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2015 年连云港市高中段学校招生统一文化考试
数学试题（含答案全解全析）
( b 4ac-b2 )
参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为 - , .
2a 4a
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的)
1.-3的相反数是( )
1 1
A.3 B.-3 C. D.-
3 3
2.下列运算正确的是( )
A.2a+3b=5ab B.5a-2a=3a C.a2·a3=a6 D.(a+b)2=a2+b2
3.2014年连云港高票当选全国“十大幸福城市”,在江苏十三个省辖市中居第一位,居民人均
可支配收入约18 000元.其中“18 000”用科学记数法表示为( )
A.0.18×105 B.1.8×103 C.1.8×104 D.18×103
4.某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛,选拔赛中每名学生的平均成绩
x及其方差s2如表所示.如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛,则应选择的学生是(
)
甲 乙 丙 丁
x 8 9 9 8
s2 1 1 1.2 1.3
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.已知四边形ABCD,下列说法正确的是( )
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
6.已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
1 1
A.k< B.k>-
3 3
1 1
C.k< 且k≠0 D.k>- 且k≠0
3 3
7.如图,O为坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=
k
(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为( )
xA.-12 B.-27 C.-32 D.-36
8.如图是本地区一种产品30天的销售图象,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间 t(单位:
天)的函数关系,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系.已知日
销售利润=日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是( )
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程)
9.数轴上表示-2的点与原点的距离是 .
1
10.代数式 在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
x-3
11.已知m+n=mn,则(m-1)(n-1)= .
12.如图,一个零件的横截面是六边形,这个六边形的内角和为 °.
13.已知一个函数,当 x>0 时,函数值 y 随着 x 的增大而减小,请写出这个函数关系式
(写出一个即可).
14.如图是一个几何体的三视图,其中主视图与左视图都是边长为 4的等边三角形,则这个几
何体的侧面展开图的面积为 .
15.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD 是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是
.
16.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l∥l∥l,l 与l 之间距离是1,l 与l 之间距离
1 2 3 1 2 2 3是2.且l,l,l 分别经过点A,B,C,则边AC的长为 .
1 2 3
三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
(1) -1
17.(本题满分6分)计算:√(-3)2+ -2 0150.
2
18.(本题满分6分)化简:( 1 )÷m2-4.
1+
m+1 m2+m
{ 2x+1>5,
19.(本题满分6分)解不等式组
x+1>4(x-2).
20.(本题满分8分)随着我市社会经济的发展和交通状况的改善,我市的旅游业得到了高速发
展.某旅游公司对我市一企业个人旅游年消费情况进行问卷调查,随机抽取部分员工,记录每
个人年消费金额,并将调查数据适当整理,绘制成如下两个尚不完整的表和图:
个人年消费金额 频数
组别 频率
x(元) (人数)
A x≤2 000 18 0.15
B 2 0008 000 12 0.10
合计 c 1.00
根据以上信息回答下列问题:
(1)a= ,b= ,c= ,并将条形统计图补充完整;(2)这次调查中,个人年消费金额的中位数出现在 组;
(3)若这个企业有3 000名员工,请你估计个人旅游年消费金额在6 000元以上的人数.
21.(本题满分10分)九(1)班组织班级联欢会,最后进入抽奖环节,每名同学都有一次抽奖机会.
抽奖方案如下:将一副扑克牌中点数为“2”“3”“3”“5”“6”的五张牌背面朝上洗匀,先从中抽出1
张牌,再从余下的4张牌中抽出1张牌,记录两张牌点数后放回,完成一次抽奖.记每次抽出两
张牌点数之差为x,按下表要求确定奖项.
奖项 一等奖 二等奖 三等奖
|x| |x|=4 |x|=3 1≤|x|<3
(1)用列表或画树状图的方法求出甲同学获一等奖的概率;
(2)是否每次抽奖都会获奖?为什么?
22.(本题满分10分)如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠,折叠后点C落在点F
处,DF交AB于点E.
(1)求证:∠EDB=∠EBD;
(2)判断AF与DB是否平行,并说明理由.
23.(本题满分10分)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原
定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数,现在只花费
了4 800元.
(1)求每张门票的原定票价;(2)根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施,原定票价经过连续二次
降价后降为324元,求平均每次降价的百分率.
24.(本题满分10分)已知如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=√3x-2√3与x轴、y轴分别
交于A,B两点,P是直线AB上一动点,☉P的半径为1.
(1)判断原点O与☉P的位置关系,并说明理由;
(2)当☉P过点B时,求☉P被y轴所截得的劣弧的长;
(3)当☉P与x轴相切时,求出切点的坐标.
25.(本题满分10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD.过点
D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.
(1)求BD·cos∠HBD的值;
(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.26.(本题满分12分)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动.将边长为2的正方形
ABCD与边长为2√2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG
在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他
求出此时BE的长;
(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为
H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.
图1 图2
图31
27.(本题满分14分)如图,已知一条直线过点(0,4),且与抛物线y= x2交于A,B两点,其中点A
4
的横坐标是-2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标;
(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说
明理由;
(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横
坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?答案全解全析：
一、选择题
1.A -3的相反数是-(-3)=3,故选A.
2.B 选项A,2a与3b不是同类项,不能合并,错误;选项B,5a-2a=3a,正确;选项C,a2·a3=a2+3=a5,错
误;选项D,(a+b)2=a2+2ab+b2,错误.故选B.
3.C 用科学记数法将数表示成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.本题a=1.8,n=4,故选C.
4.B 成绩高就是平均分高,发挥稳定就是方差小, = > = , < ,所以乙符合条件,
x x x x s2 s2
乙 丙 甲 丁 乙 丙
故选B.
5.B 判断四个说法的对错时,可画出图形,根据图形作出判断.两组对边分别相等的四边形是
平行四边形,选项B正确,故选B.
1
6.A 根据方程有两个不相等的实数根,知Δ=(-2)2-12k>0,解得k< ,故选A.
3
7.C 过点A作菱形ABCO的高AE,在Rt△AEO中,AE=4,EO=3,由勾股定理得AO=5,所以
k k
AB=5,所以B点坐标为(-8,4),又点B在y= (x<0)的图象上,所以4= ,得k=-32,故选C.
x -8
8.C 由函数图象获得相关数据,两幅图的横轴表示的都是时间t,由题图①中横坐标为24的
点的纵坐标是200,即可判断A正确.由题图①中横坐标为30的点的纵坐标是150与题图②
中横坐标为30的点的纵坐标是5,得第30天的日销售利润为150×5=750(元),选项D正确.求
25
{ t+100(0≤t≤24),
出y与t之间的函数关系式为y= 6 求出z与t之间的函数关系式为
25
400- t(240时,函数值y随着x的增大而减小”,写出具有该性质的一次函数,反比例
函数,二次函数均可.
14.答案 8π
解析 根据三视图可判断该几何体是母线长与底面直径均为 4的圆锥,其侧面展开图是扇形,
∴S =π×2×4=8π.
侧
15.答案 4∶3
解析 如图,过点D分别作AB、AC边上的高DE、DF,由角平分线的性质可得DE=DF,
1
∵S = AB·DE,S
△ABD
2
△ACD
1
= AC·DF,
2
1
AB·DE
S 2 AB 4
∴ △ABD= = = ,
S 1 AC 3
△ACD AC·DF
2
即S ∶S =4∶3.
△ABD △ACD
评析 由AD是角平分线想到利用“角平分线的性质”解题,即利用“角平分线上的点到角
两边的距离相等”,从而得到两个三角形的相应高相等.
2
16.答案 √21
3
解 析 过 B 作 l 的 垂 线 与 l 和 l 分 别 相 交 于 D 、 E 两 点 , 得 到 Rt△ABD 与
1 1 3
Rt△BCE,BD=1,BE=2,DE=3.易求得∠ABD=∠BCE,
∵∠ADB=∠BEC=90°,
∴△ABD∽△BCE,
AD AB
∴ = .在Rt△ABC中,∠BAC=60°,
BE BC
BC AD 1
∴tan 60°= =√3.∴ = ,
AB 2 √3
∴AD=2√3.在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=
√BD2+AD2
=√
12+
(2√3) 2 =√21.
3 3 3√21
AB 3 2√21
∴AC= = = .
cos60° 1 3
2
评析 本题需要构造直角三角形,综合考查了学生对平行线的性质、平行线间的距离、勾股
定理的应用的掌握程度,难度高,计算量大,逻辑思维要求高,属于较难题.
三、解答题
17.解析 原式=3+2-1(5分)
=4.(6分)
m+2 (m+2)(m-2)
18.解析 原式= ÷ (4分)
m+1 m(m+1)
m+2 m(m+1)
= · (5分)
m+1 (m+2)(m-2)
m
= .(6分)
m-2
{2x+1>5, (1)
19.解析
x+1>4(x-2).(2)
解不等式(1)得x>2,(2分)
解不等式(2)得x<3,(4分)
所以不等式组的解集是21,所以原点O在☉P外.(3分)
图2
(2)如图2,当☉P过点B,点P在y轴右侧时,☉P被y轴所截得的劣弧所对圆心角为120°,所以
120×π×1 2π
该劣弧长为 = .
180 3
2π
同理,当☉P过点B,点P在y轴左侧时,劣弧长同样为 .
3
2π
所以当☉P过点B时,☉P被y轴所截得的劣弧长为 .(6分)
3
(3)如图3,当☉P与x轴相切,且位于x轴下方时,设切点为D,
图3
√3
在直角△DAP中,AD=DP·tan∠DPA=1×tan 30°= .
3此时D点坐标为( √3 ).(8分)
2- ,0
3
当☉P与x轴相切,且位于x轴上方时,根据对称性可以求出切点坐标为( √3 ).(10分)
2+ ,0
3
AC BC
25.解析 (1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DHC,∴ = .
DC HC
∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.
BH
在Rt△BHD中,cos∠HBD= ,
BD
∴BDcos∠HBD=BH=4.(4分)
(2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,
∴△ABC∽△BHD.(6分)
BC AB
∴ = .
HD BH
∵△ABC∽△DHC,
AB AC 3
∴ = = ,∴AB=3DH.
DH DC 1
3 3DH
∴ = ,DH=2,∴AB=6.(10分)
DH 4
解法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,
∴△CDB∽△BDA.
CD BD
∴ = ,BD2=CD·AD,∴BD2=CD·4CD=4CD2.
BD AD
∴BD=2CD.(6分)
CD BC CD 3
∵△CDB∽△BDA,∴ = ,∴ = ,
BD AB 2CD AB
∴AB=6.(10分)
26.解析 (1)∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,
∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE,
∴△ADG≌△ABE(SAS),∴∠AGD=∠AEB.
如图1,延长EB交DG于点H,
在△ADG中,∠AGD+∠ADG=90°,
∴∠AEB+∠ADG=90°.
在△DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°,
∴∠DHE=90°,∴DG⊥BE.(4分)
图1
(2)∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形,∴AD=AB,∠DAB=∠GAE=90°,AG=AE,
∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG,
∴∠DAG=∠BAE.
∵AD=AB,∠DAG=∠BAE,AG=AE,
∴△ADG≌△ABE(SAS),
∴DG=BE.
如图2,过点A作AM⊥DG交DG于点M,∠AMD=∠AMG=90°.
∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠MDA=45°.
图2
DM
在Rt△AMD中,∵∠MDA=45°,∴cos 45°= ,∴DM=√2,∴AM=√2.
AD
在Rt△AMG中,∵AM2+GM2=AG2,
∴GM= = ,
√AG2-AM2 √(2√2)2-(√2)2
∴GM=√6.
∵DG=DM+GM=√2+√6,∴BE=DG=√2+√6.(8分)
(3)△GHE与△BHD面积之和的最大值为6.(10分)
对于△EGH,点H在以EG为直径的圆上,所以当点H与点A重合时,△EGH的边EG上的高最
大,对于△BDH,点H在以BD为直径的圆上,所以当点H与点A重合时,△BDH的边BD上的
高最大,所以△GHE与△BHD面积之和的最大值是2+4=6.(12分)
27.解析 (1)因为点A是直线与抛物线的交点,且其横坐标是-2,
1
所以点A的纵坐标为y= ×(-2)2=1,A点坐标为(-2,1).
4
{ b=4,
设直线的函数关系式为y=kx+b,将(0,4),(-2,1)代入得
-2k+b=1,
{ 3
解得 k= ,所以直线的函数关系式为y=3x+4.
2
2
b=4,
3 1 3
因为直线与抛物线相交,所以令 x+4= x2,即x2-6x-16=0,解之得x=-2,x=8,当x=8时,y=
1 2
2 4 2
×8+4=16,
所以点B(8,16).(4分)
(2)图1
如图1,过点B作BG∥x轴,过点A作AG∥y轴,交点为G,所以AG2+BG2=AB2.
由A(-2,1),B(8,16)可求得AB2=325.
设点C(m,0),同理可得,AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,
BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320.
①若∠BAC=90°,则AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2-16m+320.
1
所以m=- .
2
②若∠ACB=90°,则 AB2=AC2+BC2,即 325=m2+4m+5+m2-16m+320,化简得 m2-6m=0,解之得
m=0或m=6.
③若∠ABC=90°,则AB2+BC2=AC2,即m2-16m+320+325=m2+4m+5,所以m=32.
所以存在满足题意的点C,点C的坐标为( 1 ),(0,0),(6,0),(32,0).(10分)
- ,0
2
(3)设 M(
a,
1 a2),如图 2,设 MP 与 y 轴交于点 Q,在 Rt△MQN 中,由勾股定理得 MN=
4
√ a2+ (1 a2-1 ) 2=√ 1 a4+ 1 a2+1 =1a2+1.
4 16 2 4
图2
3 1 a2-16 a2-16
又因为点P与点M纵坐标相同,令 x+4= a2,得x= ,所以点P的横坐标为 .
2 4 6 6
a2-16
所以MP=a- .
6
所以MN+3PM=1a2+1+3( a2-16)=-1a2+3a+9=-1(a-6)2+18.
a-
4 6 4 4
1
又因为2≤6≤8,所以当a=6时,- a2+3a+9取到最大值18.
4
所以当点M的横坐标为6时,MN+3PM的长度最大,最大值是18.(14分)(备注:各题如有其他解法,只要正确,均可参照给分)
