2018年长沙市初中学业水平考试试卷
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1.-2的相反数是( )
1 1
A.-2 B.- C.2 D.
2 2
2.据统计,2017年长沙市地区生产总值约为10 200亿元,经济总量迈入“万亿俱乐部”,数据10 200用科学记数法表示为( )
A.0.102×105 B.10.2×103 C.1.02×104 D.1.02×105
3.下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5 B.3 -2 =1
√2 √2
C.(x2)3=x5 D.m5÷m3=m2
4.下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.4 cm,5 cm,9 cm B.8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm D.6 cm,7 cm,14 cm
5.下列四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
{x+2>0,
6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
2x-4≤0
7.将下面的平面图形绕轴l旋转一周,可以得到的立体图形是( )
8.下列说法正确的是( )
A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次,一定有5次正面向上
B.天气预报说“明天的降水概率为40%”,表示明天有40%的时间都在降雨
C.“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件
D.“a是实数,|a|≥0”是不可能事件
9.估计√10+1的值( )
A.在2和3之间B.在3和4之间
C.在4和5之间D.在5和6之间10.小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.下图反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是( )
A.小明吃早餐用了25 min
B.小明读报用了30 min
C.食堂到图书馆的距离为0.8 km
D.小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min
11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中
的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
12.若对于任意非零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P(x -3, -16),则符合条件的点P( )
0 x2
0
A.有且只有1个 B.有且只有2个
C.至少有3个 D.有无穷多个
第Ⅱ卷(非选择题,共84分)
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)
m 1
13.化简: - = .
m-1 m-1
14.某校九年级准备开展春季研学活动,对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查,把调查结果制成如下扇形统计图,则“世界之窗”对应扇形的圆心角为 度.
15.在平面直角坐标系中,将点A(-2,3)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A'的坐标是 .
16.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷得面朝上的点数为偶数的概率是 .
17.已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为 .
18.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=20°,BC是☉O的切线,B为切点,OD的延长线交BC于点C,则∠OCB= 度.
三、解答题(本大题共8个小题,第19、20题每小题6分,第21、22题每小题8分,第23、24题每小题9分,第25、26题每小题10分,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算:(-1)2 018-√8+(π-3)0+4cos 45°.1
20.先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中a=2,b=- .
2
21.为了了解居民的环保意识,社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动,并用得到的数据绘制了如下条形统计图(得分为整数,满分为10分,最低分为6分).
请根据图中信息,解答下列问题:
(1)本次调查一共抽取了 名居民;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动,得10分者设为“一等奖”.请你根据调查结果,帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品.
22.为加快城乡对接,建设全域美丽乡村,某地区对A,B两地间的公路进行改建.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶,现开通隧道后,汽车可直接沿直线AB行驶.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.
(1)开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走多少千米?
(2)开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走多少千米?
(结果精确到0.1千米)(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73)23.随着中国传统节日“端午节”的临近,东方红商场决定开展“欢度端午,回馈顾客”的让利促销活动,对部分品牌粽子进行打折销售,其中甲品牌粽子打八折,乙品牌粽子打七五折.已知打折前,买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元;打折后,买
50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5 200元.
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元?
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒,乙品牌粽子100盒.问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱?
24.如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,BC=8,AD=3.
(1)求CE的长;
(2)求证:△ABC为等腰三角形;
(3)求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.m
25.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y= (m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点.点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
x
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
26.我们不妨约定:对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.
(1)①在“平行四边形,矩形,菱形,正方形”中,一定是“十字形”的有 ;
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形 “十字形”;(填“是”或“不是”)
(2)如图1,A,B,C,D是半径为1的☉O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围;
(3)如图2,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,-ac).记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB,△COD,△AOD,△BOC的面积分别为
S,S ,S ,S .求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式:
1 2 3 4
① = + ;② = + ;③“十字形”ABCD的周长为12 .
√S √S √S √S √S √S √10
1 2 3 4
2018年长沙市初中学业水平考试试卷
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C C D B A C D C C B A B
1.C 一个数的相反数就是在这个数前面添一个“-”.-2的相反数是2,故选C.
2.C 科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数的绝对值大于1时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.将数据10 200用科学记
数法表示为1.02×104,故选C.
3.D A.a2与a3不是同类项,不能合并,错误;
B.3√2-2√2=√2,错误;
C.(x2)3=x6,错误;
D.m5÷m3=m2,正确.故选D.
4.B 根据三角形的三边关系来进行判断.
A.4+5=9,不能构成三角形,故A错误;
B.8+8>15,8-8<15,能构成三角形,故B正确;
C.5+5=10,不能构成三角形,故C错误;
D.6+7<14,不能构成三角形,故D错误.故选B.
5.A 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可.
A.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意;
B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
C.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故本选项不符合题意;
D.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不符合题意.
故选A.
6.C 解不等式x+2>0得,x>-2,
解不等式2x-4≤0得,x≤2,
故此不等式组的解集为-2<x≤2.故选C.
7.D 面动成体.直角梯形绕高所在直线旋转所得的图形是圆台,故D正确,故选D.
8.C 抛一枚硬币10次,可能有5次正面向上,但不一定,故A错误;
“明天的降水概率为40%”是指下雨的可能性是40%,而不是时间,故B错误;
“篮球队员在罚球线上投篮一次,投中”为随机事件,故C正确;
“a是实数,|a|≥0”是必然事件,故D错误.故选C.
9.C ∵32=9,42=16,∴3<√10<4,∴√10+1在4和5之间.故选C.
10.B A.25-8=17(min),小明吃早餐用了17 min,故A错误;
B.58-28=30(min),小明读报用了30 min,故B正确;
C.0.8-0.6=0.2(km),食堂距离图书馆0.2 km,故C错误;
D.图书馆离小明家0.8 km,0.8÷(68-58)=0.08,则小明从图书馆回家的平均速度是0.08 km/min,故D错误.故选B.
1
11.A ∵52+122=132,∴该沙田的形状为直角三角形,两直角边长分别为5里和12里,又5里=2 500米,12里=6 000米,则该沙田的面积为 ×2 500×6 000=7 500 000(平方米)=7.5(平方千米).故选A.
2
12.B y=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),点P(x -3, -16)不在其图象上,即P的坐标不满足题中所给抛物线的解析式,亦即x=x-3时,总有y≠ -16,
0 x2 0 x2
0 0
亦即a(x -1)(x -4)≠ -16=(x -4)(x +4)对任意非零实数a总成立.
0 0 x2 0 0
0
显然x-4≠0,否则当x-4=0时,
0 0
a(x -1)(x -4)= -16对任意非零实数a总成立.
0 0 x2
0
所以先约去(x-4),得到a(x -1)≠x+4对任意非零实数a总成立.
0 0 0
当x=-4时,a(x-1)≠x+4对任意非零实数a总成立,此时点P的坐标为(-7,0);
0 0 0
当x=1时,a(x-1)≠x+4对任意非零实数a总成立,此时点P的坐标为(-2,-15);
0 0 0
x +4
当x
0
≠1,-4时,只要取a=
0
,就不满足a(x
0
-1)(x
0
-4)≠
x2
-16对任意非零实数a总成立,即此时点P(x
0
-3,
x2
-16)必定在给定的抛物线上,不合题意.
x -1 0 0
0
经检验,点P(-7,0)与点P(-2,-15)的坐标均不满足给定的抛物线的解析式,所以这两个点都不在抛物线y=ax2+ax-2a上,故符合条件的点P有且只有2个.
1 2
二、填空题
13. 答案 1
m 1 m-1
解析 - = =1.
m-1 m-1 m-1
14. 答案 90
解析 360°×(100%-10%-30%-20%-15%)=360°×25%=90°.
15. 答案 (1,1)
解析 将点A(-2,3)向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,那么平移后对应的点A'的坐标是(-2+3,3-2),即(1,1).1
16. 答案
2
3 1
解析 根据题意可得,掷一次骰子,向上一面的点数有6种情况,其中有3种为向上一面的点数为偶数,故其概率是 = .
6 2
17. 答案 2
解析 设方程的另一个根为t,∵关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,∴1+t=3,解得t=2.故方程的另一个根为2.
18. 答案 50
解析 由题意知∠BOC=2∠A=40°,∵直线BC与☉O相切,∴∠OBC=90°,∴在△OBC中,∠OCB=180°-90°-40°=50°.
三、解答题
√2
19. 解析 原式=1-2√2+1+4× =2.(6分)
2
20. 解析 原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab
=a2-ab.(4分)
当a=2,b=-1时,原式=22-2×( 1)=5.(6分)
-
2 2
21. 解析 (1)50.(3分)
1 1
(2)平均数为 ×(6×4+7×10+8×15+9×11+10×10)= ×413=8.26(分);
50 50
众数为8分;中位数为8分.(6分)
10
(3)500× =100(份).(7分)
50
答:估计需准备100份“一等奖”奖品.(8分)
22. 解析 如图,过点C作CD⊥AB于点D.
(1)在Rt△BCD中,∠CBD=30°,BC=80,
1
∴CD=BC·sin 30°=80× =40.
2
在Rt△ACD中,∠CAD=45°,CD=40,
CD
∴AC= =40√2≈40×1.41=56.4.
sin45°
∴AC+BC=56.4+80=136.4(千米).
故开通隧道前,汽车从A地到B地大约要走136.4千米.(4分)
(2)在Rt△ACD中,∠CAD=45°,CD=40,
∴AD=CD=40.
在Rt△BCD中,∠CBD=30°,BC=80,
√3
∴BD=BC·cos 30°=80× =40√3≈40×1.73=69.2.
2
∴AB=AD+DB=40+69.2=109.2,
136.4-109.2=27.2(千米).
故开通隧道后,汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米.(8分)
23. 解析 (1)设打折前,甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元、y元,
{ 6x+3 y=660, {x=70,
根据题意,得 解方程组,得
50×0.8x+40×0.75 y=5 200. y=80.
故打折前,甲品牌粽子每盒70元,乙品牌粽子每盒80元.(5分)
(2)打折后,甲品牌粽子每盒为70×0.8=56元,
乙品牌粽子每盒为80×0.75=60元,
∴80×(70-56)+100×(80-60)=1 120+2 000=3 120(元).
故打折后,购买这批粽子比不打折节省了3 120元.(9分)BD 1
24. 解析 (1)∵AD是边BC上的中线,∴ = ,
BC 2
∵CE∥AD,∴△ADB∽△ECB,
AD AB BD 1
∴ = = = .
EC EB BC 2
∵AD=3,∴CE=2AD=6.(2分)
(2)证明:证法一:∵CE∥AD,
∴∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠AEC.
又∵∠BAD=∠CAD,
∴∠ACE=∠AEC,∴AC=AE.
又AD是△BCE的中位线,
∴AB=AE,
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形.
证法二:如图,延长AD到点F,使DF=AD,连接FC.
在△ABD和△FCD中,
{
AD=FD,
∠ADB=∠FDC,∴△ABD≌△FCD,
BD=CD,
∴AB=FC,∠BAD=∠CFD.
又∠BAD=∠CAD,∴∠CAD=∠CFD,∴AC=FC,
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.(5分)
(3)由(2)可知AD既是边BC的垂直平分线,又是∠BAC的平分线,所以△ABC的外心P与内心Q均在直线AD上.
设△ABC的外接圆半径为R,内切圆半径为r.
1
在△ABD中,BD= BC=4,AD=3,AD⊥BC,∴AB=5.
2
25
在Rt△BDP中,有R2=42+|R-3|2,解得R= >3,
6
∴点P在△ABC的外部,如图.
25 7
∴PD=R-AD= -3= .
6 6
1 1 4
又∵S = ×8×3= ×(5+5+8)r,∴r=QD= ,
△ABC
2 2 3
7 4 5
∴PQ=PD+QD= + = .
6 3 2
5
故P,Q两点之间的距离为 .(9分)
2
25. 解析 (1)设直线PQ的解析式为y=kx+b(k≠0).
{mk+b=1, { k=-1,
依题意可得 解得
k+b=m, b=m+1.
故直线PQ的解析式为y=-x+m+1,
∴C(m+1,0),D(0,m+1),∴△OCD是等腰直角三角形,
∴∠OCD=45°.(3分)(2)解法一:当m=3,1<x<3时,P(3,1),C(4,0),M( 3),
x,
x
根据题图可得,
OP= √10 ,OM=√ x2+ 9 ,PM=√ (x-3)2+ (3 -1 ) 2,OC=4,CP= √2 .
x2 x
OP OM PM
若△OPM∽△OCP,则有 = = .
OC OP CP
√ 9
由√10= x2+ 化简得x4-25x2+9=0,
x2
4 4
√10
9
解得x2=4或x2= ,
4
3
∵1<x<3,∴x=2或x= .
2
当x=2时,PM= √ (2-3)2+ (3 -1 ) 2 =√10=OP.
2
CP 4 OC
√2
√(3 -3 ) 2 +( 3 -1) 2
当x= 3 时, PM = 2 3 = √26 ≠ OP ,所以舍去x= 3 .
2 CP 2 4 OC 2
√2
故点M的坐标为( 3).(6分)
2,
2
解法二:当m=3,1<x<3时,P(3,1),Q(1,3),C(4,0),M( 3),则OP= ,OC=4,
x, √10
x
1
易得直线OP的解析式为y= x.
3
若△OPM∽△OCP,则有 S △OPM =(OP) 2 =5.
S OC 8
△OCP
5
∵S =2,∴S = .
△OCP △OPM
4
又S
△OPM
=1×3·(3
-
x),∴3(3
-
x)=5,
2 x 3 2 x 3 4
9
解得x=2,x=- (不合题意,舍去).
1 2
2
OP OM PM
当x=2时,有 = = 成立.
OC OP CP
故点M的坐标为( 3).(6分)
2,
2(3)不能.理由如下:由题意可得,m=5时,M( 5),
x,
x
1
设四边形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积为S.易求直线OP的解析式为y= x,直线OQ的解析式为y=5x.
5
以下分三种情况讨论:
①当0<x≤1时,如图,S=1x( x)=12x2≤12,
5x-
2 5 5 5
此时不可能有S=4.1;
②当x≥5时,S=1·5·(25 1)=60≤12,此时也不可能有S=4.1;
-
2 x x x x2 5
③解法一:当1<x<5时,
S=5-1x·x-1·5·1=5-x2 - 5 =4-( x √10) 2 ≤4.
-
2 5 2 x x 10 2x2 √10 2x
此时同样不可能有S=4.1.
1 x 1 5 1 x2 5 x2 5
解法二:当1<x<5时,S=5- x· - · · =5- - ,令S=5- - =4.1,化简得,x4-9x2+25=0.
2 5 2 x x 10 2x2 10 2x2
令x2=t,得t2-9t+25=0.
由于Δ=81-100=-19<0,因此该方程无解.
所以此时同样不可能有S=4.1.
综上所述,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积不可能等于4.1.(10分)
26. 解析 (1)①菱形,正方形;②不是.(3分)
(2)如图,由题意可得∠ADB+∠CDB+∠ABD+∠CBD=180°,
又∵∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD,
∴∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB=90°,又∵∠ADB=∠ACB,
∴∠ACB+∠CBD=90°,∴∠CEB=90°,
∴AC⊥BD,即四边形ABCD为“十字形”.
过圆心O分别作AC,BD的垂线,垂足依次为G,H.
由垂径定理和勾股定理可得:
1
{ AC2+OG2=1,
4
∴OE2=2-1(AC2+BD2).
1
BD2+OH2=1,
4
4
OE2=OG2+OH2,1 1
∵6≤AC2+BD2≤7,∴ ≤OE2≤ ,
4 2
1 √2
∴ ≤OE≤ .(6分)
2 2
(3)由题图可得: S
4
=BO= S
1
,所以S
3
S
4
=S
1
S
2
.
S DO S
2 3
将 = + 两边平方可得,S=S +S +S +S =S +S +2 .
√S √S √S 1 2 3 4 1 2 √S S
1 2 1 2
所以S+S =2 =2 ,即( - )2=0,则S=S .
3 4 √S S √S S √S √S 3 4
1 2 3 4 3 4
同理,S =S ,∴S +S =S +S ,即S =S .
1 2 1 4 2 3 △ABC △ADC
又∵AC⊥BD,∴OB=OD.同理可证OA=OC.
∴“十字形”ABCD是菱形.
∵B(0,c),D(0,-ac),∴-c=-ac.
又∵c<0,∴a=1,∴BD=-2c,
∵OA=OC,∴点B即为抛物线的顶点,同时又在y轴上,
∴b=0,∴抛物线的解析式为y=x2+c.
令y=0,得x=±√-c,∴A(-√-c,0),C(√-c,0).
∵“十字形”ABCD的周长为12√10,
∴4× =12 ,∴c2-c-90=0.
√c2-c √10
解得c=-9,c =10(不合题意,舍去).
1 2
∴该抛物线的解析式为y=x2-9.(10分)
