2018年福建省初中学生毕业和高中阶段学校招生考试(A卷)
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在实数|-3|,-2,0,π中,最小的数是( )
A.|-3| B.-2 C.0 D.π
2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
A.圆柱 B.三棱柱
C.长方体 D.四棱锥
3.下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是( )
A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5
4.一个n边形的内角和为360°,则n等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
6.投掷两枚质地均匀的骰子,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.则下列事件为随机事件的是( )
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1
B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
C.两枚骰子向上一面的点数之和大于12
D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12
7.已知m=√4+√3,则以下对m的估算正确的是( )
A.2<m<3 B.3<m<4
C.4<m<5 D.5<m<6
8.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿,绳索比竿长5尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺.设绳
索长x尺,竿长y尺,则符合题意的方程组是( )
{
x= y+5
{
x= y-5
A. B. C.{ x= y+5 D.{ x= y-5
1 1
x= y-5 x= y+5 2x= y-5 2x= y+5
2 2
9.如图,AB是☉O的直径,BC与☉O相切于点B,AC交☉O于点D.若∠ACB=50°,则∠BOD等于( )A.40° B.50° C.60° D.80°
10.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,下列判断正确的是( )
A.1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
B.0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根
C.1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
D.1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
0
11.计算:(√2) -1= .
2
12.某8种食品所含的热量值分别为:120,134,120,119,126,120,118,124,则这组数据的众数为 .
13.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中点,则CD= .
{3x+1>x+3,
14.不等式组 的解集为 .
x-2>0
15.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=√2,则CD= .
3
16.如图,直线y=x+m与双曲线y= 相交于A,B两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为 .
x
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分8分)
{ x+ y=1,
解方程组:
4x+ y=10.18.(本小题满分8分)
如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.
19.(本小题满分8分)
先化简,再求值:(2m+1 )÷m2-1,其中m= +1.
-1 √3
m m
20.(本小题满分8分)
求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.
要求:①根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;
②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程.21.(本小题满分8分)
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到,△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,且直线EF过点D.
(1)求∠BDF的大小;
(2)求CG的长.
22.(本小题满分10分)
甲、乙两家快递公司揽件员(揽收快件的员工)的日工资方案如下:
甲公司为“基本工资+揽件提成”,其中基本工资为70元/日,每揽收一件提成2元;
乙公司无基本工资,仅以揽件提成计算工资.若当日揽件数不超过40,每件提成4元;若当日揽件数超过40,超过部分每件多提成2元.
下图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图:
(1)现从今年四月份的30天中随机抽取1天,求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40(不含40)的概率;
(2)根据以上信息,以今年四月份的数据为依据,并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数,解决以下问题:
①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数;
②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员,如果仅从工资收入的角度考虑,请利用所学的统计知识帮他选择,并说明理由.23.(本小题满分10分)
如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
24.(本小题满分12分)
已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,AC是☉O的直径,DE⊥AB,垂足为E.
(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图1.求证:PC=PB;
(2)过点B作BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,且点O和点A都在DE的左侧,如图2.若AB=√3,DH=1,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
图1 图2
25.(本小题满分14分)
已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).
(1)若点(-√2,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;
(2)若该抛物线上任意不同两点M(x ,y),N(x ,y)都满足:当x<x<0时,(x-x)(y-y)>0;当0<x<x 时,(x-x)(y-y)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且△ABC有一个内角为60°.
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
①求抛物线的解析式;
②若点P与点O关于点A对称,且O,M,N三点共线,求证:PA平分∠MPN.2018年福建省初中学生毕业和高中阶段学校招生考试(A卷)
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C C B A D B A D D
1.B |-3|=3,∵-2<0<3<π,∴-2最小,故选B.
2.C 由主视图是矩形可知选项D不符合题意,由俯视图是矩形可知选项A、B不符合题意,故选C.
3.C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、B、D均不符合,故选C.
4.B 根据n边形的内角和公式,得(n-2)×180°=360°,可求得n=4.
5.A 由等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,可得∠ACB=60°,且点D是BC的中点,所以AD垂直平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到∠ECB=∠EBC=45°,故∠ACE=∠ACB-∠ECB=60°-45°=15°.
6.D 投掷两枚质地均匀的骰子,向上一面的点数之和一定大于1,故选项A是必然事件,选项B是不可能事件;一枚骰子向上一面的点数最大是6,因此点数之和最大为12,选项C为不可能事件,故选D.
7.B 由√4=2,1<√3<2可得 3<m<4.
{
x= y+5,
8.A 绳索长x尺,竿长y尺,由绳索比竿长5尺可得x=y+5;由绳索对半折后再去量竿,就比竿短5尺可得1x=y-5,由此可得方程组 故选A.
1
2 x= y-5.
2
9.D 由BC与☉O相切于点B,可得∠ABC=90°,由三角形内角和为180° 及∠ACB=50°可得∠BAC=40°,由OA=OD得∠ODA=∠BAC=40°,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOD=∠ODA+∠OAD=80°.
10.D 由Δ=(2b)2-4(a+1)2=0得b=±(a+1),
因为a+1≠0,所以b≠0.
①当b=-(a+1)时,x=1是方程x2+bx+a=0的根;
②a+1≠0,a可以取0,故x=0可能是方程x2+bx+a=0的根;
③当b=a+1时,x=-1是方程x2+bx+a=0的根.
因为b=-(a+1)和b=a+1不能同时成立,所以x=1和x=-1不能同时为方程x2+bx+a=0的根,故选D.
二、填空题
11. 答案 0
0
解析 任何非零数的零次幂都为1,所以(√2) -1=1-1=0.
2
12. 答案 120
解析 这组数中,120出现了3次,出现的次数最多,所以众数是120.
13. 答案 3
1
解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD= AB=3.
2
14. 答案 x>2
{3x+1>x+3,①
解析 由不等式①可得x>1,由不等式②可得x>2,故不等式组的解集为x>2.
x-2>0,②
15. 答案 √3-1
解析 由题意知△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=√2,由勾股定理得BC=AD=2.过A作AF⊥BC于F,则FC=AF=1,在Rt△AFD中,由勾股定理得FD=√3,故CD=FD-FC=√3-1.
16. 答案 6
3
解析 令 =x+m,整理得x2+mx-3=0,
x则x =-m+√m2+12,x =-m-√m2+12,
A B
2 2
∵BC∥x轴,AC∥y轴,且直线AB为y=x+m,
∴AC=BC=x -x = ,
A B √m2+12
1
∴S = (m2+12)≥6,当且仅当m=0时取“=”.
△ABC
2
故△ABC面积的最小值为6.
三、解答题
{ x+ y=1,①
17. 解析
4x+ y=10,②
②-①,得3x=9,解得x=3.
把x=3代入①,得3+y=1,解得y=-2.
{ x=3,
所以原方程组的解为
y=-2.
18. 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF.
又∵∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF,∴OE=OF.
2m+1-m m m+1 m 1 1 √3
19. 解析 原式= · = · = .当m=√3+1时,原式= = .
m m2-1 m (m+1)(m-1) m-1 √3+1-1 3
20. 解析 ①如图,
△A'B'C'即为所求作的三角形.
A'B' B'C' A'C' C'D'
②已知:如图,△A'B'C'∽△ABC, = = =k,AD=DB,A'D'=D'B'.求证: =k.
AB BC AC CD
1 1
证明:∵AD=DB,A'D'=D'B',∴AD= AB,A'D'= A'B',
2 2
1
A'B'
A'D' 2 A'B' A'B' A'C' A'D' A'C'
∴ = = ,又 = ,∴ = ,
AD 1 AB AB AC AD AC
AB
2
∵△A'B'C'∽△ABC,∴∠A'=∠A,
C'D' A'C'
∴△C'A'D'∽△CAD,∴ = =k.
CD AC
21. 解析 (1)∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到,∴∠DAB=90°,AD=AB=10.∴∠ABD=45°.
∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AB∥EF,
∴∠BDF=∠ABD=45°.
(2)由平移的性质可得AE∥CG,AB∥EF,且AE=CG.
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°,
∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°,
AD AE 25 25
∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,∴ = ,∵AC=8,AB=AD=10,∴AE= ,∴CG=AE= .
AC AB 2 2
22. 解析 (1)因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过40的共有4天,4 2
所以所求的概率P= = .
30 15
(2)①设甲公司各揽件员的日平均揽件数为x,
38×13+39×9+40×4+41×3+42×1
则x= =39.
30
即甲公司各揽件员的日平均揽件数为39.
②由①及甲公司工资方案可知,
甲公司揽件员的日平均工资为70+39×2=148(元).
[38×7+39×7+40×(8+5+3)]×4+(1×5+2×3)×6
由条形统计图及乙公司工资方案可知,乙公司揽件员的日平均工资为
30
=[ (-2)×7+(-1)×7 ]×4+1×5+2×3×6=159.4(元).
40+
30 30
因为159.4>148,所以仅从工资收入的角度考虑,小明应到乙公司应聘.
100-x
23. 解析 (1)设AD的长为x米,则AB的长为 米.
2
x(100-x)
依题意,得 =450.解得x=10,x=90.
1 2
2
因为a=20,x≤a,所以x=90不合题意,舍去.
故所利用旧墙AD的长为10米.
(2)设AD的长为x米,0<x≤a,则矩形菜园ABCD的面积
x(100-x) 1 1
S= =- (x2-100x)=- (x-50)2+1 250.
2 2 2
①若a≥50,则当x=50时,S最大,S =1 250.
最大
②若0<a<50,则当0<x≤a时,S随x的增大而增大.
1
故当x=a时,S最大,S =50a- a2.
最大 2
综上,当a≥50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是1 250平方米;
当0<a<50时,矩形菜园ABCD面积的最大值是(
50a-
1 a2)平方米.
2
24. 解析 (1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.
∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC.
∵四边形BCDF是圆内接四边形,
∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,
∴∠F=∠PCB,∴∠PBC=∠PCB,∴PC=PB.
(2)连接OD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,
又∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC.
又由(1)知BC∥DE,∴四边形DHBC为平行四边形,∴BC=DH=1.
AB
在Rt△ABC中,AB=√3,tan∠ACB= =√3,
BC
∴∠ACB=60°,∠CAB=30°.
1
从而BC= AC=OD,∴DH=OD.
2
在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,
∴∠ODH=20°.
设DE交AC于N.∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°.∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,
∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,
∴∠CBD=∠OAD=20°.
∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.
25. 解析 (1)因为抛物线过点A(0,2),所以c=2.
又因为点(-√2,0)也在抛物线上,所以a(-√2)2+b(-√2)+c=0.即2a-√2b+2=0(a≠0).
(2)①x <x<0时,x-x<0,
1 2 1 2
由(x-x)(y-y)>0,得y-y<0,
1 2 1 2 1 2
即当x<0时,y随x的增大而增大;
同理可得,当x>0时,y随x的增大而减小.
所以抛物线的对称轴为y轴且开口向下,则b=0.
因为以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,所以△ABC是等腰三角形,又因为△ABC有一个内角为60°,故△ABC为等边三角形.
设线段BC与y轴的交点为D,则BD=CD,且∠OCD=30°,
又因为OC=OA=2,所以CD=OC·cos 30°=√3,OD=OC·sin 30°=1.
不妨设C在y轴右侧,则点C坐标为(√3,-1).
因为点C在抛物线上,且c=2,b=0,所以3a+2=-1,解得a=-1.
所以所求抛物线的解析式为y=-x2+2.
②证明:设点M的坐标为(x,- +2),点N的坐标为(x,- +2).
1 x2 2 x2
1 2
直线OM的解析式为y=kx,
1
-x2+2 -x2+2
因为O,M,N三点共线,所以x
1
≠0,x
2
≠0,且
1
=
2
,
x x
1 2
即-x
1
+ 2 =-x
2
+ 2 ,化为x
1
-x
2
=- 2(x
1
-x
2
) ,
x x x x
1 2 1 2
2
由x≠x,得xx=-2,即x=- ,
1 2 1 2 2 x
1
2 4
所以点N的坐标为(- ,- +2 ),
x x2
1 1
设点N关于y轴的对称点为点N',
2 4
则点N'的坐标为( ,- +2 ).
x x2
1 1
因为点P与点O关于点A对称,
所以OP=2OA=4,即点P坐标为(0,4).
设直线PM的解析式为y=kx+4,
2
因为点M的坐标为(x,- +2),
1 x2
1
x2+2
所以-
x2
+2=k
2
x
1
+4,则k
2
=-
1
,
1 x
1
x2+2
即直线PM的解析式为y=-
1
x+4.
x
1x2+2 2 -2(x2+2)+4x2 4
因为- 1 · +4= 1 1=- +2,
x x x2 x2
1 1 1 1
即点N'在直线PM上,所以PA平分∠MPN.
