(两次都摸到黄球)= ,故选A.
9
8.D 如图,连接BB',由旋转可知AC=A'C,BC=B'C,∵∠A=60°,
∴△ACA'为等边三角形,∴∠ACA'=60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BCB'为等边三角形,
在Rt△ABC中,∠A=60°,AC=6,则BC=6√3.
∴BB'=BC=6√3,故选D.
9.B y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故选B.
90π·42 AO·BD 90π·42 2×4
10.A ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°,因为圆和正方形是中心对称图形,∴S =S -S = - = - =4π-4,故选A.
阴影 扇形AEF △ABD 360 2 360 2
二、填空题
11. 答案 17
解析 (3√2+1)(3√2-1)=(3√2)2-1=18-1=17.
12. 答案 360
解析 ∵任意n(n≥3)边形的外角和为360°,图中五条线段组成五边形,∴Ð1+Ð2+Ð3+Ð4+Ð5=360°.
13. 答案 55
解析 设行李箱的长为8x cm,高为11x cm,
20+8x+11x≤115,解得x≤5,11x≤55,
所以,高的最大值为55 cm.
14. 答案 2√3
解析 过点B作BG⊥AF交AF于点G,
由尺规作图可知,AF平分∠NAB,∴∠NAF=∠BAF.
∵MN∥PQ,∴∠NAF=∠BFA,∴∠BAF=∠BFA,∴BA=BF=2.∵BG⊥AF,∴AG=FG,
∵∠ABP=60°,∴∠BAF=∠BFA=30°.√3
在Rt△BFG中,FG=BFcosÐBFA=2× =√3,
2
∴AF=2FG=2√3.
12
15. 答案
5
解析 如图,连接OF.
∵FG为☉O的切线,∴OF⊥FG.
∵Rt△ABC中,D为AB中点,
∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.
∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,
∴OF∥BD,∴AB⊥FG.
∵O为CD的中点,∴F为BC的中点,
1
∴CF=BF= BC=4.
2
∵Rt△ABC中,AB=√AC2+BC2=10,
AC 3
∴sin∠B= = ,
AB 5
3 12
∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4× = .
5 5
三、解答题
16. 解析 (1)原式=8-4+2+1(4分)
=7.(5分)
x-2 (x-1)(x+1) 1
(2)原式= · - (7分)
x-1 (x-2)2 x-2
x+1 1
= - (9分)
x-2 x-2
x
= .(10分)
x-2
{-4k +b=-2,
1
17. 解析 (1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点C(-4,-2),D(2,4),∴ (1分)
1 1 2k +b=4.
1
{k =1,
解得 1 (2分)
b=2.
∴一次函数的表达式为y=x+2.(3分)
1
k k 8
2 2
∵反比例函数y= 的图象经过点D(2,4),∴4= ,∴k =8.∴反比例函数的表达式为y= .(4分)
2 x 2 2 2 x
(2)由y>0,得x+2>0.(5分)
1
∴x>-2.∴当x>-2时,y>0.(6分)
1
(3)x<-4或0<x<2.(8分)
18. 解析 (1)补全条形统计图和扇形统计图如图.(3分)
10
(2) ×100%=40%.
10+15
答:男生所占的百分比为40%.(5分)
(3)500×21%=105(人).
答:估计其中参加“书法”项目活动的有105人.(7分)
15 15 5
(4) = = .
15+10+8+15 48 16
5
答:正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是 .(9分)
16
19. 解析 (1)如图,过点C作CD⊥AB于点D.(1分)
设CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°.
CD CD x 5
∵tan 38°= ,∴AD= ≈ = x.(2分)
AD tan38° 0.8 4
在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°.
CD CD x
∵tan 28°= ,∴BD= ≈ =2x.(3分)
BD tan28° 0.5
5
∵AD+BD=AB=234,∴ x+2x=234.(5分)
4
解得x=72.(6分)
答:斜拉索端点C到AB的距离为72米.(7分)
(2)答案不唯一,还需要补充的项目可为测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.(8分)
20. 解析 解法一:设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时,(1分)
500 500
由题意,得 1=5( 1)+40.(4分)
x- x-
6 4 6
8
解得x= .(5分)
3
8
经检验,x= 是原方程的根,且符合题意.(6分)
3
8
答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要 小时.(7分)
3
解法二:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时,(1分)
500
500
由题意,得 = 5 +40.(3分)
x x
4
5
解得x= .(4分)
2
5
经检验,x= 是原方程的根,且符合题意.(5分)
2
5 1 8
+ = (小时).(6分)
2 6 38
答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要 小时.(7分)
3
21. 解析 (1)四边形AXYZ是菱形.(1分)
证明:∵ZY∥AC,YX∥ZA,
∴四边形AXYZ是平行四边形.(2分)
∵ZA=YZ,∴▱AXYZ是菱形.(3分)
(2)证明:∵CD=CB,∴∠1=∠2.(4分)
∵ZY∥AC,∴∠1=∠3.(5分)
∴∠2=∠3,∴YB=YZ.(6分)
∵四边形AXYZ是菱形,∴AX=XY=YZ.
∴AX=BY=XY.(7分)
(3)D(或位似).(8分)
22. 解析 (1)①依据1:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例).(1分)
依据2:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”).(2分)
②点A在线段GF的垂直平分线上.(3分)
(2)证明:过点G作GH⊥BC于点H.(4分)
∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°.∴∠1+∠2=90°.
∵四边形CEFG为正方形,∴CG=CE,∠GCE=90°.
∴∠1+∠3=90°,∴∠2=∠3.∴△GHC≌△CBE.(6分)
∴HC=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.
∵AD=2AB,BE=AB,∴BC=2BE=2HC,∴HC=BH.
∴GH垂直平分BC.∴点G在BC的垂直平分线上.(7分)
(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上).(8分)
证法一:过点F作FM^BC于点M,过点E作EN^FM于点N.(9分)
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.
∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,
∴∠CBE=∠ABC=90°.∴四边形BENM为矩形.(10分)
∴BM=EN,∠BEN=90°.∴∠1+∠2=90°.
∵四边形CEFG为正方形,
∴EF=EC,∠CEF=90°.∴∠2+∠3=90°.∴∠1=∠3.
∵∠CBE=∠ENF=90°,∴△ENF≌△EBC.(11分)
∴NE=BE.∴BM=BE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.
∵AD=2AB,AB=BE,∴BC=2BM.∴BM=MC.
∴FM垂直平分BC,∴点F在BC边的垂直平分线上.(12分)
证法二:过F作FN⊥BE交BE的延长线于点N,连接FB,FC.(9分)
∵四边形ABCD是矩形,点E在AB的延长线上,∴∠CBE=∠ABC=∠N=90°.∴∠1+∠3=90°.
∵四边形CEFG为正方形,∴EC=EF,∠CEF=90°.
∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3.∴△ENF≌△CBE.(10分)
∴NF=BE,NE=BC.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC.
∵AD=2AB,BE=AB,∴设BE=a,则BC=EN=2a,NF=a.
∴BF=√BN2+FN2=√(3a)2+a2=√10a,
CE=√BC2+BE2=√(2a)2+a2=√5a,
CF=√CE2+EF2=√2CE=√10a.(11分)
∴BF=CF.∴点F在BC边的垂直平分线上.(12分)
1 1
23. 解析 (1)由y=0,得 x2- x-4=0,(1分)
3 3
解得x=-3,x=4.
1 2
∴点A,B的坐标分别为(-3,0),(4,0).(3分)
由x=0,得y=-4,∴点C的坐标为(0,-4).(4分)
(5√2 5√2 )
(2)Q , -4 ,Q (1,-3).(8分)
1 2 2 2
详解:当CA=CQ时,如图1,
图1
∵AC=√OA2+OC2=5,BC=√OB2+OC2=4√2,
∴BQ=4√2-5.∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°.
4√2-5 5√2 5√2
∴MQ=MB= =4- ,∴OM=OB-MB= ,
√2 2 2
(5√2 5√2 )
∴点Q的坐标为 , -4 .
2 2
当AC=AQ时,如图2,∠AQC=∠ACQ,
图2
∴∠ACO+∠OCB=∠QAB+∠QBA.
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ACO=∠QAM.
又∵∠AOC=∠QMA,∴△AOC≌△QMA,
∴OC=AM=4,OA=QM=3,
∴OM=1,点Q的坐标为(1,-3).
(5√2 5√2 )
综上所述,点Q , -4 或Q(1,-3)
1 2 2 2
(3)解法一:如图3,过点F作FG⊥PQ于点G,(9分)图3
则FG∥x轴.
由B(4,0),C(0,-4),得△OBC为等腰直角三角形.
√2
∴∠OBC=∠QFG=45°.∴GQ=FG= FQ.(10分)
2
∵PE∥AC,∴∠1=∠2.
∵FG∥x轴,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.
∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP∽△AOC.
FG GP FG GP
∴ = ,即 = .
AO OC 3 4
4 4 √2 2√2
∴GP= FG= · FQ= FQ.(11分)
3 3 2 3
√2 2√2 7√2 3√2
∴QP=GQ+GP= FQ+ FQ= FQ.∴FQ= QP.
2 3 6 7
∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m,∠MBQ=45°,
1 1
∴QM=MB=4-m,PM=- m2+ m+4.
3 3
1 1 1 4
∴QP=PM-QM=- m2+ m+4-(4-m)=- m2+ m.
3 3 3 3
∴QF= 3√2 QP= 3√2( - 1 m2+ 4 m ) =- √2 m2+ 4√2 m.(12分)
7 7 3 3 7 7
√2
∵- <0,∴QF有最大值.
7
4√2
7
当m=- =2时,QF有最大值.(13分)
( √2)
2× -
7
解法二:如图4,∵点P的横坐标为m,
∴点P的坐标为 ( m, 1 m2- 1 m-4 ) ,BM=4-m.
3 3
图4
∵△BMQ是等腰直角三角形,
∴BQ=√2BM=4√2-√2m.(9分)
∵PE∥AC,∴∠2=∠1.
EM MP
又∵∠PME=∠AOC=90°,∴△EMP∽△AOC,∴ = ,
OA OC1 1
EM - m2+ m+4 1 1
∴ = 3 3 ,即EM=- m2+ m+3.
3 4 4
4
1 3
∴BE=EM+MB=- m2- m+7.(10分)
4 4
BE BF
∵PE∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴ = ,
AB BC
1 3
- m2- m+7 BF
∴ 4 4 = ,
4√2
7
√2 3√2
即BF=- m2- m+4√2.(11分)
7 7
√2 4√2 √2 4√2
∴FQ=BF-BQ=- m2+ m=- (m-2)2+ .(12分)
7 7 7 7
√2 4√2
∵- <0,∴当m=2时,FQ有最大值,为 .(13分)
7 7
