2017年兰州市初中学业水平考试
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是( )
x 3 x 2 x 2 x y
A. = B. = C. = D. =
y 2 3 y y 3 2 3
2.如图所示,该几何体的左视图是( )
3.如图,一个斜坡长130 m,坡顶离水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
5 12 5 13
A. B. C. D.
13 13 12 12
⏜ ⏜
4.如图,在☉O中,AB=BC,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
5.下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( )
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
6.如果一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,那么实数m的取值范围为( )
9 8 9 8
A.m> B.m> C.m= D.m=
8 9 8 9
7.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为( )
A.20 B.24 C.28 D.30
8.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC=( )A.5 B.4 C.3.5 D.3
9.将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为( )
A.y=3(x-3)2-3 B.y=3x2
C.y=3(x+3)2-3 D.y=3x2-6
10.
王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为( )
A.(80-x)(70-x)=3 000 B.80×70-4x2=3 000
C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000
11.
k k
如图,反比例函数y= (x<0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式 <x+4(x<0)的解集为( )
x x
A.x<-3 B.-3<x<-1
C.-1<x<0 D.x<-3或-1<x<0
12.
如图,正方形ABCD内接于半径为2的☉O,则图中阴影部分的面积为( )
A.π+1 B.π+2
C.π-1 D.π-2
13.
如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时
恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为( )
A.8.5米B.9米 C.9.5米D.10米
14.如图,在正方形ABCD和正方形DEFG中,点G在CD上,DE=2,将正方形DEFG绕D点顺时针旋转60°,得到正方形DE'F'G',此时点G'在AC上,连接CE',则CE'+CG'=( )
A. + B. +1C. + D. +
√2 √6 √3 √3 √2 √3 √6
15.
如图1,在矩形ABCD中,动点E从A点出发,沿AB→BC的方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E作FE⊥AE,交CD于F点.设点E运动的路程为x,FC=y,如图2所示表示的是y与x的函数关系的大致图象;当点E在BC上运动时,FC的最大长度是
2
,则矩形ABCD的面积是( )
5
23 25
A. B.5 C.6 D.
5 4
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
k
16.若反比例函数y= 的图象过点(-1,2),则k= .
x
OE 3 FG
17.如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O, = ,则 = .
OA 5 BC
18.如图,若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x=1对称,则Q点的坐标为 .
19.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是 (写出
所有正确的序号).
3
20.如图,在平面直角坐标系xOy中,▱ABCO的顶点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,2).动点P在直线y= x上运动,以点P为圆心,PB长为半径的☉P随点P运动,当☉P与▱ABCO的边相切时,P点的坐标为 .
2
三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21.(本小题满分10分,每题5分)
(1)计算:( -3)0+( 1) -2 -|-2|-2cos 60°;
√2 -
2
(2)解方程:2x2-4x-1=0.
22.(本小题满分6分)在数学课上,同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:
已知:直线l和l外一点P.
求作:直线l的垂线,使它经过点P.
作法:如图.
(1)在直线l上任取两点A,B;
(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q;
(3)作直线PQ.
所以直线PQ就是所要求作的垂线.
参考以上材料作图的方法,解决以下问题:
(1)以上材料作图的依据是: .
(2)已知:直线l和l外一点P.
求作:☉P,使它与直线l相切.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
23.(本小题满分7分)甘肃省省府兰州,又名金城.在金城,黄河母亲河通过自身文化的演绎,衍生和流传了独特的“金城八宝”美食,“金城八宝”中甜品类有:味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”;其
他类有:青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”.李华和王涛同时去品尝美食,李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种,王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、
浆水面”这四种美食中选择一种.(甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A、B、C、D;八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E、F、G、H)
(1)用画树状图或列表的方法表示李华和王涛同时选择美食的所有可能结果;(2)求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率.
k k
24.(本小题满分7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+3交y轴于点A,交反比例函数y= (x<0)的图象于点D,y= (x<0)的图象过矩形OABC的顶点B,矩形OABC的面积为4,连接OD.
x x
k
(1)求反比例函数y= 的表达式;
x
(2)求△AOD的面积.
25.(本小题满分8分)“兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前,是黄河上第一座真正意义上的桥梁,有“天下黄河第一桥”之美誉.它像一部史诗,记载着兰州古往今来历史的变迁,桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱梁.
小芸和小刚分别在桥面上的A,B两处,准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离,AB=20 m,小芸在A处测得∠CAB=36°,小刚在B处测得∠CBA=43°,求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离.(结果精确到0.1 m)(参考数据:sin
36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73;sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93)
26.(本小题满分10分)如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.(1)求证:△BDF是等腰三角形;
(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;
②若AB=6,AD=8,求FG的长.
27.(本小题满分10分)如图,△ABC内接于☉O,BC是☉O的直径,弦AF交BC于点E,延长BC到点D,连接OA,AD,使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为5,CE=2,求EF的长.
1
28.(本小题满分12分)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=- x-6交y轴于点C,点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
2
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标;
1
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为☉E上一动点,求 AM+CM的最小值.
2
2017年兰州市初中学业水平考试
答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A D C B C C D B A C B D A A B
一、选择题 x 3
1.A 在等式左右两边同时除以2y(y≠0),可得 = ,故选A.
y 22.D 在三视图中实际存在且被遮挡的线用虚线来表示,故选D. 50 5
3.C 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,故这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于 = ,故选C.
⏜ ⏜ 120 12
4.B 连接OC,∵∠CDB=25°,∴∠COB=50°,又AB=BC,
∴∠AOB=∠COB=50°,故选B.
5.C 由表格中的数据可以看出最接近于0的数是0.04,它对应的x的值是1.2,故方程x2+39x-5=0的一个近似根是1.2,故选C.
6.C 因为一元二次方程2x2+3x+m=0有两个相等的实数根,所9以b2-4ac=9-8m=0,解得m= ,故选C.
8
7.D 由频率估计概率,知摸到黄球的概率为30%,由1题意可知 ×100%=30%,解得n=30,故选D. 1
n
8.B 因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC= AC.已知∠ADB=30°,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC= AC=4,故选B.
2 2
9.A 直接根据二次函数图象“左加右减,上加下减”的平移规律进行解答即可.故选A.
10.C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题k意可得方程(80-2x)(70-2x)=3 000. k k
11.B 由题意知kA,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y= (x<0)的图象上,当x<-3时,反比例函数y= (x<0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3<x<-1时,反比例函数y= (x<0)的图象在一次函数y=x+4图象的下方;当-1<x<0时,
x x x
反比例函数y= (x<0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方,故选B.
x
12.D 连接AC,OD,
则AC=4,所以正方形ABCD的边长为2√2,所以正方形ABCD的面积为8,由题意可知,☉O的面积为4π,根据图形的对称性,知S =S -S =π-2,故选D.
阴影 扇形OAD OAD
13.A 由光线反射可知∠AGC=∠FGE,又∵∠FEG=∠ACG=90°,
△
∴△FEG∽△ACG,∴FE∶AC=EG∶CG,
∴1.6∶AC=3∶15,∴AC=8米.∵BC=0.5米,
∴AB=AC+BC=8.5米.
14.A 过点G'作G'M⊥DC于点M,过点E'作E'P⊥DC于点P.
由旋转的知识可得∠EDE'=60°,DE'=DE=2.
∵四边形DEFG、DE'F'G'是正方形,
∴∠G'DE'=∠EDG=90°,DG'=DE'=2.
∴∠E'DG=30°,∠MDG'=60°.
在Rt DG'M中,由DG'=2,∠MDG'=60°,可得G'M=√3,DM=1.
∵AC是正方形ABCD的对角线,
∴∠D△CG'=45°.
又∵G'M⊥DC,
∴△CMG'是等腰直角三角形,∴MG'=MC=√3.
∴CG'=√6,CD=DM+CM=1+√3.
在Rt DE'P中,由DE'=2,∠E'DG=30°,可得E'P=1,DP=√3.∴CP=CD-DP=1.
在Rt CE'P中,E'P=PC=1,由勾股定理可得CE'=√2.
∴CE△'+CG'=√2+√6,故选A.
5 5
15.B △由题图2知CF的最大长度为 ,∴AB= .
2 2
如图,当点E在BC上运动时,
∠CEF+∠CFE=90°,∠CEF+∠BEA=90°,
∴∠CFE=∠BEA.
又∵∠C=∠B=90°,
∴△CCFFE∽
CE
△BEA.
∴ BE = BA .2(*) x- 5 2 5
易知当点E运5 动到BC2的中点时3,CF取最大7值,此时CF= ,CE=BE=x- .
5 2
∴由(*)知 = .解得x= (舍),x = .
5 5 1 2 2 2
∴CE=B5E=x1-.∴BC=2.
由AB= ,BC=22可得2矩形ABCD的面积为5.
2
二、填空题
16. 答案 -2 k k
解析 ∵点3(-1,2)在反比例函数y=
x
的图象上,∴2=
-1
,解得k=-2.
17. 答案
5
解析 ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似,
∴△OOFEF∽ OE △O3ABF,GOOFGF ∽△ 3 OBC,
∴ = = , = = .
OB OA 5 BC OB 5
18. 答案 (-2,0) △ 4+m
解析 P,Q两点关于对称轴x=1对称,则P,Q两点到对称轴x=1的距离相等,设点Q的横坐标为m,则 =1,解得m=-2.∴Q点的坐标为(-2,0).
2
19. 答案 ①③④
解析 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,即①正确.
②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的一条边,所以当AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,即②错误.
③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由OB=OC,得对角线相等,即AC=BD,由OB⊥OC,得AC⊥BD,即平行四边形ABCD为正方形,即③正确.
④邻边相等的平行 (2四边
)
形
(
是菱形,对9角-线3√相5等
)
的菱形是正方形,即④正确.
20 解 . 析 答 案 设 P (0 ( ,0 x ) , , 3 3 x , ) 1 ,☉ , P 3 的 - 半 √5 径 , 为r,依 2 题3意知,BC⊥y轴,直线OP的解析式为y= 3 x,直线AB的解析式为y=- 2 x+2,可知OP⊥AB,∴OP⊥OC.分类讨论☉P与▱ABCO的边相切的情况:
2 2 3
(1)当☉P与BC相切时,∵动点P在直线y= x上运动,
2
∴点P与点O重合,此时P点的坐标为(0,0);
3 2 (2 )
(2)当☉P与OC相切时,OP=BP, OBP为等腰三角形,过点P作PE⊥y轴于点E,如图①,根据等腰三角形“三线合一”的性质可得,E为OB的中点,此时,P点的坐标为(x,1),将(x,1)代入y= x,得x= ,即P点的坐标为 ,1 ;
2 3 3
(3)当☉P与OA相切时,点P到点△B的距离与点P到x轴的距离相等,过点P作PF⊥x轴于点F,如图②,则PB=PF,即 √ (x-0)2+ (3 x-2 ) 2 = 3 x,解得x=3+√5(舍去)或x=3-√5,将x=3-√5代入y= 3 x,可得P点的坐标为 ( 3-√5, 9-3√5) ;
2 2 2 2(4)当☉P与AB相切时,设线段AB与直线OP的交点为G,如图③,此时有PB=PG,又∵OP⊥AB,∴在Rt PBG中,∠BGP=∠GBP=90°不成立,∴不存在这样的☉P.
三、解答题 1 △
21. 解析 (1)原式=1+4-2-2× (4分)
2
=2.(5分)
(2)这里a=2,b=-4,c=-1.
∴Δ=b
4
2
±
-4
√
ac
2
=
4
(-4
2
)2-
±
4
√
×2
6
×(-1)=24>0,(2分)
∴x= 2+√6 = 2-√ , 6 (4分)
2×2 2
即x= ,x= .(5分)
1 2 2 2
22. 解析 (1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;或线段垂直平分线的性质.(2分)
(2)如图:
(6分)
提示:①在直线l上任取两点A,B,分别以A,B为圆心,AP,BP长为半径画弧,两弧相交于点Q;
②作直线PQ交AB于点C;
③以P为圆心,PC长为半径作圆.
∴☉P就是所要求作的图形.
23. 解析 (1)列表如下:
王涛
E F G H
李华
A (A,E) (A,F) (A,G) (A,H)
B (B,E) (B,F) (B,G) (B,H)
C (C,E) (C,F) (C,G) (C,H)
D (D,E) (D,F) (D,G) (D,H)
(4分)
或画树状图如下:
(4分)
(2)根据(1)中表格或树状图,可知共有316种等可能的结果,而同时选择的美食都是甜品类的有3种结果,分别是(A,E),(A,F),(A,G).(5分)
∴P(同时选择的美食都是甜品类)= .(7分)
16
24. 解析 (1)由题意知S =|k|=4,∴k=±4.(1分)
矩形OABC
又∵反比例函数的图象位于第二象限,
∴k=-4.(2分)
4
∴反比例函数的表达式为y=- .(3分)
x
(2)∵y=-x+3的图象交y轴于点A,
∴A({0,3y),∴=-O 4 A=,3. {x=-1,
联立 1 x 又1 ∵x<0,∴ 3 y=4, 即D(-1,4).(5分)
∴S AOyD == 2 -AxO+·3|x, D |= 2 ×3×1= 2 .(7分)
25. 解析 过点C作CD⊥AB于点D.(1分)
△
设CD=x m.(2分) CD x
在Rt ADC中,AD= tan C 3 D 6° ≈ 0.x 73 .(3分)
在Rt BDC中,BD= ≈ .(4分)
tan43° 0.93
△
∵AD△x+BD=AxB,(5分)
∴ + =20.(6分)
0.73 0.93
∴x≈8.2.(7分)
答:弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离约为8.2 m.(8分)
26. 解析 (1)证明:由折叠得, BDC≌△BDE,
∴∠DBC=∠DBF.(1分)
又∵四边形ABCD是矩形, △
∴AD∥BC,
∴∠DBC=∠FDB.(2分)
∴∠DBF=∠FDB.
∴DF=BF.
∴△BDF是等腰三角形.(3分)
(2)①四边形BFDG是菱形.(4分)
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴FD∥BG,(5分)
又∵DG∥BE,
∴四边形BFDG是平行四边形.(6分)
又∵DF=BF,
∴四边形BFDG是菱形.(7分)
②∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∴BD=√AB2+AD2=√62+82=10.∵四边形BFDG是菱形,
1
∴GF⊥BD,FG=2OF,OD= BD=5.(8分)
2
∵∠FDO=∠BDA,∠FOD=∠A=90°,
∴△OOFFDO ∽ D △ABODF.(9分5 ) 15
∴ = 1,即5 = ,∴OF= .
AB AD 6 8 4
∴FG=2OF= .(10分)
2
27. 解析 (1)证明:∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC=90°.(1分)
∴∠BAF+∠FAC=90°.(2分)
∵∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF,
∴∠D+∠AOD=90°.(4分)
∴OA⊥AD.
∵OA为☉O的半径,
∴AD是☉O的切线.(5分)
(2)如图,连接BF.
BE=BC-CE=2OC-CE=10-2=8.
∵∠ACE=∠OCA,∠FAC=∠AOC,
∴△AOCACO ∽
C
△AAEOC.(6分A)C
5 5
∴ = = ,即 = = ,∴AE=√10.(7分)
CE AC AE 2 AC AE
∵∠AEC=∠BEF,∠ACB=∠BFE,
∴△AAEECC ∽ E △BE √ F 1 .( 0 9分2) 8√10
∴ = ,即 = ,∴EF= .(10分)
BE EF 8 EF 5
28
{
. -解16析- 4(b1)+∵ c抛=-物4线, y=-x
{
2+bb=x+-c2的,图象过A(-4,-4),B(0,4)两点,
∴ 解得 (2分)
c=4, c=4,
∴y=-x2-2x+4.(3分)
(2)
{
如-图4m,设+lnAB=:y-=4m,x+n(m
{
≠m0)=,∵ 2,l
AB
过A(-4,-4),B(0,4)两点,
∴ 解得 ∴y=2x+4.(4分)
n=4, n=4,
∵B(0,4),∴OB=4.
设E(x,2x+4),G(x,-x2-2x+4).
∴GE=(-x2-2x+4)-(2x+4)=-x2-4x.
∵四边形GEOB是平行四边形,
∴GE=BO.(5分)
∴-x2-4x=4,解得x=x=-2.
1 2
当x
G
=-2时,y
G
=4.∴G(-2,4
(
).(6分1)
)
(3)①如图,设E(a,2a+4),F a,- a-6 .
2
过A作AK⊥y轴于点K,交GF于点Q,过点H作HP⊥GF于点P.
∴AK=4,OK=4,BC=10,OC=6,KC=OC-OK=6-4=2,BK=BC-KC=10-2=8.
∴AC2=AK2+KC2=42+22=20,AB2=AK2+BK2=42+82=80,BC2=102=100.
∴AC2+AB2=BC2.∴∠BAC=90°.
∴当∠BAC=90°且四边形AEHF是平行四边形时,四边形AEHF是矩形.(7分)
∴EH∥AF,EH=AF.∴∠HEF=∠AFQ.
∵∠EPH=∠FQA=90°,
∴△EPH≌△FQA.
∴PH=AQ,EP=FQ.
∴0-a=a-
(
(-4)1,解得a
)
=-2,∴E(-2,0).(8分)
0-y =-4- - a-6 ,解得y =-1,∴H(0,-1).(9分)
H 2 H
②如图,EM=EH=√12+22=√5,AE=√22+42=2√5.
∵∠AEM=∠MEA,
EN EM
∴在ENEA上EM存在M一N点N,E当N √=5 M时N, ENM∽△EMA.
EM EA
∴ √ = 5 = 1 ,即 = = .
EM EA AM √5 2√5 AM
∴E1N= ,MN= AM.(10分) △
2 2
∴ AM+CM=MN+MC≥1NC(两点之间线段最短).
2
即NC长就是所要求的√5 A
3
M
√
+
5
CM的最小值.(11分)
2
∵ ∴ A N1 N C= = √ AE A -E N N 2 = + 2 A √5 C - 2= 2 √ ( = 5 3 √ 2√ 5 5 . ) 2 +(2√5)2= 5√5 .
即 AM+CM的最小值为 2 .(12分) 2
2 2
