2015 年安徽省普通高中招生考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项,其中只有一个是正确的.
1.在-4,2,-1,3这四个数中,比-2小的数是 ( )
A.-4B.2 C.-1D.3
2.计算√8×√2的结果是( )
A.√10 B.4 C.√6 D.2
3.移动互联网已经全面进入人们的日常生活.截至2015年3月,全国4G用户总数达到1.62亿,
其中1.62亿用科学记数法表示为( )
A.1.62×104 B.162×106 C.1.62×108 D.0.162×109
4.下列几何体中,俯视图是矩形的是( )
5.与1+√5最接近的整数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6.我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快
递业迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与
2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.1.4(1+x)=4.5 B.1.4(1+2x)=4.5
C.1.4(1+x)2=4.5 D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5
7.某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育学业考试的成绩统计如下表:
成绩(分) 35 39 42 44 45 48 50
人数 2 5 6 6 8 7 6
根据上表中的信息判断,下列结论中错误的是( )
A.该班一共有40名同学
B.该班学生这次考试成绩的众数是45分
C.该班学生这次考试成绩的中位数是45分
D.该班学生这次考试成绩的平均数是45分
8.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C,点E在边AB上,∠AED=60°,则一定有( )
A.∠ADE=20° B.∠ADE=30°
1 1
C.∠ADE= ∠ADC D.∠ADE= ∠ADC
2 3
9.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若
四边形EGFH是菱形,则AE的长是( )A.2√5 B.3√5 C.5 D.6
10.如图,一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于P、Q两点,则函数y=ax2+
1 2
(b-1)x+c的图象可能为( )
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.-64的立方根是 .
12.如图,点A、B、C在☉O上,☉O的半径为9, ⏜ 的长为2π,则∠ACB的大小是 .
AB
13.按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,…,若x、y、z表示这列数中的连续三个数,猜测
x、y、z满足的关系式是 .
14.已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论:
1 1
①若c≠0,则 + =1;
a b
②若a=3,则b+c=9;
③若a=b=c,则abc=0;
④若a、b、c中只有两个数相等,则a+b+c=8.
其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上)
三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
15.先化简,再求值:( a2 1 )·1,其中a=-1.
+
a-1 1-a a 2x x-3
16.解不等式: >1- .
3 6
四、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)
17.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线
的交点).
(1)请画出△ABC关于直线l对称的△AB C ;
1 1 1
(2)将线段AC向左平移3个单位,再向下平移5个单位,画出平移得到的线段AC ,并以它为
2 2
一边作一个格点△AB C ,使AB =C B .
2 2 2 2 2 2 2
18.如图,平台AB高为12米,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为
30°,求楼房CD的高度.(√3≈1.7)五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)
19.A、B、C三人玩篮球传球游戏,游戏规则是:第一次传球由A将球随机地传给B、C两人
中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的某一人.
(1)求两次传球后,球恰在B手中的概率;
(2)求三次传球后,球恰在A手中的概率.
20.在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.
(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ长;
(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.
六、解答题(本题满分12分)
k
21.如图,已知反比例函数y= 1 与一次函数y=kx+b的图象交于A(1,8),B(-4,m).
2
x
(1)求k、k、b的值;
1 2
(2)求△AOB的面积;k
(3)若M(x ,y)、N(x ,y)是反比例函数y= 1 图象上的两点,且x<x,y<y,指出点M、N各位
1 1 2 2 1 2 1 2
x
于哪个象限,并简要说明理由.
七、解答题(本题满分12分)
22.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80米的围网
在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的
长度是x米,矩形区域ABCD的面积为y平方米.
(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
(2)x取何值时,y有最大值?最大值是多少?八、解答题(本题满分14分)
23.如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F
作CD的垂线,两垂线交于点G,连结GA、GB、GC、GD、EF,若∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC;
(2)求证:△AGD∽△EGF;
AD
(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求 的值.
EF
答案全解全析：
一、选择题
1.A 根据正数大于负数可排除B、D;根据两个负数比较,绝对值大的反而小可知A正确,故
选A.
2.B √8×√2=√8×2=√16=4,故选B.
3.C 1亿=108,则1.62亿=1.62×108,故选C.
4.B A选项的俯视图为带圆心的圆,B选项的俯视图为矩形,C选项的俯视图为三角形,D选
项的俯视图为圆,故选B.
5.B ∵4<5<9,∴2<√5<3,又∵5和4比较接近,∴与√5最接近的整数是2,∴与1+√5最接近的
整数是3,故选B.
6.C 2013年的业务量为1.4亿件,则2014年的业务量为1.4(1+x)亿件,2015年的业务量为
1.4(1+x)2亿件,故选C.
7.D 人数共为2+5+6+6+8+7+6=40;由题表可知,45出现的次数最多,所以众数是45分;按从大到小的顺序排列后,第 20 和第 21 个数都是 45,所以中位数是 45 分;平均数为
35×2+39×5+42×6+44×6+45×8+48×7+50×6
=44.425(分),D选项是错误的,故选
40
D.
8.D 由三角形内角和等于 180°,∠AED=60°,可得∠ADE=120°-∠A,由四边形内角和为
1
360°,∠A=∠B=∠C,得∠ADC=360°-3∠A,所以∠ADE= ∠ADC,故选D.
3
评析 本题考查了三角形和四边形的内角和定理,难点在于借助∠A来判断∠ADE和∠ADC
之间的数量关系,属于基础题.
9.C 连结 EF 交 GH 于点 O,由四边形 EGFH 为菱形,可得 EF⊥GH,OH=OG,因为四边形
ABCD 为 矩 形 , 所 以 ∠ B=90°. 因 为 AB=8,BC=4, 所 以 AC= =4 . 易 证
√AB2+BC2 √5
1
△AGE≌△CHF,所以AG=CH,所以AO= AC=2√5;因为EO⊥GH,∠B=90°,所以∠AOE=∠B,又因
2
AE AO √5
为∠OAE=∠BAC,所以△AOE∽△ABC,所以 = = ,所以AE=5,故选C.
AC AB 4
10.A 由题图可知一元二次方程ax2+bx+c=x有两个不等的正实数根,即函数y=ax2+(b-1)x+c
的图象与x轴正半轴有两个交点,故选A.
二、填空题
11.答案 -4
解析 (-4)3=-64,所以-64的立方根是-4.
12.答案 20°
1
解析 连结OA、OB,设∠AOB=n°,则∠ACB= n°.
2
nπ·9
由 =2π,得n=40,故∠ACB=20°.
180
13.答案 xy=z(只要关系式对前六项是成立的即可)
解析 ∵21×22=23,22×23=25,23×25=28,25×28=213,……,
∴x、y、z满足的关系式是xy=z.
14.答案 ①③④
1 1
解析 ①∵c≠0,∴a+b=ab≠0.等式两边同时除以 ab得 + =1,∴①正确;②当a=3时,解方程
a b
3 9
3+b=3b=c,可得 b= ,c= ,∴b+c=6,故②错误;③∵a=b=c,则 2a=a2=a,∴a=0,∴abc=0,故③正
2 2
确;④∵a、b、c中只有两个数相等,∴a=b(若a=c,则由a+b=ab=c,得a=b=c=0,不合题意,故a≠c,
同理,b≠c),则2a=a2,∴a=0或a=2.∵a=0不合题意,∴a=2,则b=2,c=4,∴a+b+c=8,故④正确.
三、解答题15.解析 原式=( a2 1 )·1=a2-1·1
-
a-1 a-1 a a-1 a
(a+1)(a-1) 1 a+1
= · = .(6分)
a-1 a a
1
- +1
1 a+1 2
当a=- 时, = =-1.(8分)
2 a 1
-
2
16.解析 2x>6-(x-3),2x>6-x+3,(4分)
3x>9,x>3.
所以不等式的解集为x>3.(8分)
四、解答题
17.解析 (1)△AB C 如图所示.(4分)
1 1 1
(2)线段AC 和△AB C 如图所示.(符合条件的△AB C 不唯一)
2 2 2 2 2 2 2 2
(8分)
18.解析 作BE⊥CD于点E,则CE=AB=12.
CE 12
在Rt△BCE中,BE= = =12√3.(3分)
tan∠CBE tan30°
在Rt△BDE中,DE=BE·tan∠DBE=12√3·tan 45°=12√3.(6分)
∴CD=CE+DE=12+12√3≈32.4.
∴楼房CD的高度约为32.4米.(8分)
五、解答题
19.解析 (1)两次传球的所有结果有4种,分别是A→B→C,A→B→A,A→C→B,A→C→A,每种
结果发生的可能性相等,其中,两次传球后,球恰在B手中的结果只有一种,所以两次传球后,球
1
恰在B手中的概率是 .(4分)
4(2)
由树状图可知,三次传球的所有结果有8种,每种结果发生的可能性相等.(8分)
其中,三次传球后,球恰在A手中的结果有A→B→C→A,A→C→B→A这2种,所以三次传球后,
2 1
球恰在A手中的概率是 = .(10分)
8 4
评析 本题借助传球游戏考查了用列举法求随机事件的概率,关键是理解清楚题意,画出树状
图,表示出事件可能发生的结果,不重复,不遗漏,属于基础题.
20.解析 (1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.
在Rt△OPB中,
OP=OB·tan∠ABC=3·tan 30°=√3.(3分)
如图,连结OQ,在Rt△OPQ中,
PQ= = = .(5分)
√OQ2-OP2 √32-(√3)2 √6
(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,
∴当OP最小时,PQ最大.此时,OP⊥BC.(7分)
3
OP=OB·sin∠ABC=3·sin 30°= .
2
∴PQ长的最大值为√ (3) 2 =3√3.(10分)
9-
2 2
六、解答题
k
21.解析 (1)把A(1,8),B(-4,m)分别代入y= 1,得k=8,m=-2.
1
x
∵A(1,8),B(-4,-2)在y=kx+b图象上,
2
∴{ k 2 +b=8, 解得k 2 =2,b=6.(5分)
-4k +b=-2.
2
(2)设直线y=2x+6与x轴交于点C,当y=0时,x=-3,
∴OC=3.
1 1
∴S =S +S = ×3×8+ ×3×2=15.(8分)
△AOB △AOC △BOC
2 2
(3)点M在第三象限,点N在第一象限.(9分)
①若x<x<0,点M、N在第三象限分支上,则y>y,不合题意;
1 2 1 2
②若0<x<x,点M、N在第一象限分支上,则y>y,不合题意;
1 2 1 2
③若x<0<x,点M在第三象限,点N在第一象限,则y<0<y,符合题意.(12分)
1 2 1 2七、解答题
1 3
22.解析 (1)设AE=a米,由题意,得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE= a,∴AB= a.
2 2
1 1
由题意,得2x+3a+2· a=80,∴a=20- x.(4分)
2 2
∴y=AB·BC=3a·x=3( 1 )x,
20- x
2 2 2
3
即y=- x2+30x(0<x<40).(8分)
4
3 3
(2)∵y=- x2+30x=- (x-20)2+300,
4 4
∴当x=20时,y有最大值,最大值是300.(12分)
八、解答题
23.解析 (1)证明:∵GE是AB的垂直平分线,∴GA=GB.
同理GD=GC.
在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,
∴△AGD≌△BGC.∴AD=BC.(5分)
(2)证明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.
GA GB
在△AGB和△DGC中, = ,∠AGB=∠DGC,
GD GC
∴△AGB∽△DGC.(8分)
AG EG
∴ = .又∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.(10分)
DG FG
(3)如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.
图1
由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC.
在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB.
∴∠AGB=∠AHB=90°,(12分)
1
∴∠AGE= ∠AGB=45°,
2
AG
∴ =√2.
EG
又△AGD∽△EGF,
AD AG
∴ = =√2.(14分)
EF EG
(本小题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略)图2 图3
评析 本题综合考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线、三角形全等和相似
的判定方法和性质,属于拓展探索型题,学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力.
