2016 年沈阳市中等学校招生统一考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共20分)
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个答案是正确的.每小题2分,共20分)
1.下列各数是无理数的是( )
3
A.0 B.-1 C.√2 D.
7
2.下图是由4个大小相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的俯视图是( )
3.在我市2016年春季房地产展示交易会上,全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到
5 400 000平方米,将数据5 400 000用科学记数法表示为( )
A.0.54×107 B.54×105C.5.4×106 D.5.4×107
k
4.如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数 y= (x>0)图象上的一点,分别过点P作
x
PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.若四边形OAPB的面积为3,则k的值为( )
3 3
A.3 B.-3 C. D.-
2 2
5.“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是( )
A.确定事件 B.必然事件
C.不可能事件D.不确定事件
6.下列计算正确的是( )
A.x4+x4=2x8 B.x3·x2=x6
C.(x2y)3=x6y3 D.(x-y)(y-x)=x2-y2
7.已知一组数据:3,4,6,7,8,8,下列说法正确的是( )
A.众数是2 B.众数是8
C.中位数是6 D.中位数是7
8.一元二次方程x2-4x=12的根是( )
A.x =2,x =-6 B.x =-2,x =6
1 2 1 2C.x =-2,x =-6 D.x =2,x =6
1 2 1 2
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是( )
4√3
A. B.4 C.8√3 D.4√3
3
10.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象如图所示,点A(x ,y ),B(x ,y )是该二次函
1 1 2 2
数图象上的两点,其中-3≤x <x ≤0,则下列结论正确的是( )
1 2
A.y <y B.y >y
1 2 1 2
C.y的最小值是-3 D.y的最小值是-4
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题(每小题3分,共18分)
11.分解因式:2x2-4x+2= .
12.若一个多边形的内角和是540°,则这个多边形是 边形.
13.化简:( 1 )·(m+1)= .
1-
m+1
14.三个连续整数中,n是最大的一个,这三个数的和为 .(用含n的代数式表示)
15.在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲、乙两车分别从A,B两地出
发,沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程中,甲、乙两车各自
与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,当甲车出发 h时,
两车相距350 km.
16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线.点M是边BC上一
点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直
角三角形,则DO的长是 .三、解答题(第17小题6分,第18、19小题各8分,共22分)
17.计算:(π-4)0+|3-tan 60°|-(1) -2 + .
√27
2
18.为了传承优秀传统文化,某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》《三字
经》《弟子规》(分别用字母A,B,C依次表示这三个诵读材料).将A,B,C这三个字母分别写在
3张完全相同的不透明卡片的正面上,把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.小明和小亮
参加诵读比赛,比赛时小明先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的内容,放回后洗匀,再由
小亮从中随机抽取一张卡片,选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛.
(1)小明诵读《论语》的概率是 ;
(2)请用列表法或画树状图(树形图)法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率.
19.如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.
求证:(1)∠CEB=∠CBE;
(2)四边形BCED是菱形.
四、(每小题8分,共16分)
20.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动,为了解
学生对四种项目的喜欢情况,随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目(每名学生必选且
只能选择四种活动项目中的一种),并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表:
学生最喜欢的活动项目的人数统计表
项目 学生数(名) 百分比
丢沙包 20 10%
打篮球 60 p%
跳大绳 n 40%
踢毽球 40 20%学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图
根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ,p= ;
(2)请根据以上信息补全条形统计图;
(3)根据抽样调查结果,请你估计该校2 000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳.
21.如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作
☉O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若☉O的半径为5,∠CDF=30°,求 ⏜ 的长.(结果保留π)
BD
五、(本题10分)
22.倡导健康生活,推进全民健身,某社区要购进A,B两种型号的健身器材若干套,A,B两种型号
健身器材的购买单价分别为每套310元,460元,且每种型号健身器材必须整套购买.
(1)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且恰好支出20 000 元,求A,B两种型号健身器
材各购买多少套;
(2)若购买A,B两种型号的健身器材共50套,且支出不超过18 000元,求A种型号健身器材至
少要购买多少套.六、(本题10分)
23.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O为坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为
(0,1),点C为边AB的中点.正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上,连接CO,CD,CE.
(1)线段OC的长为 ;
(2)求证:△CBD≌△COE;
(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O B D E ,其中点O,B,D,E的对应点分别为
1 1 1 1
点O ,B ,D ,E ,连接CD ,CE ,设点E 的坐标为(a,0),其中a≠2,△CD E 的面积为S.
1 1 1 1 1 1 1 1 1
①当1<a<2时,请直接写出S与a之间的函数表达式;
··
1
②在平移过程中,当S= 时,请直接写出a的值.
4 ··
七、(本题12分)
24.在△ABC中,AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转,得到△ADE,旋转角为
α(0°<α<180°),点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD,BE.
(1)如图,当α=60°时,延长BE交AD于点F.
①求证:△ABD是等边三角形;
②求证:BF⊥AD,AF=DF;
③请直接写出BE的长;
··
(2)在旋转过程中,过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当∠DAG=∠ACB,且线段
DG与线段AE无公共点时,请直接写出BE+CE的值.
··
温馨提示:学生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.八、(本题12分)
25.如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴
3
上,OC=8,OE=17.抛物线y= x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与
20
CD交于点K.
(1)将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.
①点B的坐标为( , ),BK的长是 ,CK的长是 ;
②求点F的坐标;
③请直接写出抛物线的函数表达式;
··
(2)将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连接OG,折痕与
OG 交于点 H,点 M 是线段 EH 上的一个动点(不与点 H 重合),连接 MG,MO,过点 G 作
GP⊥OM于点P,交EH于点N,连接ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重
合时停止.△MOG和△NOG的面积分别表示为S 和S ,在点M的运动过程中,S ·S (即S 与S
1 2 1 2 1 2
的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化范围;若不变,请直接写出这个值.
·· ··
温馨提示:学生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.
答案全解全析：
一、选择题3
1.C 0、-1、 是有理数,√2是无理数.故选C.
7
2.A 由俯视图的定义可知选项A正确.
3.C 5 400 000=5.4×106,故选C.
4.A 设点P的横坐标为x ,纵坐标为y ,由题意得OA=x ,OB=y .由题意可知,四边形OAPB为
P P P P
k
矩形,∵四边形OAPB的面积为3,∴OA·OB=x ·y =3,又∵点P在反比例函数y= (x>0)的图象
P P
x
上,∴x ·y =k=3,故选A.
P P
5.D 不确定事件即随机事件,是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.显然,事件
“射击运动员射击一次,命中靶心”是不确定事件,故选D.
6.C A项:x4+x4=2x4,本选项错误;
B项:x3·x2=x3+2=x5,本选项错误;
C项:(x2y)3=(x2)3y3=x6y3,本选项正确;
D项:(x-y)(y-x)=-(x-y)2,本选项错误.故选C.
7.B 数据8出现的次数最多,故众数为8,故选项A错误,B正确;将这组数据按从小到大的顺
6+7
序排列后,最中间的两个数据为6,7,故中位数为 =6.5,故选项C,D错误.故选B.
2
评析 解此类题的关键是掌握中位数、众数的概念:中位数是将一组数据按从小到大或从大
到小的顺序排列后,处于最中间的那个数据(或最中间两个数据的平均数);众数是一组数据中
出现次数最多的那个数据.
8.B 原方程配方得x2-4x+4=16,即(x-2)2=16,故x-2=±4,∴x =-2,x =6,故选B.
1 2
1
9.D ∵∠C=90°,∠B=30°,∴AC= AB=4,由勾股定理得BC=√AB2-AC2=√82-42=4√3,
2
故选D.
10.D 二次函数 y=x2+2x-3=(x+1)2-4 图象的顶点坐标为(-1,-4).令 x2+2x-3=0,解得
x =-3,x =1,则二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴的两个交点为(-3,0),(1,0).由-3≤x <x ≤0及
1 2 1 2
二次函数的图象可知,y ,y 的大小不能确定,∴选项A,B错误;y =-4,∴选项C错误,故选D.
1 2 min
评析 本题考查了二次函数的图象和性质,难度适中.
二、填空题
11.答案 2(x-1)2
解析 2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.
12.答案 五
解析 设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=540°,解得n=5.
13.答案 m
解析 ( 1 )·(m+1)=m+1- 1 ·(m+1)=m+1-1=m.
1-
m+1 m+1
14.答案 3n-3
解析 三个连续整数中,n是最大的一个,则前两个分别为n-1,n-2,所以这三个数的和为n+
(n-1)+(n-2)=3n-3.
3
15.答案
2
解析 由题图可知乙车是在甲车出发1小时后出发的,且A、B两地与C地的距离都为240240 240
km,即A、B两地的距离为 480 km.甲车的速度为 =60 km/h,乙车的速度为 =80
4 4-1
3
km/h.设当甲车出发x h时,两车相距350 km,则480-60x-80(x-1)=350,解得x= .
2
评析 本题考查函数的图象,求解时需要从抽象的函数图象中找出实际的量,然后根据实际情
况列出方程计算出结果.
25 50
16.答案 或
6 13
解析 ∵∠A=90°,AB=AC,BC=20,∴AB=AC=10√2,
∵DE是△ABC的中位线,
1
∴DE∥BC,DE= BC=10,BD=CE=5√2.
2
①当DN⊥BC时,△OMN为直角三角形(如图),
易知△BDN为等腰直角三角形,∴BN=DN=5,
∵BM=3,∴MN=2,
∵DE∥BC,∴△ODE∽△ONM,
OD DE OD 10 25
∴ = ,即 = ,解得OD= .
ON NM 5-OD 2 6
②当DN⊥ME时,△OMN为直角三角形(如图),过点E作EF⊥BC,垂足为点F.
易知△CEF为等腰直角三角形,∴EF=FC=5,
∵BM=3,∴MF=20-3-5=12,
在Rt△MFE中,ME= = =13,
√EF2+M F2 √52+122
∵DE∥BC,∴∠DEO=∠EMF,
∵∠DOE=∠EFM=90°,∴△ODE∽△FEM,
OD DE OD 10
∴ = ,即 = ,
FE EM 5 13
50
解得OD= .
13
25 50
综上所述,DO的长是 或 .
6 13
评析 对于几何探究型问题,分类讨论思想是重点考查内容.本题中,要对△OMN分两种情况
进行讨论,一是∠ONM为直角时,二是∠MON为直角时.
三、解答题
17.解析 原式=1+3-√3-4+3√3=2√3.1
18.解析 (1) .
3
(2)列表得
小亮
A B C
小明
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
或画树状(形)图得
由表格(或树状图/树形图)可知,共有9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中
小明和小亮诵读两个不同材料的结果有6种:(A,B),(A,C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B),
6 2
故P(小明和小亮诵读两个不同材料)= = .
9 3
19.证明 (1)∵△ABC≌△ABD,∴∠ABC=∠ABD.
∵CE∥BD,∴∠CEB=∠DBE,∴∠CEB=∠CBE.
(2)∵△ABC≌△ABD,∴BC=BD.
由(1)得∠CEB=∠CBE,∴CE=CB,∴CE=BD,
∵CE∥BD,∴四边形BCED是平行四边形.
∵BC=BD,
∴四边形BCED是菱形.
四、
20.解析 (1)200;80;30.
(2)补全条形统计图如下.
学生最喜欢的活动项目的人数条形统计图
(3)2 000×40%=800(名).
答:估计该校2 000名学生中约有800名学生最喜欢跳大绳.
21.解析 (1)证明:连接OD.∵DF是☉O的切线,D为切点,
∴OD⊥DF,∴∠ODF=90°.
∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线.
∴OD∥AC,∴∠CFD=∠ODF=90°,
∴DF⊥AC.
(2)∵∠CDF=30°,由(1)知∠ODF=90°,
∴∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60°.
∵OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD=60°,
nπR 60π×5 5
∴ ⏜ 的长= = = π.
BD
180 180 3
五、
22.解析 (1)设购买A种型号健身器材x套,B种型号健身器材y套,根据题意,得
{ x+ y=50, {x=20,
解得
310x+460 y=20 000, y=30.
答:购买A种型号健身器材20套,B种型号健身器材30套.
(2)设购买A种型号健身器材z套,根据题意,得
310z+460(50-z)≤18 000,
1
解得z≥33 .
3
∵z为整数,∴z的最小值为34.
答:A种型号健身器材至少要购买34套.
六、
√17
23.解析 (1) .
2
(2)证明:∵∠AOB=90°,点C为AB中点,
1
∴OC= AB=BC,∴∠CBO=∠COB.
2
∵四边形OBDE是正方形,∴BD=OE,∠DBO=∠EOB=90°.
∴∠DBO-∠CBO=∠EOB-∠COB,
即∠CBD=∠COE,∴△CBD≌△COE.
1
(3)①S=- a+1.
2
3 5
② 或 .
2 2
七、24.解析 (1)①证明:∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE,
∴AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形.
②证明:由①得△ABD是等边三角形,∴AB=BD.
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△ADE,
∴AC=AE,BC=DE.
又∵AC=BC,∴EA=ED.
∵点B,E在AD的中垂线上,∴BE是AD的中垂线.
∵点F在BE的延长线上,∴BF⊥AD,AF=DF.
③3√3-4.
(2)13.
评析 本题以图形的旋转为背景,考查了旋转的性质、等边三角形的性质、垂直平分线的性
质等知识,属难题.
八、
25.解析 (1)①(10,0);8;10.
②由折叠可得BF=OB=10,
∵直线BK是抛物线的对称轴,
∴BK⊥x轴,∴∠KBO=90°.
∵四边形OCDE是矩形,∴CK∥OB,
∴∠CKB+∠KBO=180°,∴∠CKB=90°.
在Rt△FKB中,BK=8,由勾股定理得
FK= = =6,
√BF2-BK2 √102-82
∴CF=CK-FK=10-6=4,即点F的横坐标为4,
又易知点F的纵坐标为8,∴点F的坐标为(4,8).
3
③y= x2-3x+5.
20
(2)不变,289.
