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2015 年兰州市初中毕业生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:本大题共15小题,每小题4分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
1
A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1 D.y=x2+
x
2.由五个同样大小的立方体组成如图的几何体,则关于此几何体三种视图叙述正确的是(
)
A.左视图与俯视图相同 B.左视图与主视图相同
C.主视图与俯视图相同 D.三种视图都相同
3.在下列二次函数中,其图象的对称轴为x=-2的是( )
A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2 C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2
4.如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则 cos A=( )
√5 1 2√5 √5
A. B. C. D.
2 2 5 5
5.如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得
到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为( )
A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6)
6.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为( )
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=15
7.下列命题错误的是( )
A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B.平行四边形的对角线互相平分
C.矩形的对角线相等 D.对角线相等的四边形是矩形
k
8.在同一直角坐标系中,一次函数y=kx-k与反比例函数y= (k≠0)的图象大致是( )
x9.如图,经过原点O的☉P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=(
)
A.80° B.90° C.100° D.无法确定
10.如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连结EF,则△AEF的面
积是( )
A.4√3 B.3√3 C.2√3 D.√3
11.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌
了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,
若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是( )
11 10
A.(1+x)2= B.(1+x)2=
10 9
11 10
C.1+2x= D.1+2x=
10 9
k
12.若点P(x,y),P (x,y)在反比例函数y= (k>0)的图象上,且x=-x ,则( )
1 1 1 2 2 2 1 2
x
A.y y D.y =-y
1 2 1 2 1 2 1 2
13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,点C在y轴的正半轴上,且OA=OC,则( )
A.ac+1=b B.ab+1=c
C.bc+1=a D.以上都不是
14.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x ,0),B(x ,0),且x0时,m>x
2
C.当n<0时,x0时,m”或“<”或“=”)
2
20.已知△ABC的边BC=4 cm,☉O是其外接圆,且半径也为4 cm,则∠A的度数是 .
三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
21.(本小题满分10分,每题5分)
(1)计算:2-1- tan 60°+(π-2 015)0+| 1|;
√3 -
2
(2)解方程:x2-1=2(x+1).
22.(本小题满分5分)如图,在图中求作☉P,使☉P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边
的距离相等.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)23.(本小题满分6分)为了参加中考体育测试,甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练.球从一
个人脚下随机传到另一个人脚下,且每位传球人传球给其余两人的机会是均等的,由甲开始传
球,共传球三次.
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况;
(2)求三次传球后,球回到甲脚下的概率;
(3)三次传球后,球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?
24.(本小题满分8分)如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根
高度未知的电线杆CD,它们都与地面垂直,为了测得电线杆的高度,一个小组的同学进行了如
下测量:某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米,落在地面上的影
子BF的长为10米,而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米,落在地面上的影子DH的
长为5米.依据这些数据,该小组的同学计算出了电线杆的高度.
(1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的;
(2)试计算出电线杆的高度,并写出计算的过程.25.(本小题满分9分)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:AD=BC;
(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.
26.(本小题满分10分)如图,A(
-4,
1),B(-1,2)是一次函数y
1
=ax+b与反比例函数y
2
=m图象
2 x
的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,y-y>0?
1 2
(2)求一次函数解析式及m的值;
(3)P是线段AB上一点,连结PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P的坐标.27.(本小题满分10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC边于点D,以
AB上一点O为圆心作☉O,使☉O经过点A和点D.
(1)判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=3,∠B=30°.
①求☉O的半径;
②设☉O与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积.
(结果保留根号和π)
28.(本小题满分12分)已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,1).
(1)求二次函数y=ax2的解析式;
(2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于A(x ,y)、B(x ,y)两点.
1 1 2 2
3
①当m= 时(图①),求证:△AOB为直角三角形;
2
3
②试判断当m≠ 时(图②),△AOB的形状,并证明;
2
(3)根据第(2)问,说出一条你能得到的结论.(不要求证明)答案全解全析：
一、选择题
1.C 根据二次函数的定义:形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0)的函数叫做二次函数,结
合各选项知,选C.
2.B 左视图为 ,主视图为 ,俯视图为 ,故选B.
评析 本题主要考查物体的三视图,属容易题.
3.A 根据二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的对称轴为直线x=h,知只有A选项符合题意.
AB k √5
4.D 设AB=k(k>0),则BC=2k,∵∠B=90°,∴AC=√AB2+BC2=√5k,∴cos A= = =
AC √5k 5
,故选D.
x y 5
5.B 设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知, = = ,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为
1 2 2
(2.5,5).故选B.
6.C 变形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故选C.
7.D 对角线相等的平行四边形是矩形,故D错误,选D.
8.A 分k>0和k<0两种情况讨论:当k>0时,反比例函数的图象经过第一、三象限,一次函数
的图象经过第一、三、四象限,没有符合题意的选项;当k<0时,反比例函数的图象经过第二、
四象限,一次函数的图象经过第一、二、四象限,故选A.
9.B 根据同弧所对的圆周角相等,得到∠ACB=∠AOB=90°,故选B.
10.B 连 结 AC, 在 菱 形 ABCD 中 ,AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC 是 等 边 三 角
形,∵AE⊥BC,∴AE=2√3,∠EAC=30°,同理可得 AF=2√3,∠CAF=30°,则△EAF 为等边三角
√3
形,∴S = ×(2√3)2=3√3.故选B.
△AEF
4
10
11.B 设原价为1,则某天跌停后是0.9,根据题意可列方程为0.9(1+x)2=1,即(1+x)2= ,故选
9
B.
12.D 由题意,得xy=k,因为k是定值,所以当x=-x 时,y=-y ,故选D.
1 2 1 2
13.A 由题意得点C的坐标为(0,c),
∵OA=OC,
∴点A的坐标为(-c,0).
将(-c,0)代入二次函数解析式,得ac2-bc+c=0,∵c≠0,∴ac-b+1=0,
即ac+1=b.故选A.
14.C 由已知得,函数图象开口向上,对称轴在y轴左侧,画出草图(如图),当n>0时,mx ;当n<0时,x ,所以球传到乙脚下的概率大.
8 8
24.解析 (1)平行.
(2) 如 图 , 连 结 CG,AE, 过 点 E 作 EM⊥AB 于 M, 过 点 G 作 GN⊥CD 于 N, 则
MB=EF=2,ND=GH=3,ME=BF=10,NG=DH=5.
AM CN 8 CD-3
所以AM=10-2=8,由平行投影可知 = ,即 = ,
ME NG 10 5
解得CD=7,即电线杆的高度为7米.
25.证明 (1)过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,
∵AB∥CD,
∴四边形ABMC为平行四边形.
∴AC=BM=BD,∴∠BDC=∠M=∠ACD.
{
AC=BD,
在△ACD和△BDC中, ∠ACD=∠BDC,
CD=DC,
∴△ACD≌△BDC,
∴AD=BC.(2)连结EH,HF,FG,GE,
∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,
1 1 1 1
∴HE∥AD,且HE= AD,FG∥AD,且FG= AD,EH= AD,EG= BC,
2 2 2 2
∴HE∥FG且HE=FG,
∴四边形HFGE为平行四边形.
由(1)知,AD=BC,
∴HE=EG,
∴▱HFGE为菱形,
∴线段EF与线段GH互相垂直平分.
26.解析 (1)在第二象限内,当-40.
1 2
(2)∵反比例函数y
2
=m的图象过A(
-4,
1),
x 2
1
∴m=-4× =-2,
2
∵一次函数y
1
=ax+b的图象过A(
-4,
1),B(-1,2),
2
1
{ 1 {a= ,
∴ -4a+b= ,解得 2
2
5
-a+b=2, b= ,
2
1 5
∴y= x+ .
1
2 2
(3)设P( 1 5),过P作PM⊥x轴,PN⊥y轴,
t, t+
2 2
1 5
∴PM= t+ ,PN=-t,
2 2
∵S =S ,
△PCA △PDB
1 1
∴ AC·CM= BD·DN,
2 2
即1×1(t+4)=1×1×( 1 5),解得t=-5,
2- t-
2 2 2 2 2 2
∴P( 5 5).
- ,
2 427.解析 (1)相切.理由如下:
如图,连结OD,∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,
∴OD∥AC.
又∠C=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC与☉O相切.
(2)①∵AC=3,∠B=30°,
∴AB=6.
设OA=OD=r,∴OB=2r.
∴2r+r=6,解得r=2,即☉O的半径是2.
②由①得OD=2,OB=4,∴BD=2√3.
1 60π×22 2π
S = ×2√3×2- =2√3- .
阴影
2 360 3
1 1
28.解析 (1)∵二次函数y=ax2的图象过点(2,1),∴1=4a,∴a= ,∴二次函数的解析式为y= x2.
4 4
3
{y= x+4,
(2)①证明:当m=3时, 2
2 1
y= x2,
4
解得{x
1
=-2,{ x
2
=8,
y =1, y =16,
1 2
∴A(-2,1),B(8,16).
分别过A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,
∴AC=1,OC=2,OD=8,BD=16.
AC OD 1
∴ = = ,
OC BD 2
又∵∠ACO=∠ODB,
∴△ACO∽△ODB,∴∠AOC=∠OBD.
又∵∠OBD+∠BOD=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°,∴∠AOB=90°,
∴△AOB为直角三角形.
②△AOB为直角三角形,证明如下:
{y=mx+4,
当m≠3时,
1
2 y= x2,
4
{x =2m-2√m2+4, {x =2m+2√m2+4,
解得 1 2
y =(m-√m2+4)2, y =(m+√m2+4)2,
1 2
∴A(2m-2 ,(m- )2),
√m2+4 √m2+4
B(2m+2 ,(m+ )2).
√m2+4 √m2+4
分别过A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,
∴AC=(m- )2,OC=-(2m-2 ),
√m2+4 √m2+4
BD=(m+ )2,OD=2m+2 ,
√m2+4 √m2+4
∴AC=OD=-m-√m2+4,
OC BD 2
又∵∠ACO=∠ODB,
∴△ACO∽△ODB,∴∠AOC=∠OBD.
又∵∠OBD+∠BOD=90°,
∴∠AOC+∠BOD=90°,∴∠AOB=90°,
∴△AOB为直角三角形.
(3)如:一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象的交点为A,B,则△AOB恒为直角三
角形等.
