2017年福建省初中毕业和高中阶段学校招生考试
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.3的相反数是( )
1 1
A.-3 B.- C. D.3
3 3
2.如图,由四个正方体组成的几何体的左视图是( )
3.用科学记数法表示136 000,其结果是( )
A.0.136×106 B.1.36×105
C.136×103 D.1.36×106
4.化简(2x)2的结果是( )
A.x4 B.2x2 C.4x2 D.4x
5.下列关于图形对称性的命题,正确的是( )
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.正三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形
C.线段是轴对称图形,但不是中心对称图形
D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形
{x-2≤0,
6.不等式组 的解集是( )
x+3>0
A.-3<x≤2 B.-3≤x<2
C.x≥2 D.x<-3
7.某校举行“汉字听写比赛”,5个班级代表队的正确答题数如图.这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是 ( )
A.10,15B.13,15
C.13,20D.15,15
8.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是( )
A.∠ADC B.∠ABD C.∠BAC D.∠BAD
9.若直线y=kx+k+1经过点(m,n+3)和(m+1,2n-1),且0<k<2,则n的值可以是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.如图,网格纸上正方形小格的边长为1.图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转,分别得到线段A'B'和点P',则点P'所在的单位正方形区域是( )A.1区 B.2区 C.3区 D.4区
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
11.计算:|-2|-30= .
12.如图,△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于 .
1
13.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球,2个黄球,1个红球.现添加同种型号的1个球,使得从中随机抽取1个球,这三种颜色的球被抽到的概率都是 ,那么添加的球是 .
3
14.已知A,B,C是数轴上的三个点,且C在B的右侧.点A,B表示的数分别是1,3,如图所示.若BC=2AB,则点C表示的数是 .
15.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于 度.
1
16.已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y= 的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为 .
x
三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分8分)
( 1) a
先化简,再求值: 1- · ,其中a=√2-1.
a a2-1
18.(本小题满分8分)
如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:∠A=∠D.19.(本小题满分8分)
如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ.
(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
20.(本小题满分8分)
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何.”其大意是:“有若干只鸡和兔关在同一笼子里,它们一共有35个头,94条腿.问笼中的鸡和兔各有多少只?”试用列方程(组)解应用题的方
法求出问题的解.21.(本小题满分8分)
如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.
(Ⅰ)若AB=4,求 ⏜ 的长;
CD
(Ⅱ)若 ⏜ = ⏜ ,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.
BC AD
22.(本小题满分10分)
小明在某次作业中得到如下结果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.994 5,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.001 8,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.987 3,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.000 0,
2 2
sin245°+sin245°=(√2) +(√2) =1.
2 2
据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(Ⅰ)当α=30°时,验证sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;
(Ⅱ)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.23.(本小题满分10分)
自2016年国庆后,许多高校均投放了使用手机就可随取随用的共享单车.某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率,准备对收费作如下调整:一天中,同一个人第一次使用的车费按0.5元收取,每增加一次,当次车费就比上次车费减少0.1元,
第6次开始,当次用车免费.具体收费标准如下:
使用次数 0 1 2 3 4 5(含5次以上)
累计车费 0 0.5 0.9 a b 1.5
同时,就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车的意愿,得到如下数据:
使用次数 0 1 2 3 4 5(含5次以上)
人数 5 15 10 30 25 15
(Ⅰ)写出a,b的值;
(Ⅱ)已知该校有5 000名师生,且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5 800元.试估计:收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利,说明理由.
24.(本小题满分12分)
如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形.
(Ⅰ)若△PCD是等腰三角形,求AP的长;
(Ⅱ)若AP=√2,求CF的长.25.(本小题满分14分)
已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),且a<b.
(Ⅰ)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);
(Ⅱ)说明直线与抛物线有两个交点;
(Ⅲ)直线与抛物线的另一个交点记为N.
1
(i)若-1≤a≤- ,求线段MN长度的取值范围;
2
(ii)求△QMN面积的最小值.
2017年福建省初中毕业和高中阶段学校招生考试
一、选择题
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B B C A A D D C D
1.A 只有符号不同的两个数互为相反数,所以3的相反数是-3,故选A.
2.B 从左面看到的是上下叠放在一起的两个小正方形,故选B.
3.B 136 000=1.36×105,故选B.
4.C 根据积的乘方法则可知,(2x)2=22·x2=4x2,故选C.
5.A 圆是轴对称图形,每一条经过圆心的直线都是它的对称轴,圆又是中心对称图形,对称中心是圆心,故选A.
{x-2≤0,①
6.A
x+3>0,②
解①得x≤2,解②得x>-3,
所以不等式组的解集为-3<x≤2,故选A.
7.D 将5个正确答题数从小到大排列为10,13,15,15,20.由此可得中位数为15,众数为15,故选D.
8.D ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,
易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+∠ACD=90°,故选D.
{ n+3=km+k+1,①
9.C 由已知可得
2n-1=k(m+1)+k+1,②
②-①,得k=n-4,
∵0<k<2,∴0<n-4<2,∴4<n<6.
只有C选项符合条件,故选C.
10.D 连接AA',BB',分别作AA',BB'的垂直平分线,两条直线相交于点O,点O就是旋转中心,旋转角为90°,连接OP,OP绕点O逆时针旋转90°即可得到OP',可知点P'落在4区,故选D.
二、填空题
11. 答案 1
解析 |-2|-30=2-1=1.
12. 答案 6
解析 ∵D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线.
∴BC=2DE,∵DE=3,∴BC=6.
13. 答案 红球(或红色的)
1
解析 再添加1个球,则箱子中共有6个球.因为从中随机抽取1个球,三种颜色的球被抽到的概率都是 ,所以每种颜色的球都有2个,故添加的球是红球.
3
14. 答案 7
解析 ∵AB=3-1=2,BC=2AB,
∴BC=4,∵点C在点B的右侧,∴点C表示的数是3+4=7.
15. 答案 108
解析 如图,∵正五边形中每一个内角都是108°,
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°.
∴∠COD=36°.
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.15
16. 答案
2
解析 ∵点A在反比例函数y=1的图象上,且点A的横坐标是2,∴y=1,即点A的坐标为( 1).
2,
x 2 2
如图,∵双曲线y=1和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,∴点A、B关于直线y=x对称,B(1 ),同理,C( 1),D( 1 ).
,2 -2,- - ,-2
x 2 2 2
∴AB=√ ( 1) 2 (1 ) 2=3√2.
2- + -2
2 2 2
AD=√ ( 1) 2 (1 ) 2=5√2.
2+ + +2
2 2 2
15
∴S =AB·AD= .
矩形ABCD
2
三、解答题
a-1 a 1
17. 解析 原式= · = .
a (a+1)(a-1) a+1
1 √2
当a=√2-1时,原式= = .
√2-1+1 2
18. 证明 ∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
{AB=DE,
在△ABC和△DEF中, AC=DF,
BC=EF,
∴△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D.
19. 解析
如图,BQ是所求作的∠ABC的平分线,P,Q是所求作的点.
证明如下:
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∴∠BPD+∠PBD=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.
∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.
∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.
20. 解析 设鸡有x只,兔有y只.
{ x+ y=35, {x=23,
依题意,得 解得
2x+4 y=94, y=12.
答:鸡有23只,兔有12只.
21.解析 (Ⅰ)连接OC,OD.∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,
∴∠COD=90°.
1
∵AB=4,∴OC= AB=2.
2
90
⏜
∴ 的长= ×π×2=π.
CD
180
(Ⅱ)证明:∵ ⏜ = ⏜ ,∴∠BOC=∠AOD.
BC AD
180°-∠COD
∵∠COD=90°,∴∠AOD= =45°.
2
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,
180°-∠AOD
∴∠ODA= =67.5°.
2
∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.
1
∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP= ∠CAD=22.5°.∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°.
2
又∵OD是半径,∴PD是☉O的切线.
22. 解析 (Ⅰ)当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=sin230°+sin260°=(1) 2 +(√3) 2 =1+3=1.
2 2 4 4
所以,当α=30°时,sin2α+sin2(90°-α)=1成立.
(Ⅱ)小明的猜想成立.证明如下:
如图,△ABC中,∠C=90°,
设∠A=α,则∠B=90°-α.
sin2α+sin2(90°-α)=(BC) 2+(AC) 2=BC2+AC2 =AB2 =1.
AB AB AB2 AB2
23. 解析 (Ⅰ)a=1.2,b=1.4.
1
(Ⅱ)不能.根据用车意愿调查结果,可知抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为: (0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15)=1.1(元).
100
所以估计该校5 000名师生一天使用A品牌共享单车的总车费为:5 000×1.1=5 500(元).
因为5 500<5 800,所以收费调整后,此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利.
24. 解析 (Ⅰ)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,∠ADC=90°,
∴DC=AB=6,∴AC= =10.
√AD2+DC2
要使△PCD是等腰三角形,有如下三种情况:
①当CP=CD时,CP=6,∴AP=AC-CP=4.
②当PD=PC时,∠PDC=∠PCD,
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°,
∴∠PAD=∠PDA,∴PD=PA,
AC
∴PA=PC,∴AP= ,即AP=5.
2③当DP=DC时,过D作DQ⊥AC于Q,则PQ=CQ.
1 1
∵S = AD·DC= AC·DQ,
△ADC
2 2
AD·DC 24
∴DQ= = ,
AC 5
18
∴CQ=√DC2-DQ2= ,
5
36 14
∴PC=2CQ= ,∴AP=AC-PC= .
5 5
14
综上所述,若△PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP= .
5
(Ⅱ)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC.
∵四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形,
∴∠ADC=∠PDF=90°,
即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF,
∴∠ADP=∠CDF.
1
∵∠BCD=90°,OE=OD,∴OC= ED.
2
1
在矩形PEFD中,PF=DE,∴OC= PF.
2
1
∵OP=OF= PF,∴OC=OP=OF,
2
∴∠OCF=∠OFC,∠OCP=∠OPC,
又∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°,
∴2∠OCP+2∠OCF=180°,∴∠PCF=90°,即∠PCD+∠FCD=90°.
在Rt△ADC中,∠PCD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠FCD.
CF CD 3 3√2
∴△ADP∽△CDF,∴ = = .∵AP=√2,∴CF= .
AP AD 4 4
25. 解析 (Ⅰ)因为抛物线过点M(1,0),所以a+a+b=0,即b=-2a.
所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a( 1) 2 -9a,
x+
2 4
所以抛物线顶点Q的坐标为( 1 9a).
- ,-
2 4
(Ⅱ)因为直线y=2x+m经过点M(1,0),
所以0=2×1+m,解得m=-2.
把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,①
所以Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,
由(Ⅰ)知b=-2a,又a<b,所以a<0,b>0.
所以Δ>0,所以方程①有两个不相等的实数根,
故直线与抛物线有两个交点.
(Ⅲ)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,
得ax2+(a-2)x-2a+2=0,即x2+( 2)x-2+2=0,
1-
a a所以 [ x+ (1 - 1)] 2 =(1 - 3) 2 ,解得x 1 =1,x 2 = 2 -2,
2 a a 2 a
所以点N(2 4 ).
-2, -6
a a
(i)根据勾股定理得,MN2=[(2 -2 ) -1 ] 2 +(4 -6 ) 2 = 20 - 60 +45=20(1 - 3) 2 ,
a a a2 a a 2
1
因为-1≤a≤- ,
2
1 1 3
由反比例函数的性质知-2≤ ≤-1,所以 - <0,
a a 2
所以MN=2 (3 1)=3 -2√5,
√5 - √5
2 a a
所以5√5≤MN≤7√5.
1
(ii)作直线x=- 交直线y=2x-2于点E.
2
把x=-1代入y=2x-2得,y=-3,即E( 1 ).
- ,-3
2 2
又因为M(1,0),N(2 4 ),且由(Ⅱ)知a<0,
-2, -6
a a
所以△QMN的面积S=S
△QEN
+S
△QEM
=1|(2
-2
)
-1
|·|
-
9a
-(-3)
|=27-3-27a.
2 a 4 4 a 8
即27a2+(8S-54)a+24=0,②
因为关于a的方程②有实数根,
所以Δ=(8S-54)2-4×27×24≥0,即(8S-54)2≥(36√2)2,
27 3 27a 27
又因为a<0,所以S= - - > ,所以8S-54>0,
4 a 8 4
27 9√2
所以8S-54≥36√2,即S≥ + ,
4 2
27 9√2 2√2
当S= + 时,由方程②可得a=- 满足题意.
4 2 3
2√2 4√2 27 9√2
故当a=- ,b= 时,△QMN面积的最小值为 + .
3 3 4 2
