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江西省2016年中等学校招生考试
数学
8A
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共18分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项)
1.下列四个数中,最大的一个数是( )
A.2 B.√3 C.0 D.-2
2.将不等式3x-2<1的解集表示在数轴上,正确的是( )
3.下列运算正确的是( )
A.a2+a2=a4 B.(-b2)3=-b6
C.2x·2x2=2x3 D.(m-n)2=m2-n2
4.有两个完全相同的长方体,按下图方式摆放,其主视图是( )
5.设α,β是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根,则αβ的值是( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均相等.网格中三个多边形(分别标记为①,②,③)的顶点均在格点上.被一个多边形覆盖的网格线中,竖直部分线段长度之和记为m,水平部分线段长度之和记为n,则这三个多边形中满足m=n的是( )
A.只有②B.只有③C.②③ D.①②③
第Ⅱ卷(非选择题,共102分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
7.计算:-3+2= .
8.分解因式:ax2-ay2= .
9.如图所示,△ABC中,∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB'C',则∠B'AC的度数为 .
10.如图所示,在▱ABCD中,∠C=40°,过点D作AD的垂线,交AB于点E,交CB的延长线于点F,则∠BEF的度数为 .
k k
1 2
11.如图,直线l⊥x轴于点P,且与反比例函数y
1
= (x>0)及y
2
= (x>0)的图象分别交于点A,B,连接OA,OB,已知△OAB的面积为2,则k
1
-k
2
= .
x x
12.下图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上的一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是 .
···
三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)
13.(本题共2小题,每小题3分)
{ x- y=2,
(1)解方程组:
x- y= y+1;
(2)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE.求证:DE∥BC.14.先化简,再求值:( 2 1 )÷ x ,其中x=6.
+
x+3 3-x x2-9
15.如图,过点A(2,0)的两条直线l,l 分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知AB=√13.
1 2
(1)求点B的坐标;
(2)若△ABC的面积为4,求直线l 的解析式.
2
16.为了了解家长关注孩子成长方面的状况,学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查,调查设置了“健康安全”“日常学习”“习惯养成”“情感品质”四个项目,并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查,根据调查结果,绘
制了如下不完整的条形统计图.
(1)补全条形统计图;
(2)若全校共有3 600位学生家长,据此估计,有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长;
(3)综合以上主题调查结果,结合自身现状,你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导?
8B17.如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中一个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度直尺,②保留必要的画图痕迹.
(1)在图1中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边;
(2)在图2中画出线段AB的垂直平分线.
四、(本大题共4小题,每小题8分,共32分)
18.如图,AB是☉O的直径,点P是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交 ⏜ 于点F,交过点C的切线于点D.
AC
(1)求证:DC=DP;
(2)若∠CAB=30°,当F是 ⏜ 的中点时,判断以A,O,C,F为顶点的四边形是什么特殊四边形,说明理由.
AC
19.下图是一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成.闲置时鱼竿可收缩,完全收缩后,鱼竿长度即为第1节套管的长度(如图1所示);使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2所示).图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的
平面示意图.已知第1节套管长50 cm,第2节套管长46 cm,依此类推,每一节套管均比前一节套管少4 cm.完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为x cm.
(1)请直接写出第5节套管的长度;
(2)当这根鱼竿完全拉伸时,其长度为311 cm,求x的值.
图1
图2
图3
20.甲、乙两人利用扑克牌玩“10点”游戏.游戏规则如下:
①将牌面数字作为“点数”,如红桃6的“点数”就是6(牌面点数与牌的花色无关);
②两人摸牌结束时,将所摸牌的“点数”相加,若“点数”之和小于或等于10,此时“点数”之和就是“最终点数”;若“点数”之和大于10,则“最终点数”是0;
③游戏结束前双方均不知道对方“点数”;
④判定游戏结果的依据是:“最终点数”大的一方获胜,“最终点数”相等时不分胜负.
现甲、乙均各自摸了两张牌,数字之和都是5,这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌,牌面数字分别是4,5,6,7.(1)若甲从桌上继续摸一张扑克牌,乙不再摸牌,则甲获胜的概率为 ;
(2)若甲先从桌上继续摸一张扑克牌,接着乙从剩下的扑克牌中摸出一张牌,然后双方不再摸牌.请用树状图或表格表示出这次摸牌后所有可能的结果,再列表呈现甲、乙的“最终点数”,并求乙获胜的概率.
····
21.图1是一副创意卡通圆规,图2是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂,使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.已知OA=OB=10 cm.
(1)当∠AOB=18°时,求所作圆的半径;(结果精确到0.01 cm)
(2)保持∠AOB=18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度.(结果精确到0.01 cm)
(参考数据:sin 9°≈0.156 4,cos 9°≈0.987 7,sin 18°≈0.309 0,cos 18°≈0.951 1,可使用科学计算器)
五、(本大题共10分)
22.【图形定义】
如图,将正n边形绕点A顺时针旋转60°后,发现旋转前后两图形有另一交点O,连接AO,我们称AO为“叠弦”;再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后,交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称∠OAB为“叠弦角”,△AOP为“叠弦三角形”.
【探究证明】
(1)请在图1和图2中选择其中一个证明:“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形;
(2)如图2,求证:∠OAB=∠OAE';
【归纳猜想】
(3)图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 , ;
(4)图n中,“叠弦三角形” 等边三角形(填“是”或“不是”);
(5)图n中,“叠弦角”的度数为 (用含n的式子表示).六、(本大题共12分)
(1 ) ((1) n-1 )
23.设抛物线的解析式为y=ax2,过点B
1
(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A
1
(1,2);过点B
2 2
,0 作x轴的垂线,交抛物线于点A
2
;……;过点B
n 2
,0 (n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点A
n
.连接A
n
B
n+1
,得Rt△A
n
B
n
B
n+1
.
(1)求a的值;
(2)直接写出线段AB,BB 的长(用含n的式子表示);
n n n n+1
(3)在系列Rt△A
n
B
n
B
n+1
中,探究下列问题:
①当n为何值时,Rt△A
n
B
n
B
n+1
是等腰直角三角形?
②设1≤k√3,所以2>√3.故选A.
2.D 由3x-2<1,得3x<3,即x<1,故选D.
3.B A项,a2+a2=2a2,故A项错误;
B项,(-b2)3=-b6,故B项正确;
C项,2x·2x2=4x3,故C项错误;
D项,(m-n)2=m2-2mn+n2,故D项错误.故选B.
4.C 由主视图的定义可知选C.
-1
5.D 根据根与系数的关系可知:αβ= =-1,故选D.
11 1 2 2 1
6.C 题图①中m=1+2+1=4,n=2+4=6,故题图①中m≠n;题图②中m=2.5,n= + +1+ =2.5,故题图②中m=n;题图③中,m=2+2 +1 =6,n=4+2=6,故题图③中m=n.所以选C.
2 3 3 3 3
二、填空题
7. 答案 -1
解析 根据有理数的加法法则可知-3+2=-1.
8. 答案 a(x+y)(x-y)
解析 ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).
9. 答案 17°
解析 由将△ABC绕点A顺时针方向旋转50°得到△AB'C',可知∠B'AB=50°,因为∠BAC=33°,所以∠B'AC=17°.
10. 答案 50°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=40°,
∴∠A=∠C=40°.
∵DF⊥AD,∴∠ADE=90°,
∴∠DEA=180°-∠ADE-∠A=180°-90°-40°=50°,
∴∠BEF=50°.
11. 答案 4
解析 由题图易知k>0,k>0,
1 2
k k
1 2
∵A,B分别在反比例函数y
1
=
x
(x>0),y
2
=
x
(x>0)的图象上,且AP⊥x轴,
1
∴S = k,
△AOP 2 1
1
S = k.
△BOP 2 2
∵S =S -S ,
△AOB △AOP △BOP
1 1
∴ k- k=2,
2 1 2 2
∴k-k=4.
1 2
12. 答案 5,5√2或4√5(每写对一个得1分,每写错一个扣1分,扣完为止)
解析 因为剪下的△AEP为等腰三角形,所以需分三种情形分类讨论:①AE为底边时,即底边长为5.
②EP为底边时,如图.
∵∠A=90°,AP=AE=5,
∴PE=5√2.
故底边长为5√2.
③AP为底边时,如图.
∴ APEB==A8,EA=E5=,B5E,∵=3.
在Rt△PEB中,∠B=90°,
∴PB2=PE2-EB2=52-32=16.
在Rt△APB中,∠B=90°,
∴AP2=AB2+PB2=82+16=64+16=80,∴AP=4√5.故底边长为4√5.
综上,等腰三角形AEP的底边长为5,5√2或4√5.
评析 本题主要考查等腰三角形的性质和应用,考查了分类讨论思想的应用.解答此题的关键是对△AEP的底边进行分类讨论,进而求解.
三、
{ x- y=2, ①
13. 解析 (1)
x- y= y+1. ②
解法一:把①代入②,得2=y+1,则y=1,(1分)
把y=1代入①,得x-1=2,
∴x=3,(2分)
{x=3,
∴原方程组的解为 (3分)
y=1.
解法二:②-①,得0=y+1-2,
∴y=1.(1分)
把y=1代入①,得x-1=2,
∴x=3,(2分)
{x=3,
∴原方程组的解为 (3分)
y=1.
(2)证明:证法一:∵△ADE与△CDE关于直线DE对称,点A与点C是对称点,
∴DE⊥AC,
∴∠AED=90°(或∠CED=90°),(1分)
又∵∠ACB=90°,
∴∠AED=∠ACB(或∠CED+∠ACB=180°),
∴DE∥BC.(3分)
证法二:翻折后,∠AED与∠CED重合,所以∠AED=∠CED,
∵∠AED+∠CED=180°,
1
∴∠AED=∠CED= ×180°=90°,(1分)
2
又∵∠ACB=90°,
∴∠AED=∠ACB(或∠CED+∠ACB=180°),
∴DE∥BC.(3分)
2(x-3)-(x+3) (x+3)(x-3)
14. 解析 原式= ·
(x+3)(x-3) x
2x-6-x-3
=
x
x-9
= ,(4分)
x
6-9 1
当x=6时,原式= =- .(6分)
6 2
15. 解析 (1)∵点A的坐标为(2,0),∴AO=2.
在Rt△AOB中,22+OB2=(√13)2,
∴OB=3,
∵点B在原点上方,∴B(0,3).(2分)
1 1
(2)∵S = BC·OA,即4= BC×2,
△ABC 2 2
∴BC=4,
∴OC=BC-OB=4-3=1,
∵点C在原点下方,
∴C(0,-1).(4分)
设直线l 的解析式为y=kx+b(k≠0).
2
∵直线l 经过点A(2,0),C(0,-1),
2{ 1
{0=2k+b, k= ,
∴ 解得 2
-1=b.
b=-1.
1
∴直线l 的解析式为y= x-1.(6分)
2 2
16. 解析 (1)补全条形统计图后的图形如下图所示.
(2分)
4+6
(2)3 600× =360(位).
100
答:估计有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长.(4分)
(3)合理即可.(6分)
17. 解析 (1)如下图.(画法有两种,正确画出其中一种即可)(3分)
(2)如下图.(6分)
(画法不唯一,以下为其他几种画法)
评析 本题看似考查尺规作图,实则考查等腰直角三角形、全等三角形、线段垂直平分线等的综合应用,在尺规作图题中难度较高.
四、
18. 解析 (1)证明:连接OC.
∵DC是☉O的切线,OC为半径,
∴∠OCD=90°,即∠OCA+∠ACD=90°.
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
又∵PE⊥AB,∴∠OAC+∠APE=90°,∴∠APE=∠ACD.
又∵∠DPC=∠APE,∴∠DPC=∠ACD.
∴DC=DP.(3分)(2)四边形AOCF是菱形.(4分)
证明:连接AF,FC,OF.
∵AO=CO,∠CAB=30°,
∴∠ACO=∠CAB=30°,∴∠AOC=120°.
⏜
∵F是AC的中点,
1
∴∠AOF=∠FOC= ∠AOC=60°,(6分)
2
∵AO=FO=CO,∴△AOF,△FOC均为等边三角形,
∴AO=AF=FC=CO,
∴四边形AOCF是菱形.(8分)
19. 解析 (1)第5节套管的长度为34 cm.(3分)
(2)解法一:50×10-4×(1+2+…+9)-9x=311,(6分)
解得x=1.
答:x的值是1.(8分)
解法二:50+(46-x)+(42-x)+(38-x)+(34-x)+(30-x)+(26-x)+(22-x)+(18-x)+(14-x)=311,(6分)
解得x=1.
答:x的值是1.(8分)
(50+46+…+18+14)-311 320-311
解法三:x= = =1.(6分)
9 9
答:x的值是1.(8分)
1
20. 解析 (1) .(2分)
2
(2)解法一:
(4分)
由树状图可以得出,所有可能出现的结果共有12种,他们的“最终点数”如下表所示:
甲 9 9 9 10 10 10 0 0 0 0 0 0
乙 10 0 0 9 0 0 9 10 0 9 10 0
(6分)
5
比较甲、乙两人的“最终点数”,可得P(乙获胜)= .(8分)
12
解法二:
乙
4 5 6 7
甲
4 (4,5) (4,6) (4,7)
5 (5,4) (5,6) (5,7)
6 (6,4) (6,5) (6,7)
7 (7,4) (7,5) (7,6)
(4分)由上表可以得出,所有可能出现的结果共有12种,他们的“最终点数”如下表所示:
甲 9 9 9 10 10 10 0 0 0 0 0 0
乙 10 0 0 9 0 0 9 10 0 9 10 0
(6分)
5
比较甲、乙两人的“最终点数”,可得P(乙获胜)= .(8分)
12
21. 解析 (1)过点O作OC⊥AB于点C,
1
则AB=2BC,∠BOC= ∠AOB=9°,
2
∴在Rt△OBC中,
BC=OB×sin 9°≈10×0.156 4=1.564 cm,
∴AB=2×1.564=3.128≈3.13 cm.
答:所作圆的半径为3.13 cm.(4分)
1
(2)解法一:因为∠B= (180°-∠AOB)=81°,所以∠B<90°,故可在BO上找到一点D,使得AD=AB,此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等.(5分)
2
过A作AH⊥OB于点H,则BD=2BH.
在Rt△AOH中,OH=AO×cos 18°≈10×0.951 1=9.511 cm,
∴BH=10-9.511=0.489 cm,∴BD=2×0.489≈0.98 cm.
答:铅笔芯折断部分的长度为0.98 cm.(8分)
1
解法二:因为∠B= (180°-∠AOB)=81°,所以∠B<90°,故可在BO上找到一点D,使得AD=AB,此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等.(5分)
2
过A作AH⊥OB于点H,则BD=2BH.
在Rt△ABH中,∠BAH=90°-∠B=9°,
∴BH=AB×sin 9°≈3.13×0.156 4≈0.489 5 cm,
∴BD=2×0.489 5≈0.98 cm.
答:铅笔芯折断部分的长度为0.98 cm.(8分)
1
解法三:因为∠B= (180°-∠AOB)=81°,所以∠B<90°,故可在BO上找到一点D,使得AD=AB,此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等.(5分)
2
∴∠B=∠ADB.
又∵OA=OB,∴∠B=∠OAB,∴∠OAB=∠ADB,
又∵∠B=∠B,∴△OBA∽△ABD,
OB BA 10 3.13 3.13×3.13
∴ = ,即 = ,∴BD= ≈0.98 cm.
AB BD 3.13 BD 10
答:铅笔芯折断部分的长度为0.98 cm.(8分)
评析 本题主要考查了锐角三角函数、等腰三角形的性质和解直角三角形的综合应用.解此题的关键:①理解题意建立正确的数学模型;②知道等腰三角形的常用辅助线是作底边上的高.
五、
22. 解析 (1)选择图1.
证明:依题意得∠DAD'=60°,∠PAO=60°.
∵∠DAP=∠DAD'-∠PAD'=60°-∠PAD',
∠D'AO=∠PAO-∠PAD'=60°-∠PAD',
∴∠DAP=∠D'AO.
∵∠D=∠D',AD=AD',∴△DAP≌△D'AO,
∴AP=AO.
∵∠PAO=60°,∴△AOP是等边三角形.(2分)
选择图2.
证明:依题意得∠EAE'=60°,∠PAO=60°.
∵∠EAP=∠EAE'-∠PAE'=60°-∠PAE',
∠E'AO=∠PAO-∠PAE'=60°-∠PAE',
∴∠EAP=∠E'AO.
∵∠E=∠E',AE=AE',
∴△EAP≌△E'AO,
∴AP=AO.
∵∠PAO=60°,
∴△AOP是等边三角形.(2分)
(2)证法一:连接AC,AD',CD'.
∵AE'=AB,∠E'=∠B=108°,E'D'=BC,
∴△AE'D'≌△ABC,
∴AD'=AC,∠AD'E'=∠ACB,
由AD'=AC,得∠AD'C=∠ACD',
∴∠OD'C=∠OCD',∴OC=OD',
∴BC-OC=E'D'-OD',即BO=E'O.
∵AB=AE',∠B=∠E',
∴△ABO≌△AE'O,
∴∠OAB=∠OAE'.(5分)
证法二:连接AC,AD',CD'.
∵AE'=AB,∠E'=∠B=108°,E'D'=BC,
∴△AE'D'≌△ABC,
∴AD'=AC,∠AD'E'=∠ACB,∠E'AD'=∠BAC,
∴点A在线段CD'的垂直平分线上,∠AD'C=∠ACD',
∴∠OD'C=∠OCD',∴OC=OD',
∴点O在线段CD'的垂直平分线上,
∴直线AO是线段CD'的垂直平分线,
∴∠CAO=∠D'AO,
∴∠BAC-∠CAO=∠E'AD'-∠D'AO,
即∠OAB=∠OAE'.(5分)
(3)15°;24°.(7分)
(4)是.(8分)
180
(5)60- .(10分)
n+3
180
说明:若考生误将“图n”中的n理解为正多边形的边数,作答为60- ,可视为思路合理,酌情给分.
n
评析 本题主要考查新定义“叠弦三角形”,等边三角形和全等三角形以及正多边形的综合应用.解答本题的关键是先读懂新定义,再利用新定义解决问题.同时要从特殊到一般归纳出结论.
六、
23. 解析 (1)∵点A(1,2)在抛物线上,
1
∴2=a×12,得a=2.(2分)
(1) 2n-3 (1) n
(2)AB= ,BB = .
n n 2 n n+1 2
说明:①本小题共3分,写出其中一个正确答案得2分,写出两个正确答案得3分;②若考生的答案写成以下形式,不扣分.若学生的答案写成其他形式,可参考给分.[ (1) n-1] 2 (1) 2n-2 1
AB=23-2n,2× ,2× 或2× ,
n n 2 2 22n-2
(1) n-1 (1) n
BB =2-n或 - .
n n+1 2 2
(1) 2n-3 (1) n
(3)①由A
n
B
n
=B
n
B
n+1
,得
2
=
2
,解得n=3.
所以,当n=3时,Rt△A
n
B
n
B
n+1
是等腰直角三角形.(7分)
②依题意得∠A
k
B
k
B
k+1
=∠A
m
B
m
B
m+1
=90°,
i)当Rt△A
k
B
k
B
k+1
∽Rt△A
m
B
m
B
m+1
时,
(1) 2k-3 (1) k
A
k
B
k
B
k
B
k+1
2 2 (1) 2k-2m (1) k-m
= ,则 = ,即 = ,
A
m
B
m
B
m
B
m+1
(1) 2m-3 (1) m 2 2
2 2
所以,k=m(舍去).(8分)
ii)当Rt△A
k
B
k
B
k+1
∽Rt△B
m+1
B
m
A
m
时,
(1) 2k-3 (1) k
A B B B 2 2
k k k+1 k
= ,则 = ,
B
m+1
B
m
A
m
B
m
(1) m (1) 2m-3
2 2
(1) 2k-3-m (1) k-2m+3
即 = ,
2 2
∴2k-3-m=k-2m+3,∴m+k=6.
∵1≤k
