文档内容
2015 年南宁市初中毕业升学考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共36分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)
每小题都给出代号为A、B、C、D四个结论,其中只有一个是正确的.
1.3的绝对值是( )
1 1
A.3 B.-3C. D.-
3 3
2.如图是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是( )
3.南宁快速公交(简称:BRT)将在今年底开始动工,预计2016年下半年建成并投入试运营.首条
BRT西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为11 300米.其中数据11 300用科学记数法表示
为( )
A.0.113×105 B.1.13×104 C.11.3×103 D.113×102
4.某校男子足球队的年龄分布如条形图所示,则这些队员年龄的众数是( )
A.12 B.13 C.14 D.15
5.如图,一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上,且BC∥DE,则∠CAE等
于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.不等式2x-3<1的解集在数轴上表示为( )
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为( )A.35° B.40° C.45° D.50°
8.下列运算正确的是( )
A.4ab÷2a=2ab B.(3x2)3=9x6 C.a3·a4=a7 D.√6÷√3=2
9.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
10.如图,已知经过原点的抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1.下列结论
中:①ab>0;②a+b+c>0;③当-20)上,点B在双曲线y= (x>0)上(点B在点A的右侧),且
x x
AB∥x轴.若四边形OABC是菱形,且∠AOC=60°,则k= .18.如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动:第1次点A向左移动3个单位长
度到达点A,第2次从点A 向右移动6个单位长度到达点A,第3次从点A 向左移动9个单
1 1 2 2
位长度到达点A,……,按照这种移动规律进行下去,第n次移动到达点A.如果点A 与原点的
3 n n
距离不小于20,那么n的最小值是 .
三、解答题(本大题共2小题,每小题满分6分,共12分)
19.计算:2 0150+(-1)2-2tan 45°+√4.
1
20.先化简,再求值:(1+x)(1-x)+x(x+2)-1,其中x= .
2
四、解答题(本大题共2小题,每小题满分8分,共16分)21.如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,1),B(-3,1),C(-1,4).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB C ;
1 1 1
(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△ABC .请在图中画出△ABC ,并求出线段BC在旋
2 2 2 2
转过程中所扫过的面积.(结果保留π)
22.今年5月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试.为了了解该校九年级(1)班学生
的中考体育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制出以下不完整的频数分布表
和扇形统计图.请根据图表中的信息解答下列问题:
分组 分数段(分) 频数
A 36≤x<41 2
B 41≤x<46 5
C 46≤x<51 15
D 51≤x<56 m
E 56≤x<61 10
(1)求全班学生人数和m的值;
(2)直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段;
(3)该班中考体育成绩满分(60分)共有3人,其中男生2人,女生1人,现需从这3人中随机选取
2人到八年级进行经验交流.请用“列表法”或“画树状图法”,求出恰好选到一男一女的概
率.五、解答题(本大题满分8分)
23.如图,在▱ABCD中,E,F分别是AB,DC边上的点,且AE=CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若∠DEB=90°,求证:四边形DEBF是矩形.
六、解答题(本大题满分10分)
24.如图①,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上,修建一个
长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道,设甬道的宽为a米.
图①
(1)用含a的式子表示花圃的面积;
3
(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的 ,求此时甬道的宽;
8
(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y(元)、y(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系
1 2
如图②所示.如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的甬道宽不少于2米且不超过
10米,那么甬道宽为多少米时,修建的甬道和花圃的总造价最低?最低总造价为多少元?
图②七、解答题(本大题满分10分)
⏜ ⏜
25.如图,AB是☉O的直径,C,G是☉O上两点,且 AC=CG.过点C的直线CD⊥BG于点D,交
BA的延长线于点E,连结BC,交OD于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
OF 2
(2)若 = ,求∠E的度数;
FD 3
(3)连结AD,在(2)的条件下,若CD=√3,求AD的长.
八、解答题(本大题满分10分)
26.在平面直角坐标系中,已知A,B是抛物线y=ax2(a>0)上两个不同的动点,其中A在第二象
限,B在第一象限.
(1)如图①所示,当直线AB与x轴平行,∠AOB=90°,且AB=2时,求此抛物线的解析式和A,B
两点的横坐标的乘积;
(2)如图②所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠AOB仍为90°时,A,B两点
的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若直线y=-2x-2分别交直线AB,y轴于点P,C,直线AB交y轴于点D,且
∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.
图① 图②答案全解全析：
一、选择题
1.A 因为|3|=3,所以选项A正确.故选A.
2.B 由题意可知,主视图有两层,上面的一层有一个正方形,在左侧下面的一层有两个正方形.
选项B符合.故选B.
3.B 11 300=1.13×104.故选B.
4.C 14岁的人数最多,所以众数为14.故选C.
5.A ∵DE∥BC,∴∠CAE=∠C=30°.故选A.
6.D ∵2x-3<1,∴2x<4,∴x<2.在数轴上表示应为从2画起(空心),向左,选项D符合题意,故选
D.
1
7.A ∵AB=AD,∴∠ADB=∠B=70°,∵AD=DC,∴∠C=∠DAC.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠C=
2
∠ADB=35°.故选A.
8.C 4ab÷2a=2b,选项A错误;(3x2)3=27x6,选项B错误;√6÷√3=√2,选项D错误;a3·a4=a7,选项C
正确.故选C.
360°
9.B 由(n-2)·180°=540°,得n=5,所以每一个外角等于 =72°.故选B.
5
b
10.D 因为对称轴为直线x=- <0,所以ab>0,所以①正确;当x=1时,y=a+b+c>0,所以②正确;
2a
由对称轴可知抛物线与x轴的交点坐标为(-2,0),(0,0),所以-2-x,即x>0时,max{x,-x}=x,
2x+1
=x,解这个方程可得x=1±√2.经检验,x=1±√2是原方程的解.∵x>0,∴x=1+√2.
x
(2)当x<-x,即x<0时,max{x,-x}=-x,
2x+1
=-x,解这个方程可得x=-1.经检验,x=-1是原方程的解.
x
综上所述,x=1+√2或x=-1.故选D.
评析 本题是新概念学习题,考查的是分类讨论思想与解一元二次方程.属中档题.
二、填空题
13.答案 a(x+y)
解析 ax+ay=a(x+y).
14.答案 x≠1
1
解析 若分式 有意义,则分母x-1≠0,即x≠1.
x-1
15.答案 0.6
解析 一共有5个小球,标号是奇数的小球有3个,所以取出的小球标号是奇数的概率是
3÷5=0.6.
16.答案 45
解析 由题意可知,∠BAE=150°,BA=AE,∴∠AEB=15°.∴∠BED=45°.
17.答案 6√3
解析 作AD⊥x轴交x轴于点D,∵∠AOC=60°,∴AD=√3OD,∴可设A(x,√3x).
2√3
∵点A在双曲线y= (x>0)上,∴x·√3x=2√3.
x
∴x2=2.∵x>0,∴x=√2.∴A(√2,√6).
∴OA=2√2.∵四边形OABC是菱形,
∴AB=OA=2√2.∵AB∥x轴,∴B(3√2,√6).
k
∵点B在双曲线y= (x>0)上,
x
∴k=xy=3√2×√6=6√3.
评析 本题考查了反比例函数与菱形的综合应用,需要借助反比例函数关系式求出菱形的边
长,再利用菱形的性质求出反比例函数图象上的点的坐标.属中档题.
18.答案 13
解析 根据题意,写出移动后各点所表示的数:
A:-2 A:4 A:-5 A:7 A:-8 A:10
1 2 3 4 5 6
A:-11 A:13 A:-14 A :16 A :-17 A :19
7 8 9 10 11 12
A :-20
13
如果点A 与原点的距离不小于20,那么n的最小值是13.
n
三、解答题
19.解析 原式=1+1-2×1+2(4分)
=2.(6分)
20.解析 原式=1-x2+x2+2x-1(2分)
=2x.(4分)
1 1
当x= 时,原式=2× =1.(6分)
2 2
四、解答题
21.解析 (1)△AB C 如图所示.(3分,正确作出一点给1分)
1 1 1
(2)△ABC 如图所示.(6分,正确作出一点给1分)
2 2
在Rt△ABC中,AB=2,AC=3,
∴BC=√22+32=√13.(7分)
∵∠CBC =90°,
2
90π(√13)2 13π
∴S = = .(8分)
扇形BCC 2 360 4
22.解析 (1)全班学生人数:15÷30%=50(人).(2分)
m=50-2-5-15-10=18.(3分)
(2)51≤x<56.(5分)
(3)画树状图或列表如下:或
男 男 女
1 2
男 男 男 女男
1 2 1 1
男 男 男 女男
2 1 2 2
女 男 女 男 女
1 2
(7分)
由图或表可知,所有可能出现的结果共有6种,并且它们出现的可能性相等,“一男一女”的结果有4种,即:男
1
女,男
2
女,女
男 ,女男 .
1 2
2
∴P(一男一女)= .(8分)
3
五、解答题
23.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∠A=∠C.(2分)
∵AE=CF,(3分)
∴△ADE≌△CBF.(4分)
(2)证法一:∵△ADE≌△CBF,
∴DE=BF.(5分)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
∵AE=CF,
∴AB-AE=CD-CF.
∴EB=DF.(6分)
∴四边形DEBF是平行四边形.(7分)
∵∠DEB=90°,
∴▱DEBF是矩形.(8分)
证法二:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.(5分)
∵AE=CF,
∴AB-AE=CD-CF.
∴EB=DF.(6分)
∴四边形DEBF是平行四边形.(7分)
∵∠DEB=90°,
∴▱DEBF是矩形.(8分)
六、解答题
24.解析 (1)花圃的面积为
(60-2a)(40-2a)平方米或(4a2-200a+2 400)平方米.(2分)( 3)
(2)(60-2a)(40-2a)=60×40× 1- ,(4分)
8
即a2-50a+225=0,解得a=5,a =45(不合题意,舍去).
1 2
∴此时甬道的宽为5米.(5分)
(3)∵2≤a≤10,花圃面积随着甬道宽的增大而减小,
∴800≤x ≤2 016.
花圃
由图象可知,当 x≥800 时,设 y=kx+b,因为直线 y=kx+b 经过点(800,48 000)与(1 200,62
2 2 2 2
000),所以
{ 800k +b=48 000, { k =35,
2 解得 2
1 200k +b=62 000. b=20 000.
2
∴y=35x+20 000.(6分)
2
当x≥0时,设y=kx,因为直线y=kx经过点(1 200,48 000),所以1 200k=48 000.
1 1 1 1 1
解得k=40.∴y =40x.(7分)
1 1
设修建甬道、花圃的总造价为y元,依题意,得
解法一:y=y +y =40(60×40-x )+35x +20 000
甬道 花圃 花圃 花圃
=40(2 400-4a2+200a-2 400)+35(4a2-200a+2 400)+20 000(8分)
=-20a2+1 000a+104 000=-20(a-25)2+116 500.
∵-20<0,∴当a<25时,y随a的增大而增大.(9分)
而2≤a≤10,∴当a=2时,y =105 920.
最小
∴当甬道的宽为2米时,修建甬道、花圃的总造价最低,最低为105 920元.(10分)
解法二:y=y +y =40(60×40-x )+35x +20 000(8分)
甬道 花圃 花圃 花圃
=-5x +116 000.
花圃
∵-5<0,∴y随x 的增大而减小.(9分)
花圃
而800≤x ≤2 016,
花圃
∴当x =2 016时,y =105 920.
花圃 最小
∴当x =2 016时,4a2-200a+2 400=2 016.
花圃
解得a=2,a =48(不合题意,舍去).
1 2
∴当甬道的宽为2米时,修建甬道、花圃的总造价最低,最低为105 920元.(10分)
解法三:y=y +y =40x +35(60×40-x )+20 000(8分)
甬道 花圃 甬道 甬道
=5x +104 000.
甬道
∵5>0,∴y随x 的增大而增大.(9分)
甬道
而800≤x ≤2 016,
花圃
∴384≤x ≤1 600.
甬道
∴当x =384时,y =105 920.
甬道 最小
∴当x =384时,60×40-(4a2-200a+2 400)=384.
甬道
解得a=2,a =48(不合题意,舍去).
1 2
∴当甬道的宽为2米时,修建甬道、花圃的总造价最低,最低为105 920元.(10分)
评析 本题考查的是一元二次方程与函数的实际应用,需要通过实际问题的情境和函数图象
列出合理的表达式,属较难题.
七、解答题
25.解析 (1)证法一:连结半径OC.⏜ ⏜
∵AC = CG ,
∴∠ABC=∠CBG.(1分)
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠CBG.
∴OC∥BD.(2分)
∵CD⊥BD,
∴OC⊥CD.
∴CD是☉O的切线.(3分)
证法二:连结半径OC.
⏜ ⏜
∵AC = CG ,
∴∠ABC=∠CBG.(1分)
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠CBG.(2分)
∵CD⊥BD,
∴∠DCB+∠CBG=90°.
∴∠DCB+∠OCB=90°.
∴OC⊥CD.
∴CD是☉O的切线.(3分)
(2)∵OC∥BD,
∴△OCF∽△DBF,△EOC∽△EBD.(4分,至少写出一对三角形相似给1分)
OC OF OC OE
∴ = , = .
BD DF BD BE
OF 2
∵ = ,
DF 3
OE 2
∴ = .(5分)
BE 3
x 2
设OC=OB=r,OE=x,则 = ,
x+r 3
解得x=2r.
∴OE=2r.(6分)
OC r 1
在Rt△OEC中,sin E= = = ,
OE 2r 2
∴∠E=30°.(7分)
(3)∵∠E=30°,CD⊥BD,
∴∠ABD=60°,∠ABC=∠CBD=30°.CD
∴BC=2CD=2√3,BD= =3.
tan30°
OC OF 2
解法一:∵ = = ,
BD DF 3
∴OC=2,AB=4.(8分)
连结AG.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AGB=90°,
∵∠ABD=60°,
∴∠BAG=30°.
1
∴BG= AB=2,AG=2√3.(9分)
2
∴DG=BD-BG=1.
∴AD=√AG2+DG2=√(2√3)2+12=√13.(10分)
解法二:连结AC.
∵AB是☉O直径,
∴∠ACB=90°.
BC 2√3
∴AB= = =4.(8分)
cos∠ABC cos30°
过点D作DM⊥AB于点M.
3√3 3
∴DM=BD·sin 60°= ,BM=BD·cos 60°= .
2 2
3 5
∴AM=AB-BM=4- = .(9分)
2 2
∴AD=√DM2+AM2=
√ (3√3) 2
+
(5) 2
=√13.(10分)
2 2
八、解答题
26.解析 (1)∵抛物线y=ax2(a>0)关于y轴对称,AB与x轴平行,
∴A,B关于y轴对称.
∵∠AOB=90°,AB=2,
∴A(-1,1),B(1,1).(1分)
∴1=a(-1)2,解得a=1.∴抛物线的解析式为y=x2.(2分)
∵A(-1,1),B(1,1),
∴A,B两点的横坐标的乘积为-1.(3分)
(2)过A,B分别作AG,BH垂直x轴于G,H.
由(1)可设A(m,m2),B(n,n2),m<0,n>0.(4分)
∵∠AOB=∠AGO=∠BHO=90°,
∴∠AOG+∠BOH=∠AOG+∠OAG=90°.
∴∠BOH=∠OAG.(5分)
∴△AGO∽△OHB.
AG OH
∴ = .(6分)
OG BH
m2 n
∴ = ,化简得mn=-1.
-m n2
∴A,B两点的横坐标的乘积是常数-1.(7分)
(3)解法一:过A,B分别作AA ,BB 垂直y轴于A,B .
1 1 1 1
设A(m,m2),B(n,n2),D(0,b),m<0,n>0,b>0.
∵AA∥BB ,
1 1
∴△AA D∽△BB D.
1 1
A A BB -m n
∴ 1 = 1 ,即 = ,化简得mn=-b.
DA B D m2-b b-n2
1 1
∵mn=-1,
∴b=1,D(0,1).(8分)
∵∠BPC=∠OCP,C(0,-2),
∴DP=DC=3.
设P(c,-2c-2),过点P作PQ⊥y轴于Q.
∵PQ2+DQ2=PD2,
∴c2+(-2c-2-1)2=32.(9分)
12
解得c=0(舍去),c =- ,
1 2 5
14
-2c-2= .
5( 12 14)
∴P - , .(10分)
5 5
解法二:设直线AB:y=kx+b(k≠0),A(m,m2),B(n,n2),m<0,n>0,b>0.
{y=kx+b,
联立得 得x2-kx-b=0,依题意可知m,n是方程x2-kx-b=0的两根.
y=x2,
∴m2-km-b=0,n2-kn-b=0.
∴nm2-kmn-bn=0,mn2-kmn-bm=0.
两式相减,并化简得mn=-b.
∵mn=-1,
∴b=1,D(0,1).(8分)
∵∠BPC=∠OCP,C(0,-2),
∴DP=DC=3.
设P(c,-2c-2),过点P作PQ⊥y轴于Q.
∵PQ2+DQ2=PD2,
∴c2+(-2c-2-1)2=32.(9分)
12
解得c=0(舍去),c =- ,
1 2 5
14
-2c-2= .
5
( 12 14)
∴P - , .(10分)
5 5
评析 本题考查的是函数图象与三角形的综合应用,需要借助抛物线表示出点的坐标,并借助
相似三角形的性质、勾股定理列出方程.属较难题.
