2016 年乌鲁木齐市初中毕业生学业水平测试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:150分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)每题的选项中只有一项符合题目要求.
1.如果将“收入100元”记作“+100元”,那么“支出50元”应记作( )
A.+50元 B.-50元 C.+150元 D.-150元
2.石墨烯是世界上目前最薄却也是最坚硬的纳米材料,还是导电性最好的材料,其理论厚度仅
为0.000 000 000 34米.该厚度用科学记数法表示为( )
A.0.34×10-9米 B.34.0×10-11米
C.3.4×10-10米D.3.4×10-9米
3.在市委、市政府的领导下,全市人民齐心协力,力争于2017年将我市创建为“全国文明城
市”.为此小宇特制了一个正方体模具,其展开图如图所示,原正方体中与“文”字所在的面
相对的面上标的字是( )
A.全 B.国 C.明 D.城
4.如图,已知直线a∥b,AC⊥AB,AC与直线a,b分别交于A,C两点,若∠1=60°,则∠2的度数为(
)
A.30° B.35° C.45° D.50°
5.某班去看演出,甲种票每张24元,乙种票每张18元,如果35名学生购票恰好用去750元,甲、
乙两种票各买了多少张?设买了x张甲种票,y张乙种票,则所列方程组正确的是( )
{ x+ y=35 { x+ y=35
A. B.
18x+24 y=750 24x+18 y=750
{ x- y=35 { x- y=35
C. D.
24x-18 y=750 18x-24 y=750
6.下列说法正确的是( )
A.鞋店老板比较关心的是一段时间内卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数
B.某种彩票的中奖率是2%,则买50张这种彩票一定会中奖
C.为了了解某品牌灯管的使用寿命,应采用全面调查的方式
D.若甲组数据的方差 =0.06,乙组数据的方差 =0.1,则乙组数据比甲组数据稳定
s2 s2
甲 乙
7.对于任意实数m,点P(m-2,9-3m)不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.将圆心角为90°,面积为4π cm2的扇形围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面圆的半径为(
)A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
9.如图,在Rt△ABC中,点E在AB上,把这个直角三角形沿CE折叠后,使点B恰好落到斜边AC
的中点O处,若BC=3,则折痕CE的长为( )
A.√3 B.2√3 C.3√3 D.6
10.如图,边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重
合,△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动(保持FG⊥BC),当点E运动到CD
边上时△EFG停止运动.设△EFG的运动时间为t秒,△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积
为S,则S关于t的函数的大致图象为( )
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为 .
12.不透明袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后,放回并
摇匀,再随机摸出一个.则第一次摸到红球,第二次摸到绿球的概率为 .
13.设I为△ABC的外心,若∠BIC=100°,则∠A的度数为 .
k
14.如图,直线y=-2x+4与双曲线y= 交于A,B两点,与x轴交于点C,若AB=2BC,则k=
x
.
15.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P是边DC上的动点,G是AP的中点,以P为中心,将PG绕
点P顺时针旋转90°,G的对应点为G',当B、D、G'在一条直线上时,PD= .三、解答题(本大题包括Ⅰ~Ⅴ题,共9小题,共90分)解答时应写出文字说明、证明过程或演
算过程.
Ⅰ.(本题满分16分,第16,17题每题8分)
16.计算:(1) -2 +| -2|-2cos 30°+ .
√3 √3 -27
2
17.先化简,再求值:(x+2)(x-2)+(2x-1)2-4x(x-1),其中x=2√3.
Ⅱ.(本题满分30分,第18,19,20题每题10分)
18.如图,两张宽度相等的纸条叠放在一起,重叠部分构成四边形ABCD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若纸条宽3 cm,∠ABC=60°,求四边形ABCD的面积.
19.某商场用24 000元购入一批空调,然后以每台3 000元的价格销售,因天气炎热,空调很
快售完;商场又以52 000元的价格再次购入该种型号的空调,数量是第一次购入的2倍,但购
入的单价上调了200元,每台的售价也上调了200元.
(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元?
(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调,又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于
22%,打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售,最多可将多少台空调打折出售?
20.如图,建筑物 AB 的高为 6 m,在其正东方向有一个通信塔 CD,在它们之间的地面点
M(B,M,D三点在一条直线上)处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37°和60°,在A处
测得塔顶C的仰角为30°,求通信塔CD的高度.(精确到0.01 m)Ⅲ.(本题满分22分,第21题10分,第22题12分)
21.小强的爸爸从家骑自行车去图书馆借书,途中遇到了从图书馆步行回家的小强.爸爸借完
书后迅速回家,途中追上了小强,便用自行车载上小强一起回家.结果爸爸比自己单独骑车回
家晚到1分钟.两人与家的距离s(千米)和爸爸从家出发后的时间t(分钟)之间的关系如图所示.
(1)图书馆离家有多少千米?
(2)爸爸和小强第一次相遇时,离家多少千米?
(3)爸爸载上小强后一起回家的速度是多少?
22.某艺校音乐专业自主招生考试中,所有考生均参加了“声乐”和“器乐”两个科目的考试,
成绩都分为五个等级.对某考场考生两科考试成绩进行了统计分析,绘制了如下统计表和统计
图(不完整).
声乐成
频数频率
绩
A a 0.075
B 10 0.25
C 15 b
D 8 0.2
E c d根据以上信息,解答下列问题:
(1)求表中a,b,c,d的值,并补全条形统计图;
(2)若等级A,B,C,D,E分别对应10分,8分,6分,4分,2分,求该考场考生“声乐”科目考试成绩
的平均分;
(3)已知本考场参加测试的考生中,恰有两人的这两科成绩均为A,在至少一科成绩为A的考生
中,随机抽取两人进行面试,求这两人的两科成绩均为A的概率.
Ⅳ.(本题满分10分)
23.如图,已知AB为☉O的直径,点E在☉O上,∠EAB的平分线交☉O于点C,过点C作AE的
垂线,垂足为D,直线DC与AB的延长线交于点P.
(1)判断直线PC与☉O的位置关系,并说明理由;
3
(2)若tan∠P= ,AD=6,求线段AE的长.
4
Ⅴ.(本题满分12分)
24.如图,抛物线y=-x2+2x+n经过点M(-1,0),顶点为C.(1)求点C的坐标;
(2)设直线y=2x与抛物线交于A、B两点(点A在点B的左侧):
①在抛物线的对称轴上是否存在点G,使∠AGC=∠BGC?若存在,求出点G的坐标;若不存在,
请说明理由;
②点P在直线y=2x上,点Q在抛物线上,当以O,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,求点
Q的坐标.
答案全解全析：
一、选择题
1.B 收入与支出是一对具有相反意义的量,所以如果将收入100元记作+100元,那么支出50
元记作-50元,故选B.
2.C 0.000 000 000 34米=3.4×10-10米.故选C.
3.D 根据动手操作可知,与“文”字所在的面相对的面上标的字是“城”.故选D.
4.A ∵AC⊥AB,∴∠1+∠B=90°,∵∠1 =60°,∴∠B=30°,
∵a∥b,∴∠2=∠B=30°,故选A.
{ x+ y=35,
5.B 根据题意列方程组,得 故选B.
24x+18 y=750,
6.A 易知A选项正确;中奖率是2%不能说明买50张彩票一定会中奖,B选项错误;数量大,且
具有破坏性,应该采用抽样调查的方式,C选项错误;甲组数据的方差小于乙组数据的方差,则
甲组数据比乙组数据稳定,D选项错误.故选A.
7.C 当m-2<0时,m<2,9-3m>0,此时点P在第二象限;
当m-2>0时,m>2,9-3m有可能是正数也有可能是负数,此时点P有可能在第一象限,也有可
能在第四象限,
∴点P(m-2,9-3m)不可能在第三象限.故选C.
90·π·R2
8.A 设扇形的半径为R cm,根据题意得 =4π,解得R=4,
3601
设圆锥的底面圆的半径为r cm,则 ·2π·r·4=4π,解得r=1.
2
∴此圆锥的底面圆的半径为1 cm.故选A.
9.B 根据折叠可知,∠BCE=∠ACE,BC=CO=3,∵O是斜边AC的中点,∴AC=2CO=6.
1
∴BC= AC,∴∠A=30°,∴∠ACB=60°,∴∠BCE=30°,
2
BC 3
在Rt△BCE中,CE= = =2√3,故选B.
cos∠BCE cos30°
评析 本题考查折叠问题,折叠前后图形的形状和大小不变.
10.B 当0≤t≤2时,如图(1),OO'=t,EO'=2-t,
∵AD∥GF,∴△EMN∽△EFG,
MN EO' MN 2-t
∴ = ,即 = ,
FG EO 4 2
∴MN=4-2t,
1 1
∴S= (MN+FG)·OO'= (4-2t+4)·t=-t2+4t;
2 2
1
当2<t≤4时,如图(2),易得S= EF·GE=4;
2
当4<t≤6时,如图(3),OO'=t-4,EO'=2-(t-4)=6-t,
∵BC∥GF,∴△EMN∽△EFG,
MN EO' MN 6-t
∴ = ,即 = ,
FG EO 4 2
∴MN=12-2t,
1 1
∴S= MN·EO'= ×(12-2t)(6-t)=(t-6)2.
2 2
综上所述,当0≤t≤2时,S关于t的函数图象为开口向下的抛物线的一部分;当2<t≤4时,S关
于t的函数图象为平行于x轴的一条线段;当4<t≤6时,S关于t的函数图象为开口向上的抛
物线的一部分.故选B.
二、填空题
11.答案 6
解析 设这个多边形的边数为n,根据题意得(n-2)·180°=360°×2,解得n=6.
1
12.答案
4
解析 两次模球共有4种情况:红红、红绿、绿红、绿绿.它们发生的可能性相等,其中第一
1
次摸到红球,第二次摸到绿球的结果只有一种,故所求概率为 .
4
13.答案 50°或130°
1
解析 当I在△ABC的内部时,如图1,∠A= ∠BIC=50°;
21
当I在△ABC的外部时,如图2,∠A+ ∠BIC=180°,∴∠A=130°.
2
图1 图2
3
14.答案
2
解析 过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点B作BF⊥x轴,垂足为F,∴AE∥BF,
BC BF CF
∴△CBF∽△CAE,∴ = = ,
AC AE CE
BF CF 1
∵AB=2BC,∴ = = ,
AE CE 3
1
∴y = y ,∵x ·y =k,x ·y =k,∴x =3x .
B A A A B B B A
3
由题意可知C点坐标为(2,0),则CF=2-x ,CE=2-x ,
B A
CF 1
∵ = ,∴2-x =3(2-x ),
CE 3 A B
1
又∵x =3x ,∴2-x =3(2-3x ),解得x = .
B A A A A
2
1
把x = 代入y=-2x+4,得y =3,
A A
2
∴A点坐标为(1 ),∴k=1×3=3.
,3
2 2 2
评析 此题综合考查了反比例函数的图象和性质,相似三角形的性质等知识点,有一定难度,
综合性较强,注意对各个知识点的灵活运用,本题的关键是通过点A,B的坐标,由两点之间与点
C的关系得到点A的坐标,进而确定k的值.
16
15.答案
5
解析 当B、D、G'在一条直线上时(如图),过点G'作G'M⊥CD的延长线,垂足为M.
∵∠ADC=90°,∠GPG'=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,∠APD+∠DPG'=90°,
∴∠DAP=∠DPG',∴Rt△PAD∽Rt△G'PM,PG' G'M PM
∴ = = ,
AP PD AD
∵AP的中点为G,PG绕P顺时针旋转90°得PG',
G'M PM 1
∴PG'∶AP=1∶2,∴ = = ,
PD AD 2
1
不妨设PD=x,则G'M= x,∵G'M∥BC,∴△DCB∽△DMG',
2
1 5
G'M DM x DM 1 5 PM 1 x
∴ = ,∵AB=CD=4,BC=8,∴2 = ,则DM= x,∴PM= x.∵ = ,∴4 =
BC CD 4 4 4 AD 2
8 8
1 16
,解得x= .
2 5
三、解答题
√3
16.解析 原式=4+(2-√3)-2× +(-3)=3-2√3.
2
17.解析 原式=(x2-4)+(4x2-4x+1)-(4x2-4x)=x2-3.
当x=2√3时,原式=(2√3)2-3=9.
18.解析 (1)证明:由题意,易知AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,
过点A分别作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,
依题意,AE,AF的长就是两张纸条的宽,且AE=AF,
又∠AEB=∠AFD=90°,
∴△AEB≌△AFD,∴AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.
(2)在Rt△AEB中,∵∠AEB=90°,∠ABC=60°,AE=3 cm,
AE
∴AB= =2√3 cm,∴BC=2√3 cm,
sin60°
∴菱形ABCD的面积为AE·BC=6√3 cm2.
52 000 24 000
19.解析 (1)设第一次购入的空调每台进价是x元,依题意,得 =2× ,解得
x+200 x
x=2 400,经检验,x=2 400是原方程的解.
答:第一次购入的空调每台进价为2 400元.
(2)第一次购进空调的数量为24 000÷2 400=10台,总收入为3 000×10=30 000元,
第二次购进空调的数量为52 000÷(2 400+200)=20台,不妨设打折售出y台空调,
则总收入为(3 000+200)·(20-y)+(3 000+200)·0.95y=640 000-160y元.
两次空调销售的总利润为[30 000+(64 000-160y)]-(24 000+52 000)=18 000-160y元,
依题意,得18 000-160y≥(24 000+52 000)×22%,解得y≤8.
答:最多可将8台空调打折销售.
20.解析 过点A作AE⊥CD于E,由题意,易知四边形ABDE是矩形,∴AB=DE=6 m,AE=BD.
设CE=x m,在Rt△AEC中,∠AEC=90°,∠CAE=30°,
CE
∴AE= =√3x m.
tan30°
在Rt△CDM中,CD=CE+ED=(x+6)m,
CD √3(x+6)
∴DM= = m.
tan60° 3AB 6
在Rt△ABM中,BM= = m.
tan37° tan37°
6 √3 3√3
由AE=BD=BM+DM,得√3x= + (x+6),解得x= +3,
tan37° 3 tan37°
3√3
∴CD= +9≈15.90 m.
tan37°
答:通信塔CD的高度约为15.90 m.
21.解析 (1)6千米.
1
(2)对于爸爸:当0≤t≤30时,s= t,
5
1
由题图可知当t=20分钟时,爸爸和小强第一次相遇,此时,s= ×20=4千米.
5
故爸爸和小强第一次相遇时,离家4千米.
(3)对于爸爸:当30≤t≤60时,s=6;
当60≤t≤80时,设s=kt+b(k≠0),
{ 1
则{60k+b=6,解得 k=- ,∴s=-1t+21,令s=0,得t=84,即如果爸爸独自骑车回家,那么
4
80k+b=1, 4
b=21,
在离家84分钟的时候到家.根据题意,爸爸载上小强后晚到家1分钟,则当80≤t≤85时,爸爸
与小强共同回家,一起用5分钟走了1千米,∴速度为0.2千米/分钟.
10
22.解析 (1)本考场的考生人数为 =40,
0.25
15
∴a=40×0.075=3,b= =0.375,
40
4
c=40-3-10-15-8=4,d= =0.1.
40
“器乐”考试成绩为A等级的有40-15-15-6-1=3人,补全条形统计图如下:
(2)该考场考生“声乐”科目考试成绩的平均分为
(3×10+10×8+15×6+8×4+4×2)÷40=6分.
(3)声乐成绩为A等级的有3人,器乐成绩为A等级的有3人,由于本考场考试恰有2人这两科
成绩均为A等级,不妨记为A ,A ,将声乐成绩为A等级的另一人记为a,器乐成绩为A等级的
1 2
另 一 人 记 为 b. 在 至 少 一 科 成 绩 为 A 等 级 的 考 生 中 随 机 抽 取 两 人
有:A ,A ;A ,a;A ,b;A ,a;A ,b;a,b六种情形,两科成绩均为A等级的有A ,A 这一种情形,故所求
1 2 1 1 2 2 1 2
1
概率为 .
6
23.解析 (1)PC与☉O相切,理由如下:连接OC,∵AC平分∠EAB,∴∠EAC=∠CAB,又OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO,∴∠EAC=∠ACO,
∴OC∥AD,而AD⊥PD,∴∠OCP=∠D=90°,
又点C在☉O上,∴PC与☉O相切.
3
(2)在Rt△ADP中,∠ADP=90°,AD=6,tan∠P= ,
4
∴PD=8,则AP=10.
设☉O的半径为r,由(1)知OC∥AD,
OC OP r 10-r 15
∴ = ,即 = ,解得r= ,
AD AP 6 10 4
连接BE,∵AB是直径,E在☉O上,∴∠AEB=90°,
∴BE∥PD,∴∠ABE=∠P.
15 3 9
∴AE=ABsin∠ABE=ABsin∠P=2× × = .
4 5 2
24.解析 ∵抛物线y=-x2+2x+n过点M(-1,0),
∴0=-(-1)2+2×(-1)+n,解得n=3,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(1)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点C的坐标为(1,4).
(2)①存在.联立{ y=2x, 解得 { x 1 =√3, { x 2 =-√3,
y=-x2+2x+3, y =2√3, y =-2√3,
1 2
∴A(-√3,-2√3),B(√3,2√3),
∴点B(√3,2√3)关于对称轴x=1的对称点为B'(2-√3,2√3).
∵∠AGC=∠BGC,∴点B'在直线AG上.
设直线AB'的方程为y=kx+b(k≠0),由{-2√3=-√3k+b,
2√3=(2-√3)k+b,
得{ k=2√3, ∴y=2 x+6-2 ,令x=1,得y=6,∴G(1,6).
√3 √3
b=6-2√3,
②设P(m,2m),
当四边形OMPQ为平行四边形时,则Q(m+1,2m),
∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,∴2m=-(m+1)2+2(m+1)+3,解得m=-1±√5,
∴Q (-√5,-2-2√5),Q (√5,-2+2√5);
1 2
当四边形OMQP为平行四边形时,则Q(m-1,2m),
∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴2m=-(m-1)2+2(m-1)+3,解得m=0或2,
∴Q (1,4),Q (-1,0)(舍);
3 4
当OM为平行四边形对角线时,则Q(-1-m,-2m),
∵点Q在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴-2m=-(-m-1)2+2(-m-1)+3,解得m=-2或0,
∴Q (1,4),Q (-1,0)(舍).
5 6
综上所述:点Q的坐标为(-√5,-2-2√5)或(√5,-2+2√5)或(1,4).
