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山西省 2016 年高中阶段教育学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合
题目要求)
1
1.- 的相反数是( )
6
1 1
A. B.-6 C.6 D.-
6 6
{x+5>0,
2.不等式组 的解集是( )
2x<6
A.x>-5 B.x<3 C.-5”或
1 2 1 2
x
“=”或“<”).
13.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成,其中部分小正方形涂有阴影,依此规
律,第n个图案中有 个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).
14.如图是一个能自由转动的正六边形转盘,这个转盘被三条分割线分成形状相同,面积相等的三部分,
且分别标有“1”“2”“3”三个数字,指针的位置固定不动.让转盘自由转动两次,当每次转盘停止
后,记录指针指向的数(当指针指向分割线时,视其指向分割线左边的区域),则两次指针指向的数都是
奇数的概率为 .
15.如图,已知点C为线段AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与
DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD于点H,则HG的长为 .
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本题共2个小题,每小题5分,共10分)
(1)计算:(-3)2-(1) -1 - × +(-2)0;
√8 √2
5(2)先化简,再求值:2x2-2x- x ,其中x=-2.
x2-1 x+1
17.(本题7分)
解方程:2(x-3)2=x2-9.
18.(本题8分)
每年5月的第二周为“职业教育活动周”,今年我省开展了以“弘扬工匠精神,打造技能强国”为主
题的系列活动,活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观
摩”活动,相关职业技术人员进行了现场演示,活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查:“你
最感兴趣的一种职业技能是什么?”并对此进行了统计,绘制了如图所示的统计图(均不完整).
请解答以下问题:
(1)补全条形统计图和扇形统计图;
(2)若该校共有1 800名学生,请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人;
(3)要从这些被调查的学生中,随机抽取一人进行访谈,那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生
的概率是 .
19.(本题7分)
请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理图1
阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与
牛顿、高斯并称为三大数学王子.
阿拉伯Al-Biruni(973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据
Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是
⏜ 的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
ABC
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG.
图2
∵M是 ⏜ 的中点,
ABC
∴MA=MC.
……
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;
(2)填空:如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=2,D为 ⏜ 上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDC
AC
的周长是 .
图3
20.(本题7分)我省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2 000 kg~5 000 kg(含2 000 kg和
5 000 kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案):
方案A:每千克5.8元,由基地免费送货.
方案B:每千克5元,客户需支付运费2 000元.
(1)请分别写出按方案A,方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式;
(2)求购买量x在什么范围时,选用方案A比方案B付款少;
(3)某水果批发商计划用20 000元,选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种苹果,请直接写出
他应选择哪种方案.
21.(本题10分)
太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴
产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB
的长度相同,均为300 cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50 cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点
分别为D,F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),
均为30 cm,点A到地面的垂直距离为50 cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根
号).22.(本题12分)综合与实践
问题情境
在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱
形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD.
操作发现
(1)将图1中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=∠BAC,得到如图2所示的△AC'D,
分别延长BC和DC'交于点E,则四边形ACEC'的形状是 ;
(2)创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使α=2∠BAC,得到如图3所示
的△AC'D,连接DB,C'C,得到四边形BCC'D,发现它是矩形.请你证明这个结论;
实践探究
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一个问题:将
△AC'D沿着射线DB方向平移a cm,得到△A'C″D',连接BD',CC″,使四边形BCC″D'恰好为正方形,求a
的值.请你解答此问题;
(4)请你参照以上操作,将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移,得到△A'C'D,在图4中画出平移
后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.
图4
23.(本题14分)
综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过
坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为
(-2,0),(6,-8),
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何
值时,△OPQ是等腰三角形.答案全解全析：
一、选择题
1.A 只有符号不同的两个数互为相反数,所以-1的相反数是-( 1)=1.
-
6 6 6
评析 相反数、倒数、绝对值等是山西中考数学第1题通常考查的内容,所以这些知识简单却很重
要.
2.C 解不等式x+5>0得x>-5,解不等式2x<6得x<3,所以不等式组的解集为-5
m
解析 反比例函数y= 中m<0,所以在每一个象限内,y随x的增大而增大,
x
∵m-1<0,m-3<0,m-1>m-3,∴y >y .
1 2
评析 本题考查反比例函数的性质,属容易题.
13.答案 (4n+1)
解析 第1个图案,阴影正方形有5=(4×1+1)个,
第2个图案,阴影正方形有9=(4×2+1)个,
第3个图案,阴影正方形有13=(4×3+1)个,
……
故第n个图案,阴影正方形有(4n+1)个.
评析 本题考查学生探索规律的能力.4
14.答案
9
解析 画树状图如图:
∴共有9种等可能的结果,都是奇数有4种结果,
4
∴P(都是奇数)= .
9
评析 本题考查概率问题,正确地画出树状图或列出表格是解题的关键.
15.答案 3- ( 2√5-2)
√5 或
√5+1
解析 ∵CD⊥AB,CD=AB=4,C为AB的中点,
1
∴AC= AB=2,
2
在Rt△DAC中,AD2=AC2+CD2,可得AD=2√5.
∵AE平分∠DAB,∴∠EAB=∠DAE.
∵EH⊥CD,∴EH∥AB,∴∠EAB=∠AEH=∠EAH,∴AH=EH,
易证四边形BCGE是矩形,∴CB=GE=2,
设HG=x,则HE=HA=x+2,∵HG∥AC,
DH GH 2√5-2-x x
∴△DHG∽△DAC,∴ = ,即 = ,
DA AC 2√5 2
2√5-2
解得x= =3-√5.
√5+1
评析 本题是一道几何综合题,考查学生综合应用知识的能力,解题的关键是把比较复杂的图形分成
等腰三角形,矩形和直角三角形,运用其性质找出未知量与已知量的关系,用方程的思想解决问题.
三、解答题
16.解析 (1)原式=9-5-4+1=1.
2x(x-1) x 2x x x x -2
(2)原式= - = - = .当x=-2时,原式= = =2.
(x-1)(x+1) x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 -2+1
17.解析 解法一:原方程可化为2(x-3)2=(x+3)(x-3),
2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,
(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,
(x-3)(x-9)=0,
解得x =3,x =9.
1 2
解法二:原方程可化为x2-12x+27=0.
a=1,b=-12,c=27.
∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=36>0,
12±√36 12±6
∴x= = =6±3.
2×1 2因此,原方程的根为x =3,x =9.
1 2
18.解析 (1)如图:
(2)1 800×30%=540(人).
∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生人数是540人.
(3)0.13( 13 ).
或13%或
100
19.解析 (1)证明:又∵∠A=∠C,
∴△MBA≌△MGC.∴MB=MG.
又∵MD⊥BC,∴BD=GD.
∴CD=CG+GD=AB+BD.
(2)2+2√2.
评析 本题把圆的知识放到数学文化背景上考查,既普及了数学文化又考查了圆的知识,还有助于提
高学生的阅读能力.
20.解析 (1)方案A:函数表达式为y=5.8x.
方案B:函数表达式为y=5x+2 000.
(2)由题意,得5.8x<5x+2 000.
解不等式,得x<2 500.
∴当购买量x的取值范围为2 000≤x<2 500时,选用方案A比方案B付款少.
(3)他应选择方案B.
评析 本题考查了一次函数的应用,根据题意准确地建立数学模型是解决问题的关键.
21.解析 如图,设G为射线AG与线段CD的交点.
则∠CAG=30°.1
在Rt△ACG中,CG=AC·sin 30°=50× =25(cm).
2
由题意,得GD=50-30=20(cm),
∴CD=CG+GD=25+20=45(cm).
连接FD并延长与BA的延长线交于点H.
由题意,得∠H=30°.在Rt△CDH中,
CD
CH= =2CD=90(cm),
sin30°
∴EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50-50+90=290(cm).
√3 290√3
在Rt△EFH中,EF=EH·tan 30°=290× = (cm).
3 3
290√3
答:支撑角钢CD的长为45 cm,EF的长为 cm.
3
评析 把解直角三角形问题与现代绿色能源的建设结合在一起,是数学应用的一个方向,引导了学生
在学习中要多关注现实生活.
22.解析 (1)菱形.
(2)证明:如图,作AE⊥CC'于点E.
1
由旋转得AC'=AC,∴∠CAE=∠C'AE= α=∠BAC.
2
由题意知BA=BC,∴∠BCA=∠BAC.
∴∠CAE=∠BCA,∴AE∥BC.
同理,AE∥DC',∴BC∥DC'.
又∵BC=DC',∴四边形BCC'D是平行四边形.
又∵AE∥BC,∠CEA=90°,
∴∠BCC'=180°-∠CEA=90°,
∴四边形BCC'D是矩形.
(3)过点B作BF⊥AC,垂足为F.
1 1
∵BA=BC,∴CF=AF= AC= ×10=5(cm).
2 2在Rt△BCF中,BF= = =12(cm).
√BC2-CF2 √132-52
在△ACE和△CBF中,∵∠CAE=∠BCF,∠CEA=∠BFC=90°,∴△ACE∽△CBF.
CE AC CE 10 120
∴ = ,即 = ,解得CE= .
BF BC 12 13 13
当四边形BCC″D'恰好为正方形时,分两种情况:
240 71
①点C″在边C'C上,a=C'C-13= -13= .
13 13
240 409
②点C″在C'C的延长线上,a=C'C+13= +13= .
13 13
71 409
综上所述,a的值为 或 .
13 13
(4)答案不唯一.
例:如图.
1
平移及构图方法:将△ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为 AC的长度,得到△A'C'D,连接A'B,DC.
2
结论:四边形A'BCD是平行四边形.
23.解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A(-2,0),D(6,-8),
{ 1
∴{ 4a-2b-8=0, 解得 a= ,
2
36a+6b-8=-8.
b=-3.
1
∴抛物线的函数表达式为y= x2-3x-8.
2
1 1 25
∵y= x2-3x-8= (x-3)2- ,
2 2 2
∴抛物线的对称轴为直线x=3.
又∵抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0),
∴点B的坐标为(8,0).
设直线l的函数表达式为y=kx(k≠0).
∵点D(6,-8)在直线l上,
4
∴6k=-8,解得k=- .
3
4
∴直线l的函数表达式为y=- x.
3
∵点E为直线l和抛物线对称轴的交点,
4
∴点E的横坐标为3,纵坐标为- ×3=-4,
3即点E的坐标为(3,-4).
(2)抛物线上存在点F,使△FOE≌△FCE.
点F的坐标为(3-√17,-4)或(3+√17,-4).
(3)解法一:
分两种情况:①当OP=OQ时,△OPQ是等腰三角形.
∵点E的坐标为(3,-4),∴OE= =5.
√32+42
OM OE
过点E作直线ME∥PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则 = .∴OM=OE=5.∴点M的坐标为(0,-5).
OP OQ
设直线ME的函数表达式为y=k x-5(k ≠0).
1 1
1
∴3k -5=-4,解得k = .
1 1
3
1
∴ME的函数表达式为y= x-5.
3
1
令y=0,得 x-5=0,解得x=15.
3
∴点H的坐标为(15,0).
OP OB -m 8 8
又∵MH∥PB,∴ = ,即 = ,∴m=- .
OM OH 5 15 3
②当QO=QP时,△OPQ是等腰三角形.
1
∵当x=0时,y= x2-3x-8=-8,
2
∴点C的坐标为(0,-8).
∴CE= =5.∴OE=CE.
√32+(8-4)2
∴∠1=∠2.又∵QO=QP,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3,∴CE∥PB.设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为y=k x-8(k ≠0),
2 2
4
∴3k -8=-4,解得k = .
2 2
3
4
∴CE的函数表达式为y= x-8.
3
4
令y=0,得 x-8=0.∴x=6.∴点N的坐标为(6,0).
3
OP OB -m 8 32
∵CN∥PB,∴ = ,∴ = ,解得m=- .
OC ON 8 6 3
8 32
综上所述,当m的值为- 或- 时,△OPQ是等腰三角形.
3 3
解法二:设抛物线的对称轴交直线PB于点M,与x轴交于点H.分两种情况:
①当QO=QP时,△OPQ为等腰三角形.
1
当x=0时,y= x2-3x-8=-8,
2
∴点C的坐标为(0,-8).
∵点E的坐标为(3,-4),
∴OE= =5,CE= =5,
√32+42 √(8-4)2+32
∴OE=CE,∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PB∥CE.
又∵HM∥y轴,
∴四边形PMEC是平行四边形.
∴EM=CP=-8-m.
∴HM=HE+EM=4+(-8-m)=-4-m,BH=8-3=5.
∵HM∥y轴,∴△BHM∽△BOP,
HM BH
∴ = ,
OP BO
-4-m 5
∴ = ,
-m 8
32
∴m=- .
3
②当OP=OQ时,△OPQ为等腰三角形.∵EH∥y轴,∴△OPQ∽△EMQ,
EQ EM
∴ = ,∴EQ=EM.
OQ OP
∴EM=EQ=OE-OQ=OE-OP=5-(-m)=5+m.
∴HM=4-(5+m)=-1-m.
∵EH∥y轴,∴△BHM∽△BOP.
HM BH -1-m 5
∴ = .∴ = ,
OP BO -m 8
8
∴m=- .
3
8 32
∴当m的值为- 或- 时,△OPQ为等腰三角形.
3 3
评析 本题考查学生的综合探究能力,通过对存在性和结论开放性问题的探究,考查学生综合运用所
学知识的能力.第(3)问考查学生运用分类讨论的思想方法解决问题的能力.
